例說教材中的“可以證明”如何證明

耿建

摘 要：教材中有些規(guī)律的給出只是在一些鋪墊的基礎(chǔ)上提出“可以證明”“實驗表明”“理論計算表明”等。對于這些“可以證明”的內(nèi)容，教師必須知其所以然。本文從選修3-1、3-2中選擇了四處進行了證明。

關(guān)鍵詞：電場強度；電勢能；電容器極板間電勢差；交變電流有效值

中圖分類號：G633.7 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1003-6148（2015）3-0042-3

教材中有些規(guī)律的給出，沒有給出嚴格的證明，只是在一些鋪墊的基礎(chǔ)上提出 “可以證明”“實驗表明”“理論計算表明”等。對于這些“可以證明”的內(nèi)容，我們教師必須知其所以然，有些也可以在條件允許的情況下證明給學(xué)生知曉。

1 均勻帶電球體（或球殼）產(chǎn)生的外部電場與位于球心的帶等電量點電荷產(chǎn)生的電場相同

此處，帶電球殼的電場可以分兩步來證明。

①通過包圍點電荷的同心球面的電通量都等于4πkQ。

②均勻帶電球殼內(nèi)外的電場強度，設(shè)球殼半徑為R，帶電總量為Q。

由于電荷均勻分布在球殼上，所以，帶電體具有球?qū)ΨQ性，電場的分布也具有對稱性。即在任何與帶電球殼同心的球面上各點場強大小均應(yīng)相等，方向沿半徑向外呈輻射狀。

根據(jù)電場的球?qū)ΨQ性特點，取以球殼球心為中心、半徑為r的球面為高斯面，此高斯面上場強的大小處處相等，設(shè)為E，方向均沿半徑方向向外，則通過此高斯面的電通量為：

同一高斯面上的電通量應(yīng)該相等，則根據(jù)上述的①和②可以得到以下結(jié)論：

若高斯面半徑r小于球殼半徑R，則高斯面包圍的范圍內(nèi)電荷量為0，則4πr2E=0，即球殼內(nèi)任一位置的電場強度為0；

2 非勻強電場中電場力做的功與電荷經(jīng)過的路徑無關(guān)

選修3-1第一章第4節(jié)《電勢能和電勢》中，在證明了勻強電場中移動電荷時，靜電力做的功與電荷經(jīng)過的路徑無關(guān)后，接著說“這個結(jié)論雖然是從勻強電場中推導(dǎo)出來的，但是可以證明，對于非勻強電場也是適用的。”

一般情況下，非勻強電場可以是由單個點電荷形成的，也可以是由多個點電荷的電場疊加而成的。只要證明了單個點電荷的電場中靜電力做功與路徑無關(guān)，就可以說明任意電場中靜電力做的功與電荷經(jīng)過的路徑無關(guān)這一結(jié)論。

如圖2，設(shè)靜止的點電荷+q位于O點，設(shè)想一試探電荷q0沿任意路徑L從P點移動到Q點。因為試探電荷在移動過程中受到的電場力是變化的，不妨將路徑L分割成無限多的微元dl，在每一微元dl中靜電力可近似認為不變。設(shè)距點電荷+q為r的K處的微元dl與該處的靜電力F方向夾角為θ，則在該微元中靜電力做功為：

dW=Fcosθdl

如圖2，以O(shè)點為圓心作過圖中點M的圓弧，交OK延長線于N，則ΔKMN近似看做一個直角三角形，設(shè)沿電場方向的微小量KN=dr，則：

dW=Fcosθdl=Fdr。

其中，rP=OP，rQ=OQ?？梢?，單個點電荷的電場中，電場力對試探電荷所做的功與路徑無關(guān)，僅和試探電荷移動路徑的起點、終點位置有關(guān)。

3 充電后電容器兩極板的電勢差與極板的電量有關(guān)

這可以借助于傳感器進行實驗證明。

如圖3連接電路，單刀雙擲開關(guān)先接穩(wěn)壓電源對電容器進行充電，充電完畢后再接到電阻R上，電容器通過電阻R進行放電。通過電流傳感器可以記錄電容器的放電電流隨時間的變化規(guī)律，即i-t圖像。在i-t圖像中利用圖線與坐標(biāo)軸圍成的面積可以求出電容器的帶電量。

對同一電容器先后進行了兩次充放電實驗。第一次的充電電壓是16 V，第二次的充電電壓是10 V。兩次放電過程的i-t圖像如圖4中的圖線1和圖線2。

在i-t圖像的背景上畫上方格子，使豎直方向每一小格代表0.005 A，水平方向每一小格代表0.2 s，則每一小方格的面積數(shù)值上等于q=0.005×0.2 C=1.0×10-3 C的電荷量。用此方法分別粗略地計算出電容器的帶電量。圖5是充電電壓為16 V的放電過程，圖6是充電電壓為10 V的放電過程。具體的數(shù)據(jù)見“電容器兩次充放電情況統(tǒng)計對照表”（如表1）。

因為傳感器是每隔一定時間采集一個數(shù)據(jù)，所以得到的i-t圖線是不平滑的。電容器帶電量是將i-t圖線擬合成平滑的曲線后再計算的，存在誤差。單刀雙擲開關(guān)由電容器充電狀態(tài)轉(zhuǎn)換到放電狀態(tài)，電容器開始放電的時刻與傳感器記錄放電過程的起始時刻不一定同步，也存在誤差。除了這兩個主要誤差原因外，實驗及數(shù)據(jù)的處理中還存在一些偶然誤差因素?？梢姡趯嶒炚`差的范圍之內(nèi)，同一電容器的帶電量與電壓的比值是一定的。

4 正弦式交變電流的有效值計算

選修3-2第五章第2節(jié)《描述交變電流的物理量》中，談及正弦交變電流的有效值時，教材中表述說：理論計算表明，正弦式交變電流的有效值I、U與峰值Im、Um之間有如下關(guān)系：

并且強調(diào)說“這兩個關(guān)系式只對正弦式電流成立”。

現(xiàn)以電流強度的有效值為例。理論計算如下：

設(shè)正弦交變電流瞬時表達式為：i=Imsinωt。

若該電流加在某一定值電阻R上，設(shè)該交變電流的有效值為I，則根據(jù)電流有效值的定義，在一個周期T內(nèi)該交流電在電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱Q為：Q=I2RT。

因為正弦交變電流隨時間在變化，在極短的時間內(nèi)，可近似認為電流強度不變，則在一個周期內(nèi)，在電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱的積分表達式為：

以上四個例子的“證明”過程需要借助于高等數(shù)學(xué)、大學(xué)物理的相關(guān)知識，或者需要一定的實驗技能。這些也是中學(xué)物理教師比較欠缺的知識與能力，要能自如地駕馭中學(xué)物理教學(xué)，僅僅停留在中學(xué)物理知識的層面是不夠的。

參考文獻：

[1]趙凱華，陳熙謀.電磁學(xué)（上）[M].北京：高等教育出版社，1985.

[2]楊梅芬，李維兵.正弦式交變電流有效值的兩種推導(dǎo)方法[J].物理教學(xué)探討，2011，（4）：50.

（欄目編輯 羅琬華）