耦合故障轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的降維及動(dòng)力學(xué)特性

曹樹謙1, 2, 3，王 俊1, 2, 3，韓研研1, 2, 3，白雪川1, 2, 3

(1. 天津大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，天津 300072；2. 天津市非線性動(dòng)力學(xué)與混沌控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300072；3. 天津大學(xué)內(nèi)燃機(jī)燃燒學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300072)

耦合故障轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的降維及動(dòng)力學(xué)特性

曹樹謙1, 2, 3，王 俊1, 2, 3，韓研研1, 2, 3，白雪川1, 2, 3

(1. 天津大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，天津 300072；2. 天津市非線性動(dòng)力學(xué)與混沌控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300072；3. 天津大學(xué)內(nèi)燃機(jī)燃燒學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300072)

比較非線性Galerkin法和標(biāo)準(zhǔn)Galerkin法在處理滾動(dòng)軸承和不對(duì)中、碰摩故障引起復(fù)雜非線性問(wèn)題時(shí)的降維效果，并用非線性 Galerkin法進(jìn)一步分析故障轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性．考慮花鍵聯(lián)軸器不對(duì)中嚙合力，建立不對(duì)中-碰摩耦合故障轉(zhuǎn)子-滾動(dòng)軸承-花鍵聯(lián)軸器系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，采用兩種 Galerkin法對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進(jìn)行降維，并進(jìn)行數(shù)值仿真，利用分岔圖和瀑布圖等進(jìn)行對(duì)比分析．結(jié)果表明：非線性Galerkin法在處理不對(duì)中單一故障及不對(duì)中-碰摩耦合故障轉(zhuǎn)子系統(tǒng)所得結(jié)果均能與未降維系統(tǒng)較好地吻合，而標(biāo)準(zhǔn) Galerkin法所得結(jié)果則存在一定差別甚至出現(xiàn)降維方法失效；應(yīng)用非線性 Galerkin法進(jìn)一步分析故障轉(zhuǎn)子系統(tǒng)發(fā)現(xiàn)，盡管降維使故障轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的維數(shù)減少，但并未改變故障轉(zhuǎn)子的動(dòng)力學(xué)特性，其故障特征信息仍得到保留．

非線性Galerkin法；標(biāo)準(zhǔn)Galerkin法；不對(duì)中嚙合力；不對(duì)中-碰摩耦合故障；轉(zhuǎn)子系統(tǒng)；花鍵聯(lián)軸器

隨著科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步，旋轉(zhuǎn)機(jī)械正朝著大型化、高速化和大功率、高推力/重量比方向發(fā)展，其結(jié)構(gòu)更加緊湊，導(dǎo)致故障發(fā)生率也隨之增加．基于實(shí)際問(wèn)題所研究的故障轉(zhuǎn)子系統(tǒng)通常為高維復(fù)雜非線性系統(tǒng)．對(duì)此類強(qiáng)耦合高維非線性故障轉(zhuǎn)子系統(tǒng)直接求解難度較大，并且現(xiàn)有非線性動(dòng)力學(xué)理論雖能夠處理低維非線性系統(tǒng)，但很難應(yīng)用于高維系統(tǒng)．因此，對(duì)于大型、復(fù)雜高維非線性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的降維方法研究逐漸成為現(xiàn)代非線性動(dòng)力學(xué)研究的熱點(diǎn)[1]．

對(duì)于考慮滾動(dòng)軸承支撐、不對(duì)中、碰摩故障的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，張俊紅等[2]基于有限元與數(shù)值計(jì)算聯(lián)合仿真方法，建立碰摩-不對(duì)中耦合故障柔性轉(zhuǎn)子-滾動(dòng)軸承系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，分析了故障對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響．陳果等[3]針對(duì)航空發(fā)動(dòng)機(jī)整機(jī)振動(dòng)分析，建立了含不平衡-不對(duì)中-碰摩耦合故障的轉(zhuǎn)子-滾動(dòng)軸承-機(jī)匣耦合動(dòng)力學(xué)模型，研究耦合故障特征和規(guī)律．Zhao等[4-5]考慮不對(duì)中嚙合力，建立不對(duì)中故障轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，分析了不對(duì)中故障的動(dòng)力學(xué)特性．對(duì)于非線性Galerkin法(nonlinear Galerkin method，NGM)，基于 Foias等[6]提出的近似慣性流形理論，Marion等[7-8]首次提出了非線性Galerkin法并采用近似慣性流形計(jì)算了4維相空間的反應(yīng)擴(kuò)散方程．Nelson等[9]考慮到油膜力局部強(qiáng)非線性，將固定模態(tài)綜合法應(yīng)用于轉(zhuǎn)子-滑動(dòng)軸承系統(tǒng)的分析中．Azeezs等[10]應(yīng)用本征正交分解技術(shù)方法分析了懸臂梁和懸臂轉(zhuǎn)子的碰摩運(yùn)動(dòng)，結(jié)果表明降維后的系統(tǒng)與原系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性保持較好的吻合．王晉麟等[11-12]在非線性 Galerkin法的基礎(chǔ)上提出了改進(jìn)的非線性Galerkin法，然后以一個(gè)含立方非線性的 5自由度強(qiáng)迫振動(dòng)系統(tǒng)為例闡明了新方法的有效性，并成功采用該方法對(duì)一個(gè)雙盤轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)進(jìn)行了降維處理．Ding等[13]將標(biāo)準(zhǔn) Galerkin法(standard Galerkin method，SGM)和非線性 Galerkin法應(yīng)用于轉(zhuǎn)子-滑動(dòng)軸承-密封系統(tǒng)，比較了兩種方法的降維效果，分析了系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性．目前，關(guān)于綜合考慮滾動(dòng)軸承支撐、不對(duì)中、碰摩故障的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，對(duì)于其中的不對(duì)中故障，均未將其考慮為更符合實(shí)際的不對(duì)中嚙合力，未能準(zhǔn)確地體現(xiàn)不對(duì)中故障的動(dòng)力學(xué)特性．對(duì)于考慮不對(duì)中嚙合力故障的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，其未考慮滾動(dòng)軸承支撐力，而將其簡(jiǎn)化為線性彈簧，未能準(zhǔn)確地反映實(shí)際的轉(zhuǎn)子模型，且系統(tǒng)中也未考慮碰摩故障．對(duì)于非線性Galerkin法，其在轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中的應(yīng)用還鮮見(jiàn)報(bào)道，所建模型大多為滑動(dòng)軸承支撐且未考慮不對(duì)中、碰摩等故障，系統(tǒng)所包含的非線性因素并不復(fù)雜．

鑒于此，本文以航空發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)為研究對(duì)象，考慮更加符合實(shí)際的不對(duì)中故障嚙合力，建立不對(duì)中-碰摩耦合故障轉(zhuǎn)子-滾動(dòng)軸承-花鍵聯(lián)軸器系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型．其中滾動(dòng)軸承力、不對(duì)中嚙合力、碰摩力都具有很強(qiáng)的非線性且相互影響，形成了復(fù)雜的強(qiáng)非線性耦合關(guān)系．應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn) Galerkin法和非線性Galerkin法對(duì)該復(fù)雜非線性故障轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進(jìn)行降維，采用數(shù)值積分法獲取降維系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，分析不對(duì)中故障及不對(duì)中-碰摩耦合故障對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響，并比較標(biāo)準(zhǔn)Galerkin法與非線性Galerkin法在處理滾動(dòng)軸承支撐下兩種故障所引起的復(fù)雜非線性問(wèn)題時(shí)的降維效果．

1 標(biāo)準(zhǔn)Galerkin法與非線性Galerkin法

一般的振動(dòng)方程可寫成為系統(tǒng)振動(dòng)的位移；F為非線性函數(shù)；M 和K分別為對(duì)稱的正定質(zhì)量矩陣和剛度矩陣；C為阻尼矩陣，采用比例阻尼．則方程(1)的左邊可在模態(tài)坐標(biāo)下解耦．

設(shè)A＝M-1K，令

式中：Xm為由矩陣A的前m階特征向量組成的模態(tài)矩陣，對(duì)應(yīng)主子系統(tǒng)；Yn為矩陣A剩余的n個(gè)特性向量組成的模態(tài)矩陣，對(duì)應(yīng)從屬子系統(tǒng)．按照 Xm和 Yn的劃分規(guī)則，將 AT對(duì)應(yīng)的特征向量劃分成和將式(2)代入式(1)并在方程兩邊同時(shí)左乘和，可得微分方程

式(3)和式(4)通過(guò)非線性項(xiàng)耦合在一起．標(biāo)準(zhǔn)Galerkin法舍棄了高階模態(tài)的影響，即令 y＝0，于是得到降維后的方程為

則原系統(tǒng)的近似解可表示為

非線性Galerkin法以近似慣性流形理論為基礎(chǔ)，得到 y與 x之間的近似關(guān)系[14]．令式(4)中的可以得到

式(7)為非線性超越方程，采用 Picard迭代映射求其解．令迭代初值y＝0，可得到近似慣性流形為

令 y＝ψ2(x)，將其代入式(3)，則可得到降維后的方程為

則原系統(tǒng)的近似解可表示為

2 系統(tǒng)模型與基本理論

2.1 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)微分方程

圖1所示為考慮不對(duì)中及碰摩耦合故障的轉(zhuǎn)子-滾動(dòng)軸承-花鍵聯(lián)軸器耦合系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，轉(zhuǎn)子采用相同的深溝球軸承支撐．Ms1、Md1、Ms2、Ms3、Ms4、Ms5、Md2、Ms6分別為轉(zhuǎn)子在各節(jié)點(diǎn)處的等效集中質(zhì)量；K為彈性軸剛度；δ為轉(zhuǎn)子與靜子的間隙；e1、e2為圓盤偏心距；α1、α2為圓盤偏心角；Ks為碰摩剛度．

圖1 轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)簡(jiǎn)化模型Fig.1 Simplified model of rotor bearing system

根據(jù)Lagrange方程，可得系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程為

式中：Fbx1、Fby1、Fbx2、Fby2、Fbx3、Fby3、Fbx4、Fby4為各軸承支反力；Px1、Py1、Px2、Py2為各圓盤偏心力；Fpx、Fpy為碰摩力；FLX、FLY為花鍵聯(lián)軸器不對(duì)中力．

引入無(wú)量綱變換

式中：ω為轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)角速度；μ為滾動(dòng)軸承游動(dòng)間隙．式(12)經(jīng)無(wú)量綱變換為

2.2 滾動(dòng)軸承力模型

圖 2所示為滾動(dòng)軸承受力情況．設(shè)軸承滾珠在內(nèi)外滾道間等距排列，滾珠與滾道之間為純滾動(dòng)．由于不平衡激勵(lì)的作用，滾動(dòng)軸承做強(qiáng)迫振動(dòng)，振動(dòng)頻率等于轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)頻率．同時(shí)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，滾動(dòng)軸承剛度會(huì)發(fā)生周期性變化，產(chǎn)生VC振動(dòng)(varying compliance vibration)[15]，該振動(dòng)為參數(shù)激振．

圖 2 滾動(dòng)軸承受力示意Fig.2 Force diagram of ball bearing

基于 Hertz彈性接觸理論，參考文獻(xiàn)[16-17]可得滾動(dòng)軸承作用力表達(dá)式為

式中：Fbx、Fby分別為滾動(dòng)軸承力在x、y方向分量；Cb為赫茲接觸剛度；nb為滾動(dòng)軸承滾珠數(shù)目；α為滾動(dòng)軸承接觸角；θi為第 i個(gè)滾珠角位置；ωcage為滾珠公轉(zhuǎn)的角速度；Ri、Ro分別為內(nèi)外圈滾道半徑；μ為軸承間隙；H(·)為海維賽函數(shù)，當(dāng)括號(hào)中的數(shù)大于0時(shí)，其值為1，否則為0．

2.3 碰摩力模型

圖3所示為輪盤碰摩模型，設(shè)e為轉(zhuǎn)子圓盤與機(jī)匣的徑向相對(duì)位移，為靜止時(shí)轉(zhuǎn)子與定子間隙．當(dāng) e＜e0時(shí)，不發(fā)生碰摩；當(dāng) e≥e0，發(fā)生碰摩．假設(shè)轉(zhuǎn)子與定子的摩擦符合庫(kù)侖摩擦定律[18]，法向力FN與切向摩擦力FT可表示為

式中f為摩擦系數(shù)．將碰摩力沿x和y軸分解可得

圖3 輪盤碰摩示意Fig.3 Rub-impact model of disc

動(dòng)態(tài)位移產(chǎn)生的嚙合力為

式中：φi為各鍵與 x軸正向夾角；e′為聯(lián)軸器動(dòng)態(tài)徑向位移．

綜合以上分析，可以得到聯(lián)軸器不對(duì)中產(chǎn)生的嚙合力為

因每一個(gè)鍵的嚙合力均不為負(fù)，所以

則聯(lián)軸器不對(duì)中產(chǎn)生的x、y向合力為

圖4 花鍵聯(lián)軸器嚙合力示意Fig.4 Engaging force diagram of spline coupling

2.4 花鍵聯(lián)軸器不對(duì)中嚙合力模型

圖4所示為花鍵聯(lián)軸器嚙合力示意．聯(lián)軸器傳遞扭矩時(shí)會(huì)使各鍵發(fā)生變形，即扭轉(zhuǎn)使各鍵產(chǎn)生一個(gè)嚙合力；同時(shí)，兩個(gè)半聯(lián)軸器所在節(jié)點(diǎn)隨系統(tǒng)振動(dòng)又使各鍵產(chǎn)生變形，即動(dòng)態(tài)位移使各鍵產(chǎn)生一個(gè)嚙合力．

[4-5]可得每個(gè)鍵扭轉(zhuǎn)產(chǎn)生的嚙合力為

式中：φ 為各鍵變形產(chǎn)生的扭轉(zhuǎn)角位移；T為扭矩；zn為花鍵聯(lián)軸器鍵的個(gè)數(shù)；分別為各鍵等效嚙合距離和剛度；R為鍵根圓半徑．

2.5 數(shù)值仿真參數(shù)的確定

本例選取的轉(zhuǎn)子參數(shù)、滾動(dòng)軸承參數(shù)以及花鍵聯(lián)軸器參數(shù)如表 1～表 3所示，Cz、Cp為轉(zhuǎn)子在軸承、圓盤處阻尼系數(shù)．

表1 轉(zhuǎn)子參數(shù)Tab.1 Parameters of the rotor

表2 滾動(dòng)軸承參數(shù)Tab.2 Parameters of the ball bearing

表3 花鍵聯(lián)軸器參數(shù)Tab.3 Parameters of the spline coupling

3 計(jì)算結(jié)果及分析

3.1 不對(duì)中故障下系統(tǒng)的降維計(jì)算結(jié)果對(duì)比及分析

3.1.1 標(biāo)準(zhǔn)Galerkin法和非線性Galerkin法比較

為比較兩種 Galerkin法在處理滾動(dòng)軸承和不對(duì)中故障引起的復(fù)雜非線性問(wèn)題時(shí)的降維效果，分別采用兩種Galerkin法進(jìn)行數(shù)值仿真，并與原系統(tǒng)數(shù)值計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比．在計(jì)算中，標(biāo)準(zhǔn) Galerkin法截取前10階模態(tài)，對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)子兩個(gè)彎曲振動(dòng)方向上前 5階臨界轉(zhuǎn)速；非線性Galerkin法截取前10階模態(tài)作為“主子系統(tǒng)”，剩余的6階模態(tài)作為“從屬子系統(tǒng)”．圖5～圖7分別為原系統(tǒng)、標(biāo)準(zhǔn)Galerkin法降維系統(tǒng)以及非線性Galerkin法降維系統(tǒng)O1節(jié)點(diǎn)x方向響應(yīng)的分岔圖以及對(duì)應(yīng)的瀑布圖．從圖5可以看出，在轉(zhuǎn)速ω∈(500，2,300)rad/s時(shí)，系統(tǒng)表現(xiàn)為擬周期運(yùn)動(dòng)，如圖8(a)所示，在轉(zhuǎn)速為1,600,rad/s時(shí)，其Poincaré圖表現(xiàn)為一封閉曲線；在轉(zhuǎn)速ω∈(2,300，2,640)rad/s時(shí)，頻譜圖表現(xiàn)為連續(xù)曲線，系統(tǒng)進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)，如圖8(b)所示，在轉(zhuǎn)速為2,500,rad/s時(shí)，其Poincaré圖表現(xiàn)為成片的無(wú)規(guī)則的密集點(diǎn)；在轉(zhuǎn)速ω∈(2,640，2,690)rad/s時(shí)，系統(tǒng)倒分岔進(jìn)入擬周期運(yùn)動(dòng)，如圖8(c)所示，在轉(zhuǎn)速為2,660,rad/s時(shí)，其Poincaré圖表現(xiàn)為一封閉的曲線；轉(zhuǎn)速ω∈(2,690，2,790)rad/s時(shí)，頻譜圖中出現(xiàn)明顯的1/2倍頻，系統(tǒng)表現(xiàn)為2倍周期運(yùn)動(dòng)，如圖 8(d)所示，在轉(zhuǎn)速為 2,720,rad/s時(shí)，其Poincaré圖表現(xiàn)為孤立的兩點(diǎn)；當(dāng)ω＞2,790,rad/s時(shí)，系統(tǒng)再次進(jìn)入擬周期運(yùn)動(dòng)，如圖8(e)所示，在轉(zhuǎn)速為 2,850,rad/s時(shí)，其 Poincaré圖表現(xiàn)為一封閉的曲線．對(duì)比圖5～圖7可以發(fā)現(xiàn)，非線性Galerkin法降維系統(tǒng)和原系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性幾乎一致，而標(biāo)準(zhǔn)Galerkin法降維系統(tǒng)與原系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性存在一定的差別．

圖5 原系統(tǒng)計(jì)算結(jié)果(不對(duì)中故障)Fig.5 Computed results of original system(misalignment faults)

圖6 標(biāo)準(zhǔn)Galerkin法計(jì)算結(jié)果(不對(duì)中故障)Fig.6 Computed results of SGM(misalignment faults)

圖7 非線性Galerkin法計(jì)算結(jié)果(不對(duì)中故障)Fig.7 Computed results of NGM(misalignment faults)

圖8 不同轉(zhuǎn)速下系統(tǒng)響應(yīng)的Poincaré圖(不對(duì)中故障)Fig.8 Poincaré map of rotor system response at different rotating speeds(misalignment faults)

圖 9為隨轉(zhuǎn)速變化的幅頻曲線．從圖中可以發(fā)現(xiàn)，隨著轉(zhuǎn)速的升高，原系統(tǒng)在轉(zhuǎn)速 1,500,rad/s時(shí)幅值出現(xiàn)跳躍，標(biāo)準(zhǔn)Galerkin法出現(xiàn)幅值跳躍時(shí)轉(zhuǎn)速為1,560,rad/s，跳躍點(diǎn)發(fā)生漂移，而非線性 Galerkin法為 1,520,rad/s，與標(biāo)準(zhǔn) Galerkin法相比，非線性Galerkin法產(chǎn)生跳躍點(diǎn)的漂移相對(duì)較?。送?，隨著轉(zhuǎn)速的升高，在幅值出現(xiàn)跳躍前，降維所得的幅值誤差逐漸增大，在幅值出現(xiàn)跳躍后，誤差逐漸減小，且非線性 Galerkin法所得曲線與原系統(tǒng)幾乎重合．與標(biāo)準(zhǔn)Galerkin法相比，非線性Galerkin法所得的隨轉(zhuǎn)速變化的幅值與原系統(tǒng)更接近．

圖9 O1節(jié)點(diǎn)x向振動(dòng)幅頻特性曲線Fig.9 Amplitude-frequency characteristic curves of O1node in the direction of x axis

圖10為不同轉(zhuǎn)速下原系統(tǒng)與兩種Galerkin降維方法計(jì)算所得的軸心軌跡．在轉(zhuǎn)速為 2,650,rad/s時(shí)，非線性Galerkin法所得結(jié)果與原系統(tǒng)相似，都為擬周期運(yùn)動(dòng)，而標(biāo)準(zhǔn) Galerkin法所得結(jié)果為 2倍周期運(yùn)動(dòng)；當(dāng)轉(zhuǎn)速分別為 2,750,rad/s、2,900,rad/s時(shí)，非線性Galerkin所得的軸心軌跡的幅值都比標(biāo)準(zhǔn) Galerkin法更接近原系統(tǒng)．

圖10 不同轉(zhuǎn)速下O1節(jié)點(diǎn)的軸心軌跡(不對(duì)中故障)Fig.10 Orbit plot of O1node at different rotating speeds (misalignment faults)

由以上分析可知，在研究滾動(dòng)軸承支撐下的不對(duì)中故障轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)響應(yīng)時(shí)，在相同的降維階數(shù)下，由于考慮了高階模態(tài)的影響，非線性Galerkin法比同階的標(biāo)準(zhǔn)Galerkin法更具有優(yōu)勢(shì)，能更好地體現(xiàn)存在滾動(dòng)軸承和不對(duì)中故障的復(fù)雜非線性系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為．

3.1.2 不對(duì)中故障下系統(tǒng)的響應(yīng)分析

圖11為轉(zhuǎn)速ω＝1,850,rad/s時(shí)不同不對(duì)中量狀態(tài)下 O3節(jié)點(diǎn) y方向響應(yīng)的頻譜．當(dāng)不對(duì)中量為 0時(shí)，轉(zhuǎn)子只有 1倍頻，存在不對(duì)中故障時(shí)，出現(xiàn) 2倍頻、3倍頻及4倍頻等高倍頻成分，且以1、2倍頻分量為主．隨著不對(duì)中量的增加，3、4倍頻等高倍頻幅值均有所增大，2倍頻幅值呈線性增加，而工頻幅值基本保持不變．

圖11 ω＝1,850,rad/s時(shí)不同不對(duì)中量下系統(tǒng)響應(yīng)的頻譜Fig.11 Spectrum diagram of rotor system response at different misalignment parameters when ω＝1,850,rad/s

3.2 碰摩及不對(duì)中耦合故障下系統(tǒng)的降維計(jì)算結(jié)果對(duì)比及分析

3.2.1 標(biāo)準(zhǔn)Galerkin法和非線性Galerkin法的比較

不對(duì)中常常會(huì)引起碰摩故障的二次效應(yīng)，產(chǎn)生復(fù)雜的非線性耦合關(guān)系，表現(xiàn)出更復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為．為比較兩種 Galerkin法在處理滾動(dòng)軸承和不對(duì)中及碰摩耦合故障引起的復(fù)雜非線性問(wèn)題時(shí)的降維效果，分別采用標(biāo)準(zhǔn)Galerkin法與非線性Galerkin法進(jìn)行數(shù)值仿真，并與原系統(tǒng)進(jìn)行比較．其中兩種方法的降維階數(shù)以及非線性 Galerkin法所考慮的高階模態(tài)階數(shù)均與第 3.1.1節(jié)相同．碰摩剛度為 Ks＝3× 107,N/m，e0＝1.5×10-5,m，其余參數(shù)見(jiàn)表1～表3．圖12～圖14分別為原系統(tǒng)、標(biāo)準(zhǔn)Galerkin法降維系統(tǒng)以及非線性Galerkin法降維系統(tǒng)O1節(jié)點(diǎn)x方向位移響應(yīng)隨轉(zhuǎn)速變化的分岔圖以及對(duì)應(yīng)的瀑布圖．分析圖12可知，在轉(zhuǎn)速ω＜2,250,rad/s時(shí)，系統(tǒng)為擬周期運(yùn)動(dòng)，并在轉(zhuǎn)速為 1,550,rad/s附近出現(xiàn)跳躍，如圖15(a)所示，在轉(zhuǎn)速為1,600,rad/s時(shí)，其Poincaré圖表現(xiàn)為一封閉曲線；在區(qū)間(2,250，2,780)rad/s，頻譜圖為連續(xù)曲線，系統(tǒng)由擬周期進(jìn)入混沌狀態(tài)，如圖15(b)所示，在轉(zhuǎn)速為 2,600,rad/s時(shí)，其 Poincaré圖表現(xiàn)為成片的無(wú)規(guī)則的密集點(diǎn)；在轉(zhuǎn)速ω∈(2,780，2,890)rad/s時(shí)，1/2倍頻表現(xiàn)明顯，系統(tǒng)由混沌分岔為 2倍周期運(yùn)動(dòng)，如圖 15(c)所示，在轉(zhuǎn)速為2,870,rad/s時(shí)，其 Poincaré圖表現(xiàn)為孤立的兩點(diǎn)；當(dāng)ω＞2,890,rad/s時(shí)，系統(tǒng)再次進(jìn)入擬周期運(yùn)動(dòng)，如圖15(d)所示，在轉(zhuǎn)速為 2,920,rad/s時(shí)，其 Poincaré圖表現(xiàn)為一封閉曲線．對(duì)比圖 12～14可以發(fā)現(xiàn)，非線性 Galerkin法降維系統(tǒng)和原系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性幾乎一致，而標(biāo)準(zhǔn) Galerkin法降維系統(tǒng)在轉(zhuǎn)速為1,550,rad/s附近沒(méi)有出現(xiàn)跳躍且在轉(zhuǎn)速區(qū)間(2,300，2,780)rad/s表現(xiàn)為與原系統(tǒng)不同的動(dòng)力學(xué)特性，降維方法失效．

圖12 原系統(tǒng)計(jì)算結(jié)果(不對(duì)中碰摩耦合故障)Fig.12 Computed results of original system(misalignment rubbing coupling faults)

圖13 標(biāo)準(zhǔn)Galerkin法計(jì)算結(jié)果(不對(duì)中-碰摩耦合故障)Fig.13 Computed results of SGM(misalignment rubbing coupling faults)

圖14 非線性Galerkin法計(jì)算結(jié)果(不對(duì)中-碰摩耦合故障)Fig.14 Computed results of NGM(misalignment rubbing coupling faults)

圖15 不同轉(zhuǎn)速下系統(tǒng)響應(yīng)的 Poincaré圖(不對(duì)中-碰摩耦合故障)Fig.15 Poincaré map of rotor system response at different rotating speeds(misalignment rubbing coupling faults)

圖16為不同轉(zhuǎn)速下原系統(tǒng)與兩種Galerkin降維方法計(jì)算所得的軸心軌跡．在轉(zhuǎn)速為 2,850,rad/s時(shí)，非線性Galerkin所得結(jié)果與原系統(tǒng)相似，都為2倍周期運(yùn)動(dòng)，而標(biāo)準(zhǔn) Galerkin法所得結(jié)果為擬周期運(yùn)動(dòng)．當(dāng)轉(zhuǎn)速分別為 1,960,rad/s、2,950,rad/s時(shí)，非線性Galerkin法所得軸心軌跡的幅值都比標(biāo)準(zhǔn) Galerkin法更接近原系統(tǒng)．

由以上分析可知，在研究滾動(dòng)軸承支撐下的不對(duì)中碰摩耦合故障轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)響應(yīng)時(shí)，標(biāo)準(zhǔn) Galerkin法降維系統(tǒng)與原系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性存在較大差別，已不再適用．而在相同的降維階數(shù)下，由于非線性Galerkin法考慮了高階模態(tài)的影響，比同階的標(biāo)準(zhǔn)Galerkin法更具有優(yōu)勢(shì)，能較好地處理復(fù)雜非線性問(wèn)題．

圖16 不同轉(zhuǎn)速下 O1節(jié)點(diǎn)的軸心軌跡(不對(duì)中-碰摩耦合故障)Fig.16 Orbit plot of O1node at different rotating speeds (misalignment rubbing coupling faults)

3.2.2 碰摩及不對(duì)中故障下系統(tǒng)的響應(yīng)分析

對(duì)比圖 7(a)與圖 14(a)可知，由于碰摩的影響，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為變得更復(fù)雜，在轉(zhuǎn)速1,550,rad/s附近出現(xiàn)跳躍，此時(shí)可能有多個(gè)吸引子共存．此外，系統(tǒng)由擬周期進(jìn)入混沌的轉(zhuǎn)速由 2,300,rad/s提前到了2,250,rad/s，且混沌區(qū)間變大．

對(duì)比圖 7(b)和圖 14(b)可知，在轉(zhuǎn)速比較低時(shí)，由于碰摩的影響，系統(tǒng) 2倍、3倍等高倍頻成分更豐富，分頻現(xiàn)象不明顯；當(dāng)轉(zhuǎn)速ω＞2,000,rad/s時(shí)，碰摩后系統(tǒng)產(chǎn)生大量的分頻，而高頻現(xiàn)象則不明顯．

圖17為系統(tǒng)在低轉(zhuǎn)速900,rad/s時(shí)O2節(jié)點(diǎn)y方向響應(yīng)時(shí)間歷程、相圖、Poincaré映射以及頻譜．從頻譜中可以發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)存在2倍、3倍等高倍頻成分，2倍頻成分相對(duì)較大，同時(shí)存在分頻，但表現(xiàn)不明顯，系統(tǒng)做擬周期運(yùn)動(dòng)．

圖17 ω＝900,rad/s時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)的特征Fig.17 Characteristics diagram of system response when ω＝900,rad/s

圖18為系統(tǒng)在高轉(zhuǎn)速2,800,rad/s時(shí)，O2節(jié)點(diǎn)y方向響應(yīng)的時(shí)間歷程、相圖、Poincaré映射以及頻譜．從頻譜中可以發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)存在1/2、3/2等分頻，其中1/2倍頻表現(xiàn)明顯，系統(tǒng)做2倍周期運(yùn)動(dòng)．

圖 18 ω＝2,800,rad/s時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)的特征Fig.18 Characteristics diagram of system response when ω＝2,800,rad/s

4 結(jié) 論

(1) 通過(guò)對(duì)兩種 Galerkin法降維系統(tǒng)與原系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分岔圖、瀑布圖、隨轉(zhuǎn)速變化幅值圖等進(jìn)行對(duì)比分析可發(fā)現(xiàn)，非線性Galerkin法在處理滾動(dòng)軸承和不對(duì)中單一故障引起的復(fù)雜非線性問(wèn)題時(shí)所得的結(jié)果均能與未降維系統(tǒng)較好地吻合，而標(biāo)準(zhǔn)Galerkin法則存在一定的差別；當(dāng)綜合考慮不對(duì)中-碰摩耦合故障時(shí)，非線性Galerkin法降維系統(tǒng)仍能較好地與原系統(tǒng)保持一致，而標(biāo)準(zhǔn)Galerkin法降維系統(tǒng)則出現(xiàn)與未降維系統(tǒng)不同的動(dòng)力學(xué)特性，降維方法已不再適用．因此，由于標(biāo)準(zhǔn) Galerkin法是一種線性降維方法，在處理滾動(dòng)軸承和不對(duì)中、碰摩故障引起的復(fù)雜非線性問(wèn)題時(shí)，隨著故障因素的增多，非線性耦合關(guān)系變得更加復(fù)雜，標(biāo)準(zhǔn)Galerkin法逐漸表現(xiàn)出一定的不適應(yīng)性，甚至出現(xiàn)與未降維系統(tǒng)不同的動(dòng)力學(xué)特性．而非線性 Galerkin法則能較好地應(yīng)用于復(fù)雜非線性故障轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的降維．

(2) 應(yīng)用非線性 Galerkin法進(jìn)一步分析故障轉(zhuǎn)子系統(tǒng)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)存在不對(duì)中故障時(shí)，系統(tǒng)會(huì)產(chǎn)生 2倍、3倍等高倍頻成分，且 1、2倍頻表現(xiàn)明顯．隨著不對(duì)中量的增加，2倍頻成分呈線性增加，而工頻基本保持不變．綜合考慮不對(duì)中-碰摩耦合故障，對(duì)比單一故障下的分岔圖、瀑布圖發(fā)現(xiàn)，碰摩使系統(tǒng)產(chǎn)生更復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為，分岔圖中出現(xiàn)了跳躍現(xiàn)象，系統(tǒng)的混沌區(qū)間變大．在低轉(zhuǎn)速區(qū)域，由于碰摩的影響，系統(tǒng)2倍、3倍等高倍頻成分更豐富，分頻現(xiàn)象不明顯；在高轉(zhuǎn)速區(qū)域，碰摩使系統(tǒng)產(chǎn)生大量的分頻，而高頻現(xiàn)象則不明顯．因此，盡管降維后故障轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的維數(shù)減少，但并未改變故障轉(zhuǎn)子的動(dòng)力學(xué)特性，其故障特征信息仍得到保留，從而進(jìn)一步驗(yàn)證了非線性 Galerkin法能有效地應(yīng)用于復(fù)雜非線性故障轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的降維．

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(責(zé)任編輯：金順愛(ài))

Dimension Reductions and Dynamic Characteristics of Rotor System with Coupling Faults

Cao Shuqian1,2,3，Wang Jun1,2,3，Han Yanyan1,2,3，Bai Xuechuan1,2,3
(1. School of Mechanical Engineering，Tianjin University，Tianjin 300072，China；2. Tianjin Key Laboratory of Nonlinear Dynamics and Chaos Control，Tianjin 300072，China；3. State Key Laboratory of Engines，Tianjin University，Tianjin 300072，China)

A comparison was made between the nonlinear Galerkin method(NGM)and the standard Galerkin method(SGM)in terms of dimension reduction’s effect in the solution for complex nonlinear problems caused by the rolling bearing，misalignment faults and friction faults. NGM was further applied to the analysis of the dynamic characteristics of faulty rotor system. Considering the meshing force of misalignment spline coupling，a dynamic model of rotor-ball bearing-spline coupling system with misalignment rubbing coupling faults was established. Both Galerkin methods were used for dimension reduction of the rotor system and a comparative analysis was also conducted，with the aid of numerical simulation，bifurcation diagram，waterfall diagram，etc. Results show that the dimension reduction effect by NGM in dealing with misalignment faulty rotor system and misalignment rubbing coupling faulty rotor system is almost the same as the dimension reduction effect of the system before NGM is applied，while SGM results show some discrepancies and even a total failure of dimension reduction effect. Findings from the analysis of a faulty rotor system in the application of NGM indicate that although dimension reduction can decrease the dimension number of a faulty rotor system，it does not change the dynamic characteristics of the faulty rotor system，with its faulty features unaltered.

nonlinear Galerkin method；standard Galerkin method；misalignment engaging force；misalignment rubbing coupling faults；rotor system；spline coupling

TH133.3

A

0493-2137(2015)04-0318-10

10.11784/tdxbz201310068

2013-10-28；

2014-01-13.

天津市自然科學(xué)基金重點(diǎn)資助項(xiàng)目(11JCZDJC25400)；天津大學(xué)自主創(chuàng)新基金資助項(xiàng)目(2013XZS-0024).

曹樹謙（1964— ），男，博士，教授.

曹樹謙，sqcao@tju.edu.cn.

時(shí)間：2014-02-28.

http：//www.cnki.net/kcms/doi/10.11784/tdxbz201310068.html.