數(shù)學(xué)分析中輔助函數(shù)法的妙用

貢麗霞,王瑞霞,何東中

(石家莊鐵道大學(xué)四方學(xué)院,石家莊,051132)

0 引言

從數(shù)學(xué)產(chǎn)生那天起，數(shù)學(xué)中的構(gòu)造性的方法也就伴隨著產(chǎn)生了。數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的直覺(jué)派最先提出了這種不成熟的構(gòu)造性方法，經(jīng)過(guò)了直覺(jué)數(shù)學(xué)，算法數(shù)學(xué)，現(xiàn)代構(gòu)造數(shù)學(xué)階段，這種方法逐漸成熟，并且成為了數(shù)學(xué)分析中最常用的方法之一。

所謂“構(gòu)造法”即是在解題過(guò)程中,為了實(shí)現(xiàn)條件向結(jié)論的轉(zhuǎn)化,利用問(wèn)題的特殊性設(shè)計(jì)一個(gè)新的關(guān)系系統(tǒng)去實(shí)現(xiàn)原問(wèn)題的解決.這種思維活動(dòng)的特點(diǎn)在于“構(gòu)造”，構(gòu)造的量有時(shí)看來(lái)似乎與題意無(wú)關(guān)，但實(shí)際上恰與問(wèn)題有內(nèi)在關(guān)系，而且在某種條件下正是題目所求，具有較強(qiáng)的靈活性和技巧性.這種轉(zhuǎn)換思維的方法在微積分解題過(guò)程中常有用到,例如在等式或不等式的證明中,通常是根據(jù)要證的式子,探索所需函數(shù),先構(gòu)造一個(gè)輔助函數(shù),再利用有關(guān)知識(shí)去解決.

下面從以下幾方面談?wù)劽钣脴?gòu)造輔助函數(shù)法解決數(shù)學(xué)分析中的相關(guān)問(wèn)題．

對(duì)于這類問(wèn)題，我們已經(jīng)研究的比較清楚，并有以下命題：

命 題1 設(shè)且上連續(xù)，在 內(nèi)可導(dǎo)及 ，則至少存在一點(diǎn) 使

注：① 中的積分只取一個(gè)原函數(shù)；

②命題中若 ，即為羅爾定理；值定理

③命；題中若，即為拉格朗日中

我們學(xué)過(guò)常微分方程，只要將命題結(jié)論看成一個(gè)微分方程（將看作未知量），那么 就是這個(gè)方程的特解（在通解中取）．

例1 設(shè)函數(shù) 在 上連續(xù)，在 內(nèi)可導(dǎo)，則至少存在一點(diǎn)使得

1 用構(gòu)造函數(shù)法證明等式

1.1 證明中值的存在性

（1）要求中值滿足“”型的問(wèn)題．

證 對(duì)照上面的命題，我們可設(shè)

例1還可以有第二種解法：

如果不便于積分，那么將作適當(dāng)處理(如乘上一個(gè)不恒為零的函數(shù)等)，使其便于積分，再使用積分法來(lái)構(gòu)造輔助函數(shù)．

（2） 結(jié)論中出現(xiàn)或二階以上導(dǎo)數(shù)的情況．

證 作輔助函數(shù)

此方法雖然易懂，但有時(shí)計(jì)算很繁雜，因此就要求用技巧更高的構(gòu)造輔助函數(shù)法．

分析 此題若用上述方法構(gòu)造函數(shù)，求原函數(shù)時(shí)計(jì)算復(fù)雜，因此構(gòu)造另一個(gè)簡(jiǎn)便的函數(shù)．

證 令

1.2 證明雙介值問(wèn)題，即的存在性

先運(yùn)用一次拉格朗日中值定理或柯西中值定理，然后轉(zhuǎn)化為單介值問(wèn)題，一般是再用一次拉格朗日中值定理或柯西中值定理．運(yùn)用柯西中值定理來(lái)說(shuō)明，我們將柯西中值公式寫成：

可以看到，若選取不同的函數(shù)可將表示成不同的形式，若另取，則使得

1.3 證明3個(gè)中值的存在性

解這類題找三個(gè)不同的函數(shù)，滿足柯西中值定理，故存在，使得

因?yàn)樽笫较嗟人杂沂揭蚕嗟龋?/p>

1.4 證明個(gè)中值的存在性

推廣到證明個(gè)中值的存在性，用個(gè)不同的函數(shù)（只要滿足柯西中值定理的條件）便可得到含個(gè)中值的個(gè)等式．

2 用構(gòu)造函數(shù)法證明不等式

步驟:

證 構(gòu)造函數(shù)

3 構(gòu)造具有特殊性質(zhì)的函數(shù)

在數(shù)學(xué)分析中，為了加深對(duì)概念的理解，或說(shuō)明定義的嚴(yán)密性，許多地方都會(huì)舉出一些實(shí)例。如一元（多元）函數(shù)的極限、連續(xù)等，大多數(shù)人認(rèn)為僅僅是構(gòu)造函數(shù)，而不是解題．事實(shí)上，能夠真正熟悉了解具有特殊性的函數(shù)，一方面可以幫助我們?cè)跇?gòu)造函數(shù)時(shí)打開思路，最快的找到我們需要的輔助函數(shù)；另一方面，構(gòu)造具有特殊性質(zhì)的函數(shù)也可能直接解決問(wèn)題。

例如函數(shù)，由于其導(dǎo)數(shù)仍是它本身，利用它容易將與甚至更高階導(dǎo)數(shù)聯(lián)系起來(lái)，這就要求我們對(duì)一些重要的常用的函數(shù)及其性質(zhì)非常熟悉．

例7 證明：若函數(shù) 在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且

4 結(jié)術(shù)語(yǔ)

除了構(gòu)造函數(shù)法以外，我們還可以構(gòu)造數(shù)列、構(gòu)造積分、構(gòu)造級(jí)數(shù)、構(gòu)造區(qū)間套、構(gòu)造反例等不同的數(shù)學(xué)形式，來(lái)解決數(shù)學(xué)分析中的相關(guān)問(wèn)題，總之使用構(gòu)造法,對(duì)于數(shù)學(xué)理論的研究,發(fā)展和數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決都具有重要的意義,同時(shí)對(duì)學(xué)生創(chuàng)造性思維素質(zhì)和能力的培養(yǎng)也具有不可忽視的作用。

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