基于徑向基響應(yīng)面優(yōu)化斷路器溫控研究

李洪+徐麗麗+李勁

摘要： 在研究斷路器溫度變化過程中，控制其溫度變化是一項極為重要的工作。由于試驗分析溫度變化過程時會受到各種因素的影響的干擾，因此需要利用試驗設(shè)計篩選出關(guān)鍵影響因子進(jìn)行重點改進(jìn)。文章在結(jié)合一次對斷路器溫變過程的全面調(diào)查所獲得的實際數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)之上，首先利用均勻設(shè)計與正交設(shè)計在試驗次數(shù)相近時，均勻性更好的、更具代表性的特點進(jìn)行試驗分析；然后通過響應(yīng)面法（Response Surface Methodology——RSM）構(gòu)建斷路器溫度變化的回歸模型，并且利用殘差進(jìn)行插值擬合，最終構(gòu)建基于徑向基函數(shù)的響應(yīng)面模型。并且期望改進(jìn)后的模型更能有效的避免傳統(tǒng)響應(yīng)面優(yōu)化方法的缺點。

Abstract： The temperature change of control circuit breaker is very important work in the process of studying circuit breaker temperature change. Because the test analysis of temperature change process are influenced by various factors， we need to use design of experiment method to screen out the key influence factors to improve. This paper used uniform design has better uniformity and the characteristics of more representative to experiment when uniform design and orthogonal design in similar experiments based on the actual data of a complete investigation of the circuit breaker temperature change. Then it applied response surface methodology to build a regression model about circuit breaker temperature change and used the residual to interpolation fit， finding out the response surface model based on the radial basis function. And the improved model can effectively avoid the shortcoming of traditional response surface optimization method.

關(guān)鍵詞： 優(yōu)化設(shè)計；徑向基函數(shù)；響應(yīng)面法；插值擬合

Key words： optimize design；radial basis function；response surface methodology；interpolation fit

中圖分類號：TP301 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1006-4311（2018）02-0118-04

0 引言

隨著制造業(yè)的發(fā)展和技術(shù)的提高，人們對于斷路器成品質(zhì)量的要求越來越高，而在斷路器的制造過程中如何控制影響溫變因素，這個問題越來越引起人們關(guān)注。

響應(yīng)面法能夠在最優(yōu)區(qū)域內(nèi)通過二次多項式擬合一個響應(yīng)曲面代替未知的真實曲面，如：張亞南等[1]利用響應(yīng)面優(yōu)化法進(jìn)行復(fù)配穩(wěn)定劑的優(yōu)化，以此改善了乳清雪菊酒的不穩(wěn)定性；程軍圣等[2]為了改善聽小骨消聲器的消聲性能，利用響應(yīng)面法夠造二次多項式響應(yīng)面模型，并且驗證了其方法的有效性。但是響應(yīng)面法并未對殘差進(jìn)行處理，并且其核心之一就是輸入變量試驗點選取的隨機性，而采用均勻設(shè)計篩選試驗點后所構(gòu)建的響應(yīng)面便可以使結(jié)果更加精確，并且均勻設(shè)計更加適用于多水平試驗，也多有應(yīng)用，如：周敏等[3]將均勻設(shè)計用在汽車前輪罩板成形參數(shù)設(shè)計中，明顯節(jié)省了工藝制造的時間，提高了工藝設(shè)計的工作效率；李子軒等[4]利用均勻試驗設(shè)計的方法研究多水平工藝參數(shù)對C型鋼成形質(zhì)量的影響，結(jié)果表明合理的試驗設(shè)計方案所得到的工藝參數(shù)有效的改善了冷彎產(chǎn)品的質(zhì)量。而徑向基函數(shù)對于任意維的離散觀察點的處理較為簡單，并且徑向基函數(shù)具有良好的擬合性和較高的精確值，同時利用插值擬合處理殘差，并建立基于徑向基函數(shù)的響應(yīng)面模型能夠更好的表達(dá)真實曲面的模擬信息，如：潘雷等[5]采用徑向基函數(shù)方法對多項式響應(yīng)面法的殘差進(jìn)行處理，有效地提高了多項式響應(yīng)面的近似精度?？v觀均勻設(shè)計、響應(yīng)面優(yōu)化和徑向基函數(shù)等的發(fā)展與應(yīng)用，越來越多的學(xué)者將各種方法有機的結(jié)合在一起，以此來改善傳統(tǒng)單一的使用一種方法來研究某個領(lǐng)域的相關(guān)問題，因此將徑向基函數(shù)與響應(yīng)面優(yōu)化和均勻設(shè)計相結(jié)合是一種不錯的選擇。并且針對這一領(lǐng)域的研究已有不少，如秦玉靈等[6]在對機翼進(jìn)行有限元分析時，首先利用均勻設(shè)計分析其結(jié)構(gòu)參數(shù)，然后在建立基于高斯徑向基函數(shù)的響應(yīng)面模型，并且利用最小二乘得出系數(shù)；馬偉標(biāo)等[7]在研究優(yōu)化履帶車輛懸掛系統(tǒng)的參數(shù)時，利用徑向基函數(shù)構(gòu)建了其主要參數(shù)與平順性評價指標(biāo)之間的響應(yīng)面模型，并且利用退火優(yōu)化算法對參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，證明了其方法的可行性；安治國等[8]在討論板料成形時，首先通過超拉丁立方的抽樣設(shè)計，然后建立基于徑向基函數(shù)的響應(yīng)面模型，分析了板料在沖壓成形過程中的可靠性，證實了徑向基響應(yīng)面模型的有效性；郁勝等[9]在對大跨度斜拉橋進(jìn)行分析時，構(gòu)建了基于徑向基函數(shù)的響應(yīng)面分析模型，并且利用遺傳算法進(jìn)行修正。雖然利用均勻設(shè)計、響應(yīng)面法建立回歸模型并結(jié)合徑向基函數(shù)解決多水平、非線性問題的研究已有不少，但遺憾的是在控制斷路器的制造過程中分析其溫度變化的應(yīng)用還很少。endprint

本文通過Design-Expert和MATLAB工具，首先對試驗數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，再利用響應(yīng)面方法構(gòu)建控制斷路器溫變回歸模型，最后對殘差進(jìn)行插值擬合并構(gòu)建基于徑向基函數(shù)的響應(yīng)面優(yōu)化模型。

1 基于均勻設(shè)計RBF-RSM的溫控工藝原理

1.1 響應(yīng)面法

響應(yīng)面法（Response Surface Methodology—RSM）最早是由Box和Wilson提出的，并且早于田口玄一提出的三次設(shè)計法。它是數(shù)學(xué)和統(tǒng)計學(xué)結(jié)合的產(chǎn)物，其目的是優(yōu)化響應(yīng)變量和響應(yīng)之間的潛在規(guī)律。

響應(yīng)面法在優(yōu)化設(shè)計時，則是通過合理的試驗設(shè)計方法解決如何建立目標(biāo)、約束和設(shè)計變量之間的近似函數(shù)。目前構(gòu)造響應(yīng)面的方法主要有多項式、指數(shù)和對數(shù)函數(shù)擬合，以及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等。雖然構(gòu)造的響應(yīng)面的方法有很多，但是根據(jù)魏爾斯特拉斯定理，許多類型的函數(shù)都可以用多項式去逼近，多項式近似模型可以處理相當(dāng)廣泛的非線性問題，因此，在優(yōu)化時，不論設(shè)計變量和目標(biāo)函數(shù)的關(guān)系如何，總可以采用多項式近似模型進(jìn)行分析。

而在優(yōu)化設(shè)計中，響應(yīng)變量和自變量之間的關(guān)系形式是未知的，因此，通常在自變量的某個范圍內(nèi)（穩(wěn)定區(qū)域）構(gòu)建近似模型。在實際應(yīng)用中則是利用恰當(dāng)?shù)脑囼烖c，在確定穩(wěn)定區(qū)域后，通過擬合一階或二階響應(yīng)面回歸模型，通過模型分析結(jié)果，找到最佳的參數(shù)組合，如一階模型的表達(dá)式如下：

Y=？茁0+■？茁iXi+？著（1）

二階模型表達(dá)式：

Y=？茁0+■？茁iXi+■？茁iiX■■+■？茁ijX■iXj■+？著（2）

其中：Y代表響應(yīng)值； ？茁0代表常數(shù)項；？茁i代表線性系數(shù)；？茁ii代表二次項系數(shù)；？茁ij代表交互作用項系數(shù)；？著代表誤差項；Xi和Xj代表各因素。

幾乎所有的響應(yīng)面問題都可以用以上兩個模型中的一個或者兩個解決。而未知系數(shù)可通過已觀測到的試驗數(shù)據(jù)（x11，x21，…xn1，y1），…，（x1k，x2k，…，xnk，yk）用最小二乘法來估計，即擬合值與樣本值在各點的殘差的平方和最小來確定響應(yīng)系數(shù)，然后在擬合曲面上做響應(yīng)面分析。系數(shù)估計以一階為例：

■=[■0，■1，…，■n]T=（XTX）-1XTY

=[■■y■■…■]T（3）

式中

X=■，Y= y1y2■yk

于是可得到一階響應(yīng)面模型為

■=■0+■■ixi（4）

1.2 均勻試驗設(shè)計

從早期的單因素試驗設(shè)計發(fā)展至今，人們對于試驗設(shè)計的運用已經(jīng)相當(dāng)成熟。在響應(yīng)面優(yōu)化方法中通常都會使用試驗設(shè)計，如正交設(shè)計、中心復(fù)合設(shè)計、拉丁方等，但是對于多因素、多水平問題，這些方法總存在缺陷，而均勻設(shè)計在安排較少試驗次數(shù)的同時也使得試驗數(shù)據(jù)更適合建立模型，在合理均勻排列試驗點的同時也可以保證響應(yīng)面模型的精確度。

1.3 徑向基函數(shù)

徑向基函數(shù)（Radial Basis Function——RBF）是由Hardy提出的某種沿徑向?qū)ΨQ的標(biāo)量函數(shù)，通常定義為n維空間中任一點到x某一中心xi之間距離的單調(diào)函數(shù)[9]，可記為

H（■ x-xi ■）

其中， ■ x-xi ■為x到xi之間的Euclidean距離。

對？坌f∈R，如果給定與xi相對應(yīng)的函數(shù)值fj，其基于徑向基函數(shù)H的近似表達(dá)式（插值函數(shù)）為

f（x）=■cjHj （ ■ x-xj ■）（5）

其中cj為常系數(shù)。為確定系數(shù)cj，現(xiàn)將函數(shù)f在點xi上坐標(biāo)和函數(shù)值fi分別代入上式左右兩側(cè)，有

fj（x）=■cjHj（■ xi-xj ■）（6）

將i取遍1到N的所有值，可得到下面的矩陣方程：

XC=F（7）

其中C={c1，c2，…，cN}T，F(xiàn)={f1，f2，…，fN}T，X為N×N階矩陣，其中元素xij為

xij=Hj ■ xi-xj ■（8）

則可得C=X-1F。

顯然，如果矩陣X可逆，則系數(shù)C存在。而矩陣X可逆的充分條件之一是基函數(shù)H ■ x-xj ■為正定函數(shù)即可。

1.4 徑向基函數(shù)響應(yīng)面模型

傳統(tǒng)的多項式響應(yīng)面法雖然在構(gòu)造和計算上相對簡單，能夠以擬合的響應(yīng)面曲面代替真實的曲面，但是其精度有限，并且不能隨著樣本量的增大而提高其近似精度；而徑向基函數(shù)和響應(yīng)面優(yōu)化擁有著共同的優(yōu)點——構(gòu)造和計算簡單，其缺點則是不能夠較好的提供插值曲面的近似連續(xù)擬合曲面。

并且響應(yīng)面法由于不能對其結(jié)果中的殘差進(jìn)行處理而導(dǎo)致不能夠隨樣本容量的增大而有效地提高精度，從而使得在進(jìn)行曲面分析時，丟失許多信息。

在RSM分析時，設(shè)生成的近似曲面為F1，試驗點和擬合點間的差值為殘差R。首先利用RBF對R進(jìn)行處理，提取R中的信息加入到近似結(jié)果中去，這樣可以有效地避免RBF和RSM的缺點，徑向基響應(yīng)面法的計算流程如下：

①對原始試驗點生產(chǎn)RSM近似曲面并設(shè)生成的近似曲面為F1；

②計算殘差R；

③利用殘差R計算RBF插值函數(shù)F2；

④將F1和F2進(jìn)行疊加，作為最終的插值結(jié)果G。

G=F1（X）+F2（X）=a0+■aixi+■cjH■ x-xj ■（9）

其中xi為向量X的第i個分量，xj為第j個向量，未知系數(shù)a和c可以根據(jù)已知的m組試驗數(shù)據(jù)和殘差R按照RSM和RBF公式計算得到。其具體流程如圖1所示。

2 基于均勻設(shè)計RBF-RSM優(yōu)化溫控工藝模型

本節(jié)將應(yīng)用均勻設(shè)計理論，對影響溫度變化的各項因素進(jìn)行分析。本文的數(shù)據(jù)源于浙江H公司QC小組對于分析斷路器時溫度變化的一次全面的調(diào)查，采集了在試驗分析過程中影響溫度變化的3項指標(biāo)，它們分別是熔焊面積、鍍銀厚度和電阻值。endprint

2.1 均勻設(shè)計試驗方案

均勻設(shè)計利用合理的因素水平、恰當(dāng)?shù)陌才旁囼灒绱四芨玫姆治龀龈饕蛩貙厣兓挠绊?。通過3因素4水平共16個試驗點進(jìn)行分析，均勻設(shè)計因素水平表如表1所示。試驗序號來自均勻設(shè)計表U*16（1612）及其使用表。

2.2 均勻設(shè)計試驗結(jié)果

按照3因素4水平的試驗設(shè)計方案安排試驗，得到結(jié)果如表2所示，溫度為響應(yīng)值。

2.3 徑向基響應(yīng)面模型建立

將溫升變化作為響應(yīng)變量，熔焊面積（X1）、鍍銀厚度（X2）和電阻值（X3）作為自變量，根據(jù)均勻試驗設(shè)計結(jié)果建立不含交叉項的響應(yīng)面模型。

Y1=？茁0+■？茁iXi+■？茁iiX■■（10）

其中：Y1代表響應(yīng)值；？茁0代表常數(shù)項；？茁i代表一次項系數(shù)；Xi代表各因素。

根據(jù)表2的結(jié)果利用MATLAB工具擬合，得到其響應(yīng)面模型的方程：

Y1=-321.36+13.79X1+10.66X2+290.27X3-0.48X■■+0.12X■■-91.13X■■

殘差就是真實值與擬合值之間的差值，即為

ei=yi-■i

其中yi為真實觀測值，■i為擬合值。

二次響應(yīng)面回歸方程中各試驗點的真實值與擬合值之間的差值如表3所示。

由于徑向基函數(shù)H ■ x-xj ■可以是任意形式的低階多項式，因此文章選取■ x-xj ■ C作為徑向基函數(shù)，其中，0

Y2=0.15 ■ x-57.5 ■（11）

因此，得到基于徑向基函數(shù)的響應(yīng)面模型為

Y=-321.36+13.79X1+10.66X2+290.27X3-0.48X■■+0.12X■■-91.13X■■+0.15■ x-57.5 ■（12）

改進(jìn)后的徑向基響應(yīng)面模型是利用殘差進(jìn)行插值擬合后在進(jìn)行疊加而形成的，通過模型可以直觀的看到，改進(jìn)后的模型比原模型更優(yōu)，因為原模型丟失了殘差信息，而改進(jìn)后的模型有效的利用了殘差值。

3 結(jié)束語

文章以溫度變化值作為響應(yīng)變量，以熔焊面積、鍍銀厚度和電阻值作為參數(shù)，利用均勻設(shè)計進(jìn)行試驗，通過建立響應(yīng)面優(yōu)化模型，并且利用傳統(tǒng)響應(yīng)面優(yōu)化模型沒有對殘差進(jìn)行處理的缺陷進(jìn)行改進(jìn)，通過利用殘差進(jìn)行徑向基函數(shù)的插值擬合，最終構(gòu)建了基于徑向基函數(shù)的響應(yīng)面優(yōu)化模型。但本文的不足之處在于，數(shù)據(jù)數(shù)量的限制無法進(jìn)行細(xì)致的分析，以及由于試驗條件的限制不能進(jìn)行大量的試驗；同時，文章只是選擇了不含交叉項的響應(yīng)面優(yōu)化模型，也可以選擇全模型等，不同的選擇構(gòu)建的模型是不一樣的，并且文章并未對徑向基響應(yīng)面模型進(jìn)行優(yōu)化，這將是以后研究的目標(biāo)，因此沒有進(jìn)行更加具體和細(xì)致的分析，但對于斷路器的溫升變化判斷應(yīng)具有較好的作用。

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