基于重復(fù)公用品博弈的最優(yōu)模仿策

李夢(mèng)圓++段靈子++栗夢(mèng)妍++張博宇

摘 要：以往的研究一般是從社會(huì)學(xué)和心理學(xué)的角度出發(fā)分析人類從眾行為的合理性，本課題應(yīng)用演化博弈理論對(duì)人類社會(huì)中廣泛存在的模仿行為進(jìn)行分析?；谀７滦袨樽畋举|(zhì)的兩個(gè)特征，即初始策略與模仿強(qiáng)度，我們定義了重復(fù)公用品博弈中的模仿策略集，并通過計(jì)算不同類型模仿策略在重復(fù)公用品博弈中的收益，得到不同博弈參數(shù)下的最優(yōu)模仿對(duì)策。在選擇-突變框架下，本課題給出了重復(fù)公用品博弈情境下嚴(yán)格模仿策略的局部（演化）穩(wěn)定性條件，并證明了其在模仿策略集內(nèi)是不可被入侵的。

關(guān)鍵詞：重復(fù)公用品博弈 嚴(yán)格模仿策略 演化穩(wěn)定性 社會(huì)學(xué) 心理學(xué)

中圖分類號(hào)：TP18 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2015）02（a）-0018-02

在公用品博弈中，每一個(gè)參與者在游戲開始之前被給予一筆資金，他可以把它直接據(jù)為己有或者從中拿出一部分向一個(gè)公共儲(chǔ)備池（common pool）投資，公共儲(chǔ)備池中的資金被放大一定倍數(shù)后平均分配給所有參與者，不論其貢獻(xiàn)多少[1]。根據(jù)傳統(tǒng)的經(jīng)濟(jì)學(xué)理論，公用品博弈中唯一的理性結(jié)果為所有參與者均不捐獻(xiàn)任何資金。

在真實(shí)的公用品試驗(yàn)中，只有少數(shù)人的行為符合經(jīng)典經(jīng)濟(jì)學(xué)的預(yù)測(cè)。大量的實(shí)驗(yàn)證據(jù)顯示大多數(shù)受試者在博弈開始時(shí)一般會(huì)往公共儲(chǔ)備池中投入接近一半的資金。隨著博弈重復(fù)進(jìn)行，貢獻(xiàn)率逐漸下降到0[2]。例如在Fehr和G?chter[3]的重復(fù)公用品博弈實(shí)驗(yàn)中，在第一輪中平均捐獻(xiàn)率能達(dá)到初始資金的40%～60%，而在第十輪中超過70%的參與者選擇了0貢獻(xiàn)的行為。Traulsen等人[4]指出，在重復(fù)公用品博弈中，如果將降低貢獻(xiàn)視為對(duì)低貢獻(xiàn)者行為的模仿，那么這類行為的比例一般能占到全部行為的70%。

本研究中，我們將策略空間限定在重復(fù)公用品博弈的模仿行為類里?？紤]一個(gè)n人t輪重復(fù)公用品博弈，每一輪中，公共儲(chǔ)備池會(huì)將當(dāng)輪所有貢獻(xiàn)的資金放大r倍后平分給n個(gè)人。對(duì)于采用模仿策略的個(gè)體，在首輪博弈中他將按照自己意愿貢獻(xiàn)一定比例的資金，然后在之后的每一輪中對(duì)其他n-1個(gè)個(gè)體的貢獻(xiàn)平均值進(jìn)行一定力度的模仿。在一個(gè)重復(fù)博弈進(jìn)行過程中，每個(gè)個(gè)體的模仿策略始終保持不變，其收益定義為t輪重復(fù)博弈中每輪博弈結(jié)束后結(jié)余資金的平均值。一個(gè)模仿策略被稱為是（演化）穩(wěn)定的，如果大多數(shù)個(gè)體都采用該對(duì)策時(shí)，任何突變對(duì)策無(wú)法獲得更高的收益[5]。

1 模仿對(duì)策模型的建立

假設(shè)重復(fù)公用品博弈參與人數(shù)為n，公用儲(chǔ)備池的放大倍數(shù)為r，博弈輪數(shù)為t。通過包含兩個(gè)參數(shù)的向量（x，p）來(lái)定義個(gè)體的模仿策略，其中x∈[0，1]表示在重復(fù)公用品博弈中首輪的貢獻(xiàn)率，p∈[0，1]表示之后的每一輪對(duì)于組內(nèi)其他斜-1個(gè)個(gè)體平均貢獻(xiàn)值的模仿強(qiáng)度。嚴(yán)格模仿策略可寫為（x，1），即首輪貢獻(xiàn)x，從第二輪開始，每輪嚴(yán)格貢獻(xiàn)上一輪組內(nèi)其他個(gè)體貢獻(xiàn)的平均值。

我們假定n人重復(fù)公用品博弈中n-1個(gè)參與者所采用的模仿策略為S1=（x，p），另外1個(gè)參與者采用突變策略S2=（y，q）。所有采用S1策略的個(gè)體行為變化是同步的，并且每輪的貢獻(xiàn)值只依賴于上一輪組內(nèi)其他n-1個(gè)成員的平均貢獻(xiàn)比率，因此這類個(gè)體第t輪的貢獻(xiàn)率xt可以通過下面遞推式表示：

（1）

類似的，采用策略S2的個(gè)體在第t輪的貢獻(xiàn)率yt可以表示為：

（2）

下面我們利用待定系數(shù)法求解xt和yt的具體表達(dá)式。不妨設(shè)

， （3）

其中α和β為待定系數(shù)。

將方程（3）帶入（1）和（2）的第二個(gè)等式，解得

。

將上面結(jié)果帶入方程（1）和（2）的第二個(gè)等式，可以得到

由此解得S1策略個(gè)體和S2策略個(gè)體第t輪的貢獻(xiàn)分別為

因此使用S1策略的個(gè)體在t輪重復(fù)公用品博弈中的貢獻(xiàn)總和為

使用S2策略的個(gè)體在t輪重復(fù)公用品博弈中的貢獻(xiàn)總和為

n人公用品博弈中，如果n-1個(gè)個(gè)體采用S1策略，1個(gè)個(gè)體采用S2策略，那么使用S1策略和S2策略的個(gè)體在第t輪的收益可以表示為以下形式

（4）

所以由方程（4），兩類個(gè)體t輪重復(fù)公用品博弈中的每輪平均收益分別為

（5a）

（5b）

2 嚴(yán)格模仿策略的局部穩(wěn)定條件

2.1 模仿策略的局部穩(wěn)定性

一個(gè)模仿策略（x，p）被稱為局部（演化）穩(wěn)定的，如果對(duì)于任意局部突變策略（x+△x，p+△p），采用該突變策略的個(gè)體在一個(gè)由采用（x，p）策略的個(gè)體構(gòu)成的群體中，其收益低于使用原策略（x，p）帶來(lái)的收益[7]。這種情況下，此個(gè)體顯然沒有動(dòng)機(jī)堅(jiān)持使用突變策略（x+△x，p+△p），而會(huì)改回使用原對(duì)策（x，p）。

在n人重復(fù)公用品博弈中，模仿策略S1=（x，p）是局部穩(wěn)定的，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意S2=（x+△x，p+△p），（6）

當(dāng)△x→0，△p→0時(shí)，S1的局部穩(wěn)定性可以等價(jià)的表示為下面兩個(gè)條件

（7）

其中原策略S1=（x，p），突變策略S2=（y，q）。

2.2 n人重復(fù)公用品博弈嚴(yán)格模仿策略的局部穩(wěn)定條件

在n人重復(fù)公用品博弈情境下，方程（7）給出了模仿策略S1的局部穩(wěn)定性條件。將原策略記為S1=（x，p），突變策略記為S2=（y，q），由方程（5b），

（8）

（9）

方程（8）當(dāng)r>1和t>>1時(shí)，總有，即單輪平均收益隨著首輪貢獻(xiàn)率的增加單調(diào)遞增。因此在n人重復(fù)公用品博弈情境下，當(dāng)輪次t足夠大時(shí)，唯一可能的局部穩(wěn)定嚴(yán)格模仿策略是（1，1）。

我們接下來(lái)討論（1，1）對(duì)策在n人t輪重復(fù)公用品博弈中的局部穩(wěn)定條件。當(dāng)t=1時(shí)，首輪全部貢獻(xiàn)是穩(wěn)定的當(dāng)且僅當(dāng)r>n，即個(gè)體單獨(dú)提高貢獻(xiàn)值能使其收益增加。當(dāng)t>1時(shí)，將原策略（1，1）和突變策略（y，q）=（1-△y，1-△q）帶入方程（8）和（9），（1，1）是局部穩(wěn)定的當(dāng)且僅當(dāng)下面兩個(gè)不等式成立endprint

（10）

綜上所述，（1，1）的局部穩(wěn)定條件為

（11）

當(dāng)r>n時(shí)，（1，1）在任意輪次的重復(fù)公用品博弈中都是穩(wěn)定的。另一方面，注意到當(dāng)t>>1時(shí)，方程（10）中兩個(gè)不等式的右邊均趨近于1。這意味著當(dāng)r>1時(shí)，只要博弈重復(fù)的輪次充分長(zhǎng)，嚴(yán)格模仿策略（1，1）就會(huì)成為局部穩(wěn)定的，此時(shí)每名參與者都會(huì)選擇全部貢獻(xiàn)。

在實(shí)驗(yàn)經(jīng)濟(jì)學(xué)中，重復(fù)公用品實(shí)驗(yàn)一般4人分為一組[4-6]，此時(shí)嚴(yán)格模仿策略（1，1）的局部穩(wěn)定條件如圖1所示。例如當(dāng)t=5時(shí)，局部穩(wěn)定條件為r>1.49；當(dāng)t=10時(shí)，局部穩(wěn)定條件為r>1.24；當(dāng)t=20時(shí)，局部穩(wěn)定條件為r>1.11。注意到在這些實(shí)驗(yàn)中r的取值均大于1.5，且重復(fù)的次數(shù)一般超過10輪，因此（1，1）在模仿策略集中是局部穩(wěn)定的，并且每輪平均收益隨首輪貢獻(xiàn)率的提高單調(diào)上升。這可能是重復(fù)公用品博弈中貢獻(xiàn)率居高不下的一個(gè)原因。

2.3 重復(fù)公用品博弈嚴(yán)格模仿策略局部穩(wěn)定條件的進(jìn)一步研究

上節(jié)中我們得到了n人重復(fù)公用品博弈中嚴(yán)格模仿對(duì)策（1，1）的局部穩(wěn)定條件。由于方程（10）包含兩個(gè)不等式，一個(gè)自然的問題是哪個(gè)不等式條件更強(qiáng)。這里我們給出此結(jié)論在n人重復(fù)博弈下的一個(gè)一般性證明。

對(duì)方程（10）中兩個(gè)不等式的右邊項(xiàng)做差，當(dāng)t較大時(shí)，

這表明當(dāng)t較大時(shí)，方程（10）的第2個(gè)不等式比較強(qiáng)，即如果個(gè)體收益隨著模仿強(qiáng)度單調(diào)增加，那么其收益也會(huì)隨著首輪貢獻(xiàn)值單調(diào)增加。

因此，對(duì)于較大的t，（1，1）策略的局部穩(wěn)定條件可以簡(jiǎn)化為

（12）

注意到方程（12）不等式右邊包含兩個(gè)變量n和t，我們進(jìn)一步分析（1，1）的局部穩(wěn)定性與n和t的關(guān)系。

當(dāng)t較大時(shí)，有

（13）

因此不等式（12）的右邊項(xiàng)隨著n單調(diào)增加而隨著t單調(diào)減小。即給定重復(fù)輪次t時(shí)，隨著公用品博弈參與的人數(shù)增加，（1，1）的局部穩(wěn)定性條件越來(lái)越嚴(yán)格。但是對(duì)于任意r>1的n人公用品博弈，只要重復(fù)的輪次足夠長(zhǎng)，（1，1）就能夠成為局部穩(wěn)定的。特別的，當(dāng)n和t都較大時(shí)，（1，1）局部穩(wěn)定的一個(gè)近似的條件是r>1+n/t。

3 結(jié)語(yǔ)

在本課題中，我們考慮僅僅引入兩個(gè)變量——初始貢獻(xiàn)率及模仿強(qiáng)度來(lái)刻畫人們?cè)谏鐣?huì)生活中所采取的行為?；谌祟惸７滦袨樽畋举|(zhì)的特征建立起相對(duì)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型，并通過對(duì)最優(yōu)模仿策略的研究拓展了學(xué)習(xí)理論對(duì)人類社會(huì)中真實(shí)現(xiàn)象的解釋力度。

參考文獻(xiàn)

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