基于Copula函數(shù)的長春市暴雨聯(lián)合分布與特征分析*

郭恩亮，周 沫，張繼權(quán)，王永芳，哈 斯，張 峰

（東北師范大學環(huán)境學院，東北師范大學自然災害研究所，吉林長春130117）

基于Copula函數(shù)的長春市暴雨聯(lián)合分布與特征分析*

郭恩亮，周 沫，張繼權(quán)，王永芳，哈 斯，張 峰

（東北師范大學環(huán)境學院，東北師范大學自然災害研究所，吉林長春130117）

利用1951-2012年長春市逐日降水數(shù)據(jù)，選取歷年暴雨量、暴雨量貢獻率和年均暴雨強度為暴雨要素值，運用ArchimedeanCopula函數(shù)構(gòu)建二維聯(lián)合分布，并利用AIC和RMSE進行Copula函數(shù)參數(shù)的優(yōu)度檢驗，確定適合暴雨要素的最優(yōu)Copula函數(shù)，然后分析多要素聯(lián)合后暴雨概率和重現(xiàn)期特征，研究表明：①廣義極值分布對長春市暴雨要素的擬合效果最好，多要素聯(lián)合中，F(xiàn)rankCopula和ClaytonCopula適合反映多要素聯(lián)合下暴雨發(fā)生的概率；②暴雨聯(lián)合重現(xiàn)期主要集中在0～12年之間；暴雨要素值較小時，同現(xiàn)重現(xiàn)期較短，大致在0～50年之間，隨著暴雨要素值的增大，同現(xiàn)重現(xiàn)期相應延長；兩種重現(xiàn)期變化趨勢一致，存在同步效應；③二維Copula聯(lián)合可從多方面呈現(xiàn)暴雨要素間的內(nèi)在信息，并且Copula函數(shù)種類的多樣性為確定最優(yōu)暴雨要素二維聯(lián)合提供了可能，為Copula函數(shù)在暴雨要素聯(lián)合中的運用提供了有利條件。

Copula函數(shù)；二維聯(lián)合；暴雨要素；重現(xiàn)期；吉林長春

根據(jù)IPCC第五次評估報告，氣候變暖是現(xiàn)階段全球氣候變化的主要特征，其中極端天氣事件頻率和強度的變化趨勢越來越明顯，呈現(xiàn)出逐漸增長趨勢［1］。我國平均氣溫也呈明顯上升趨勢，升溫幅度約為每年0.5～0.8℃。與氣候變暖相對應的是很多地區(qū)的降水也發(fā)生了變化，由于我國處于東亞季風區(qū)，降水時間集中，強度大，因此暴雨引起的災害頻發(fā)、廣發(fā)，給社會經(jīng)濟造成了巨大的損失［2-3］。因此國內(nèi)外學者對于暴雨的時空變化特征進行了大量的研究，研究成果有利于進行科學的災害風險管理和水資源的合理利用［4-6］。但是現(xiàn)階段對暴雨特征進行分析，主要集中于一次暴雨事件或者對暴雨頻次、暴雨強度、暴雨周期性等單一要素特征進行研究，然而，隨著氣候變化影響的加劇，暴雨引起的災害呈現(xiàn)出多層次、全方位的特點，單獨對暴雨單一要素進行特征分析，已經(jīng)很難滿足對于極端降水變化特征和災害風險管理的需求，因此急需對暴雨要素間的相互關(guān)系和聯(lián)合概率分布特征進行研究。

Copula函數(shù)是由Sklar在1959年首次提出，作為多維聯(lián)合分析方法之一，它可以對變量間的相依性結(jié)構(gòu)進行度量并計算其聯(lián)合概率分布.與其他方法相比，Copula函數(shù)具有無需統(tǒng)一變量邊緣分布的優(yōu)勢，因此被廣泛應用于保險和金融業(yè)中［7-9］。近年來，Copula函數(shù)被引入應用于水文頻率、干旱、沙塵暴等方面的多變量研究中［10-14］，但是在極端降水方面應用較少，因此本文從暴雨要素的多面性出發(fā)，利用Copula函數(shù)多維聯(lián)合的靈活性，構(gòu)建二維聯(lián)合分布，探討歷年暴雨量、暴雨量貢獻率和年均暴雨強度的內(nèi)在概率分布特征以及聯(lián)合重現(xiàn)期和同現(xiàn)重現(xiàn)期的變化情況，揭示多要素聯(lián)合背景下的暴雨特征，為區(qū)域暴雨研究提供新的思路。

1 數(shù)據(jù)來源與研究方法

1.1 數(shù)據(jù)來源

選取由中國氣象數(shù)據(jù)科學共享服務網(wǎng)提供的長春市1951-2012年的逐日降水資料。其中根據(jù)國家氣象部門規(guī)定，24 h降雨量為50 mm或以上的降水稱之為暴雨。選取歷年暴雨量（Pa）、暴雨量貢獻率（R）和年均暴雨強度（Ia）為暴雨要素值，用于反映暴雨在長時間序列上的變化特征。

1.2 研究方法

1.2.1 暴雨要素邊緣分布函數(shù)

通過對目前國內(nèi)概率分布函數(shù)的研究進行分析，本文分別采用正態(tài)分布（NORM）、泊松分布（POISS）、指數(shù)分布（EXP）、極值分布（EV）和廣義極值分布（GEV）等方法對暴雨要素邊緣分布進行擬合，其中利用極大似然函數(shù)進行邊緣分布參數(shù)估計，如式（1）～（3）所示。

式中：L（θ）為似然函數(shù)；F（xi；θ）為邊緣分布密度函數(shù)，θ為待估參數(shù)。進一步應用Kolmogorov-Smirnov2（簡稱K-S2）作各邊緣分布擬合優(yōu)度檢驗，確定適合各暴雨要素的概率分布函數(shù)。

1.2.2 暴雨要素聯(lián)合分布函數(shù)

Copula函數(shù)通過不同邊緣分布以及其相關(guān)結(jié)構(gòu)組建成聯(lián)合分布函數(shù)，常見的Copula聯(lián)合函數(shù)的構(gòu)造類型有3種：橢圓型、二次型和Archimedean型。不同的Copula函數(shù)有著不同的適用范圍，本文選用四種二維Archimedean型Copula函數(shù)進行暴雨要素二維聯(lián)合，具體的分布函數(shù)及參數(shù)范圍如表1所示。

采用AIC準則和均方根誤差RMSE評價二維暴雨要素的Copula函數(shù)參數(shù)擬合度優(yōu)劣，判斷依據(jù)是AIC、RMSE準則值最小，其表達式如下：

式中：Pei為暴雨要素二維聯(lián)合經(jīng)驗概率；Pi為Copula函數(shù)聯(lián)合分布值；i為模型中所含參數(shù)個數(shù)。

1.2.3 暴雨要素重現(xiàn)期

由重現(xiàn)期理論可知，暴雨中某要素大于或者等于某特定值的重現(xiàn)期為：

式中：Tx為暴雨的單變量重現(xiàn)期，F(xiàn)（x）為各要素的邊緣分布；N為觀測樣本長度，n為觀測時段內(nèi)超越特定樣本出現(xiàn)的次數(shù)。

二維暴雨變量組合重現(xiàn)期包括聯(lián)合重現(xiàn)期和同現(xiàn)重現(xiàn)期，其中兩變量聯(lián)合重現(xiàn)期是指變量x或y超過某個特定值的重現(xiàn)期，它的計算公式為：

兩變量同現(xiàn)重現(xiàn)期是指變量x和y都超過某個特定值的重現(xiàn)期，它的計算公式為：

2 長春市暴雨特征分析

2.1 暴雨要素擬合分布

首先運用式（1）～（3）對暴雨要素的五種概率分布函數(shù)的參數(shù)進行估計，然后利用K-S2法對各概率分布函數(shù)進行檢驗。主要運用P值進行顯著性檢驗，P值越大，概率分布函數(shù)參數(shù)擬合的效果就越好，并且通過檢驗的可能性就越高。各暴雨要素的擬合檢驗值如表2所示。

由表2可知，正態(tài)分布（NORM）、泊松分布（POISS）和指數(shù)分布（EXP）對于暴雨要素的擬合檢驗值皆未通過0.05的顯著性檢驗，說明上述三種概率分布函數(shù)，對于變量的擬合效果較差，并不適用于長春市暴雨要素的擬合。極值分布（EV）和廣義極值分布（GEV）對于暴雨要素的擬合效果較好，特別是廣義極值分布對于暴雨量貢獻率和年均暴雨強度擬合度最高，為了進一步驗證擬合效果的優(yōu)劣，利用matlab軟件進行極值分布和廣義極值分布的擬合（圖1），由圖1可知，廣義極值分布比極值分布相比，其擬合曲線更接近與經(jīng)驗分布曲線，因此本文選取廣義極值分布進行暴雨要素邊緣分布的擬合，各要素邊緣分布函數(shù)及對應的參數(shù)值如表3所示。

由暴雨要素擬合曲線（圖1）可知，歷年暴雨量、暴雨量貢獻率和年均暴雨強度隨著強度的增加，其變化速率呈減小趨勢，說明長春市暴雨發(fā)生頻繁且年際變化幅度不大，其中暴雨降水強度主要集中在60～140 mm區(qū)間。暴雨量貢獻率和年均暴雨強度擬合曲線相對來說較為一致，說明分布較均勻，不存在明顯集中區(qū)域。單要素曲線擬合所提供的僅為要素本身的相關(guān)信息，但對于具有多要素的暴雨而言，在縱向分析的同時，還需側(cè)重橫向的聯(lián)系，即需要加強對暴雨要素間的聯(lián)合特征分析。

表1 二維ArchimedeanCopula分布函數(shù)及參數(shù)范圍

表2 暴雨要素邊緣分布K-S2檢驗P值

2.2 暴雨要素二維聯(lián)合分布

年暴雨量、年均暴雨強度和暴雨量貢獻率中選取二個要素構(gòu)建三對Copula函數(shù)二維聯(lián)合分布，利用式（1）～（3）進行Copula參數(shù)估計，采用表1中的Copula分布函數(shù)公式進行二維擬合，通過式（4）進行優(yōu)度檢驗，相關(guān)參數(shù)及檢驗值見表4。

根據(jù)RMSE和AIC最小原則，選取FrankCopula函數(shù)為年暴雨量和暴雨量貢獻率為二維聯(lián)合的Copula分布，ClaytonCopula函數(shù)作為年暴雨量和年均暴雨強度、年均暴雨強度和暴雨量貢獻率的二維聯(lián)合Copula分布。通過matlabSurf工具以暴雨要素邊緣累積分布值為X-Y-Z軸，得到二維聯(lián)合概率分布三維圖（圖2）。由圖2（a）可知，年暴雨量和暴雨量貢獻率呈現(xiàn)較高的同步性，說明在歷年暴雨量占全年降水量的比重較大，即長春市降水比較集中，且降水量來源主要為強降水事件。圖2（b）和圖2（c）顯示了X-Y-Z數(shù)值的差異呈現(xiàn)暴雨各變量在累積分布中的非同步性，即一年中平均暴雨強度較小，但是對應的歷年暴雨量和暴雨量貢獻率皆較高，所以在累積概率上表現(xiàn)為偏向于X軸，也進一步說明了長春市暴雨發(fā)生暴雨的頻率較高。通過分析可知，Copula函數(shù)將暴雨要素聯(lián)合后所呈現(xiàn)出來的信息遠遠超過圖1所示的單一變量提供的信息，并且從側(cè)面凸顯出暴雨要素之間具有極強的內(nèi)部關(guān)聯(lián)性。

2.3 暴雨重現(xiàn)期分析

給定暴雨要素單變量重現(xiàn)期（T），通過式（4）求出相應的暴雨要素值，將給定重現(xiàn)期下的暴雨要素值帶入表1計算對應Copula聯(lián)合分布值。通過式（5）計算二維聯(lián)合重現(xiàn)期Ta。利用Kendall秩計算變量間的相關(guān)系數(shù)，得知暴雨各要素兩兩間的相關(guān)系數(shù)τ均可通過0.05水平的顯著性檢驗，構(gòu)建變量兩兩聯(lián)合的Copula分布，并結(jié)合式（6）計算Copula二維聯(lián)合的同現(xiàn)重現(xiàn)期To，結(jié)果見表5。

表3 暴雨要素邊緣分布函數(shù)及參數(shù)

圖1 暴雨要素邊緣分布曲線示意圖

圖2 Copula二維聯(lián)合累積概率分布

表4 Copula函數(shù)二維聯(lián)合分布函數(shù)參數(shù)及檢驗值

由表5可知，三對二維聯(lián)合重現(xiàn)期除了在重現(xiàn)期為2年的情境下聯(lián)合重現(xiàn)期Ta小于2年外，其余情境下二維聯(lián)合重現(xiàn)期均小于其所對應的單要素重現(xiàn)期，例如，暴雨單變量重現(xiàn)期為20年的情境所對應的歷年暴雨量與平均暴雨強度的聯(lián)合重現(xiàn)期為8.34年，年均暴雨強度和暴雨量貢獻率的聯(lián)合重現(xiàn)期為7.63年；同現(xiàn)重現(xiàn)期To均大于單要素重現(xiàn)期和聯(lián)合重現(xiàn)期，并且隨著單要素重現(xiàn)期的增加，同現(xiàn)期的增速遠遠大于聯(lián)合重現(xiàn)期的增加速率。單變量的重現(xiàn)期較大時，表明此時的變量值屬于該變量的極值，為少數(shù)事件，將暴雨的多個變量的極值聯(lián)合在一起時，同現(xiàn)重現(xiàn)期顯著延長，聯(lián)合重現(xiàn)期明顯縮短。例如表5所示，單變量重現(xiàn)期為100年時，其同現(xiàn)期則延長至上400～800年之間，而聯(lián)合重現(xiàn)期卻縮至28年，這種多變量聯(lián)合后的重現(xiàn)期信息是單變量重現(xiàn)期無法確定出來的，說明Copula多維分布函數(shù)對于探知具有多要素的暴雨聯(lián)合概率和重現(xiàn)期具有較強的實用性。

圖3為暴雨要素二維copula重現(xiàn)期等值線圖，其中，聯(lián)合重現(xiàn)期主要集中在0～16年之間。由聯(lián)合重現(xiàn)期（圖3a）可知，歷年暴雨量與暴雨貢獻率的聯(lián)合重現(xiàn)期為2年時，兩者對應的概率為0.72，說明兩者在2年聯(lián)合重現(xiàn)期下，表現(xiàn)出一致性的特征，但是隨著兩者概率的增大，等值線分布呈現(xiàn)出非一致性的分布特點，其中歷年暴雨量概率變化幅度較小。根據(jù)聯(lián)合重現(xiàn)期定義，說明隨著聯(lián)合重現(xiàn)期的增長，歷年暴雨量逐漸增大，但是暴雨量貢獻率增大的概率則趨近于零，說明長春市暴雨的集中度較高。由聯(lián)合重現(xiàn)期（圖3b）和聯(lián)合重現(xiàn)期（圖3c）可知，說明兩者在聯(lián)合重現(xiàn)期下，表現(xiàn)出一致性的特征。在暴雨要素概率較高時，即暴雨要素值較小時，同現(xiàn)重現(xiàn)期較短，大致在0～50年之間，隨著同現(xiàn)重現(xiàn)期的增大，不同要素同現(xiàn)重現(xiàn)期具有不同的分布特征，其中歷年暴雨量與暴雨貢獻率的同現(xiàn)重現(xiàn)期主要分布在0～200年之間，歷年暴雨量與年均暴雨強度的同現(xiàn)重現(xiàn)期主要分布在0～350年之間，平均暴雨強度和暴雨貢獻率的重現(xiàn)期主要分布在0～500年之間，進一步說明了隨著重現(xiàn)期的增大，降水的集中程度越來越大，暴雨強度越來越高。聯(lián)合重現(xiàn)期只需某一暴雨要素超越給定值，即為重現(xiàn)；同現(xiàn)期則需所選暴雨要素同時超越各自給定值，才為重現(xiàn)；所以同現(xiàn)期明顯長于聯(lián)合重現(xiàn)期，尤其在暴雨偏強年份，同現(xiàn)期更長。此外，兩種重現(xiàn)期變化趨勢一致，具有同步效應，恰好了反應暴雨要素的不可分割性。

表5 暴雨要素重現(xiàn)期

圖3 暴雨要素二維copula重現(xiàn)期等值線圖

3 結(jié)論與討論

Copula函數(shù)作為一個強有力的理論與方法，計算簡便，因此非常適用于進行長期聯(lián)合分布的研究，本文利用ArchimedeanCopula函數(shù)對長春市1951-2012年暴雨量、暴雨量貢獻率和年均暴雨強度的聯(lián)合概率分布進行實證分析，獲得如下結(jié)論。

（1）Copula理論能夠為多變量的暴雨特征分析提供有效的研究途徑，其中的FrankCopula函數(shù)和ClaytonCopula函數(shù)能較好的反映暴雨要素間的相互關(guān)系。

（2）聯(lián)合重現(xiàn)期主要集中在0～16年之間。暴雨要素值較小時，同現(xiàn)重現(xiàn)期大致在0～50年之間，隨著暴雨要素值的增大，三對同現(xiàn)重現(xiàn)期相應延長，具有同步效應，存在一致的變化趨勢，這種趨勢正好體現(xiàn)了暴雨要素間的不可分割性。

（3）通過單變量擬合與Copula二維聯(lián)合特征對比分析發(fā)現(xiàn)：選擇恰當?shù)膯巫兞糠植己瘮?shù)，能有效反映出變量本身的信息，卻無法對變量間的內(nèi)在關(guān)系進行研究，在暴雨多要素分析中，只能單獨地分析暴雨某一要素的特征；而Copula二維聯(lián)合可以從多個方面反映暴雨的特征，提供了分析變量間相互聯(lián)系的大量信息，是單變量擬合所不具備的。暴雨要素具有不可分割性，有著復雜的內(nèi)在聯(lián)系；Copula函數(shù)的二維聯(lián)合尤其是多維聯(lián)合能很好的滿足對暴雨多要素的研究，具有很強的實用性。

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Analysis of Joint Distribution and Characteristics of Rainstorm in Changchun Based on Copula Function

Guo Enliang，Zhou Mo，Zhang Jiquan，Wang Yongfang，Ha Si and Zhang Feng
（College of Environmental Science，Northeast Normal University，Nature Disaster Research Institute，Northeast Normal University，Changchun 130117，China）

Based on annual of rainstorm depth，annual average rainstorm intensity and rainstorm contribution of the daily precipitation data from 1951 to 2012 in Changchun city.We use AIC and RMSE test to confirm the best fitted copulas connect function suitable for rainstorm factor by introducing the Archimedean copula function and building two-dimensional joint distribution，and analyze the probability of rainstorm and characteristics of return period with many combined factors.Research shows that：①The Generalized Extreme Value distribution is the best distribution for fitting rainstorm elements；For the jointofmany factors，F(xiàn)rank copulas and Clayton copulas suitable for and reflecting the occurred probability rainstorm under the background ofmultiple-factor.②Rainstorm joint return period aremainly concentrated in between 0-12a；Storm factor value is smaller，with shorter return period，approximately between 0-50a；along with the increase of rainfall factor value，concurrence return period also growth up.③the univariate reflect just one factor of information in rainstorm and doesn’t involved in the relationship between factors；Two-dimensional copulas joint can present the internal information between heavy elements from more aspects and closer to the actual；Multiple factors of rainstorm，as copulas function on the rainstorm analysis provides a broad prospects.

Copula function；two-dimensional joint；rainstorm factors；return period；Jilin Changchun

X43；P648.0＋24

A

1000-811X（2015）04-0173-05

10.3969／j.issn.1000-811X.2015.04.031

郭恩亮，周沫，張繼權(quán)，等.基于Copula函數(shù)的長春市暴雨聯(lián)合分布與特征分析［J］.災害學，2015，30（4）.173-177.［GuoEnliang，Zhou Mo，Zhang Jiquan，et al.Analysis of joint distribution and characteristics of rainstorm in Changchun Based on Copula Function［J］.Journal of Catastrophology，2015，30（4）：173-177.］

2015-05-07 修改日期：2015-06-23

國家級大學生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓練計劃項目（201410200103）；國家自然科學基金（41371495）

郭恩亮（1988-），男，山東梁山人，博士研究生，主要從事自然災害風險評價與管理研究.

E-mail：guoel675＠nenu.edu.cn

張繼權(quán)（1965-），男，吉林九臺人，教授，博士生導師，主要從事區(qū)域災害與生態(tài)環(huán)境風險評價、預警與應急管理研究.E-mail：zhangjq022＠nenu.edu.cn