對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)問題表征能力的培養(yǎng)

俞昕

筆者在研究2014年高考試題時(shí)，曾對(duì)全國大綱卷的第21題進(jìn)行過一番思考. 原題呈現(xiàn)：已知拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為F，直線y=4與y軸的交點(diǎn)為P，與C的交點(diǎn)為Q，且QF=PQ.（I）求C的方程；（II）過F的直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，若AB的垂直平分線l′與C相交于M，N兩點(diǎn)，且A，M，B，N四點(diǎn)在同一圓上，求l的方程.

第（I）小題在此不作詳細(xì)闡述，筆者在做了第（II）小題后再去翻看標(biāo)準(zhǔn)答案，希望標(biāo)準(zhǔn)答案能夠給出更簡(jiǎn)單、精彩的解答，但標(biāo)準(zhǔn)答案的解答與筆者的思路一致. 之后筆者又去翻閱了各類數(shù)學(xué)期刊，希望能從中找到另一種解決途徑，結(jié)果也是無功而返.于是，筆者就反思，是否此題真的只有“華山一條路”？

一、簡(jiǎn)單分析“標(biāo)準(zhǔn)答案”

設(shè)直線l的方程為x=my+1（m≠0），代入拋物線方程y2=4x，消元得y2-4my-4=0，設(shè)點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），則有y1+y2=4m，y1y1=-4.由弦長(zhǎng)公式可得AB=4（m2+1）與AB的中點(diǎn)P（2m2+1，2m）.設(shè)直線MN：y-2m=-m（x-2m2-1），代入拋物線方程y2=4x消元得y2-y-8m2-12=0，設(shè)點(diǎn)M（x3，y3），N（x4，y4），則有y3+y4=-，y3y4=-8m2-12.由弦長(zhǎng)公式可得2R=MN=，并且得到MN的中點(diǎn)E（+2m2+3，-），可計(jì)算出EP.最后由勾股定理=EP+可算得m的值.

二、另辟蹊徑“表征剖析”

以上標(biāo)準(zhǔn)答案解答過程的運(yùn)算量主要集中在弦長(zhǎng)公式的運(yùn)用與計(jì)算上，涉及四點(diǎn)共圓的問題，一般不可避免地就想到弦心距直角三角形中勾股定理的運(yùn)用.但事實(shí)上，我們退回來想一下，A，M，B，N四點(diǎn)共圓，且以MN為直徑，最直接的不是勾股定理，而是“直徑所對(duì)的圓周角為直角”，也即是AM⊥AN與BM⊥BN，垂直問題往往轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積為0，即·=0和·=0.設(shè)A（，y1），B（，y2），M（，y3），N（，y4），則有=

（y3+y1）（y3-y1），y3-y1，

=

（y4+y1）（y4-y1），y4-y1，于是可得

（y3+y1）（y3-y1）（y4+y1）（y4-y1）+（y3-y1）（y4-y1）=0，

化簡(jiǎn)得（y3+y1）（y4+y1）=-16. 同理由·=0，可得（y3+y2）（y4+y2）=-16. 可得（y3+y1）（y4+y1）=（y3+y2）（y4+y2），展開之后化簡(jiǎn)得（y3+y4）+（y1+y2）=0，將y1+y2=4m，y3+y4=-代入，得m=±1.

此種解法的優(yōu)勢(shì)在于只需用到y(tǒng)1+y2=4m和 y3+y4=-，避免了弦長(zhǎng)公式的復(fù)雜計(jì)算.

三、反思回顧“表征優(yōu)勢(shì)”

讓我們反思此題的兩種解法，其實(shí)是“四點(diǎn)共圓”的兩種不同的表征形式.表征是信息在人腦中的呈現(xiàn)和記載的方式.根據(jù)信息加工的觀點(diǎn)，當(dāng)人對(duì)外界信息進(jìn)行加工（輸入、 編碼、 轉(zhuǎn)換、存儲(chǔ)和提取等）時(shí)，這些信息在頭腦中得以表征.表征是客觀事物的反映，又是被加工的客體.同一事物，其表征形式不同，對(duì)它的加工也不同.表征是問題解決的一個(gè)中心環(huán)節(jié)，它說明問題在頭腦中是如何呈現(xiàn)的， 如何表現(xiàn)出來的.問題表征是指解題者通過審題，認(rèn)識(shí)和了解問題的結(jié)構(gòu)；通過聯(lián)想， 激活頭腦中與之相關(guān)的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，從而形成對(duì)所要解決的問題的一種完整的印象.以上述高考題中直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)表征為例，從點(diǎn)的角度表征A（x1，y1）和B（x2，y2）；從直線的角度表征A（my1+1，y1）和B（my2+1，y2）；從拋物線的角度表征A（，y1）和B（，y2）；從公共點(diǎn)的角度表征x=my+1，

y2=4x.根據(jù)問題的條件，可以選取不同的表征形式以達(dá)到解決問題優(yōu)化的目的，比如對(duì)照上述高考題的兩種解法，標(biāo)準(zhǔn)答案選擇了設(shè)點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）與點(diǎn)M（x3，y3），N（x4，y4）的表征方式，而筆者的解法采用了設(shè)A（，y1），B（，y2），M（，y3），N（，y4）的表征方式.這不由得讓筆者想到蘇軾的一句詩：“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同.”同一個(gè)數(shù)學(xué)問題，從不同的角度看，采用不同的表征形式，它會(huì)顯現(xiàn)出不同的效果來，不同的表征形式有不同的典型性與優(yōu)越性.

四、重視培養(yǎng)“表征能力”

從以上的分析看，如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)問題表征能力、幫助學(xué)生選擇適宜的表征形式自然就是數(shù)學(xué)教學(xué)中一個(gè)非常重要的任務(wù).

（一）引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行多維表征

在課堂教學(xué)中教師要注重引導(dǎo)學(xué)生把握表征取向，加強(qiáng)問題表征的表達(dá)訓(xùn)練，提高問題表征的準(zhǔn)確性.如在學(xué)生數(shù)學(xué)概念形成的教學(xué)階段，教師要有針對(duì)性地創(chuàng)設(shè)情境，使問題表征盡可能和數(shù)學(xué)概念原型相匹配，幫助學(xué)生加深對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解和促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu).在將數(shù)學(xué)問題展現(xiàn)給學(xué)生的時(shí)候，要注重創(chuàng)設(shè)學(xué)生思考、探究問題的時(shí)空，為學(xué)生問題的解決提供“問題表征”的充足時(shí)間，同時(shí)還要重視展示學(xué)生問題表征的思維過程，分析表征中的錯(cuò)因，提取和激活其合理成分，讓學(xué)生自覺對(duì)其思維過程做出調(diào)整，修正、完善問題表征.問題多維表征是解題思路產(chǎn)生的源泉，正確的語言表征是理解問題的前提條件，準(zhǔn)確的符號(hào)表征是問題解決的信息儲(chǔ)存和加工過程的有效表現(xiàn)形式，適當(dāng)?shù)膱D表表征有助于問題的形象直觀思考，合理的模式表征有助于簡(jiǎn)約問題解決的思維長(zhǎng)度.在教學(xué)過程中，教師要運(yùn)用啟發(fā)性提示語：“你能否根據(jù)自己的聯(lián)想用適當(dāng)?shù)姆绞綄栴}進(jìn)行重新表征？”“在遇到困難的情況下，你能否變換問題的表征形式，調(diào)整解題思維方向？”激活學(xué)生原有的知識(shí)塊，通過聯(lián)想，誘發(fā)學(xué)生進(jìn)行多維表征，并能根據(jù)解題的需要與情境的變化做出靈活的轉(zhuǎn)換.

（二）有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生說數(shù)學(xué)的能力

說數(shù)學(xué)就是讓學(xué)生在教師指導(dǎo)下，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)語言和普通語言說自己對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解，說定理的結(jié)構(gòu)和作用，說命題的構(gòu)成，說問題思考方向、解決的方法、解決的關(guān)鍵，說所用的思想方法，說由問題啟發(fā)而來的思考、想法，說在問題中運(yùn)用的設(shè)想，說探索中的體會(huì)和困難等.對(duì)同一個(gè)數(shù)學(xué)問題，不同的學(xué)生會(huì)產(chǎn)生不同的看法，教師自身由于受多年教學(xué)思路定式的影響，也未必能面面俱到，想到學(xué)生的所有思路與對(duì)問題的表征.因此我們需要讓不同的學(xué)生來“說數(shù)學(xué)”，展示不同學(xué)生對(duì)同一問題的不同表征，這些表征或正確或錯(cuò)誤、或簡(jiǎn)潔或煩瑣，但都無不透露著學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題的獨(dú)特的、個(gè)性化的解讀.這樣可以彌補(bǔ)教師一個(gè)人唱獨(dú)角戲、無法顧及不同層次學(xué)生表征問題能力的不足，讓學(xué)生更多層面、更廣泛地接觸數(shù)學(xué)問題的多種表征形式，能夠拓寬學(xué)生的視野，突破思維定式.

（三）在數(shù)學(xué)教學(xué)中揭示數(shù)學(xué)原理的產(chǎn)生過程

問題表征的過程是解題者根據(jù)題目提供的信息構(gòu)建自己?jiǎn)栴}空間的過程，一個(gè)基本數(shù)學(xué)原理往往對(duì)應(yīng)一個(gè)問題空間，同一個(gè)題目根據(jù)不同的數(shù)學(xué)原理往往與若干個(gè)等價(jià)的問題空間相對(duì)應(yīng).但不同的問題空間相應(yīng)的解題煩難程度不同，這就需要解題者應(yīng)具備一定的直覺洞察力.而直覺洞察力是建立在學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)原理掌握的基礎(chǔ)上的，數(shù)學(xué)原理教學(xué)應(yīng)揭示原理產(chǎn)生的過程.不少教師重解題訓(xùn)練，將教材中呈現(xiàn)的基本原理或讓學(xué)生自習(xí)，或簡(jiǎn)單說明，最大限度地壓縮了原理形成過程的教學(xué)，用張奠宙先生的話說就是“掐頭去尾燒中段”.如果原理教學(xué)不注重學(xué)生對(duì)原理產(chǎn)生過程與應(yīng)用的體驗(yàn)，學(xué)生是很難真正掌握數(shù)學(xué)原理的.學(xué)生如果沒有對(duì)數(shù)學(xué)原理的透徹理解，在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)就無法形成明晰的與相應(yīng)原理相匹配的數(shù)學(xué)問題空間.教師在課堂上不吝嗇時(shí)間讓學(xué)生充分體驗(yàn)數(shù)學(xué)原理的產(chǎn)生過程，學(xué)生就能在頭腦中形成與問題相關(guān)的優(yōu)良的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，優(yōu)良的認(rèn)知結(jié)構(gòu)應(yīng)該是層次分明的觀念網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，即學(xué)生對(duì)相應(yīng)知識(shí)的理解已經(jīng)從“工具性理解”上升至“關(guān)系性理解”，進(jìn)而上升至“觀念性理解”的層次，那么學(xué)生自然就能具備選擇優(yōu)越的問題表征形式來解決數(shù)學(xué)問題的能力.endprint