滾齒加工的大、小周期誤差研究*

賈冬生，張 敏，劉 浩

(1．寧夏職業(yè)技術(shù)學(xué)院實驗實訓(xùn)中心，寧夏銀川 750021;2．蘭州理工大學(xué)數(shù)字制造技術(shù)與應(yīng)用省部共建教育部重點實驗室，甘肅蘭州 730050;3．蘭州理工大學(xué)機電工程學(xué)院，甘肅蘭州 730050)

0 引言

傳統(tǒng)的齒輪誤差理論中有一部分是對齒輪大、小周期誤差的研究論述。大周期誤差主要由于幾何偏心和運動偏心引起。小周期誤差也就是高頻的誤差，它主要是由滾刀誤差和機床的傳動鏈誤差引起。

通過研究，進(jìn)一步明確了長周期誤差和短周期誤差的異同:從幾何偏心、運動偏心等角度分析了滾齒加工的大周期誤差;從滾刀誤差和機床傳動鏈誤差兩個方面研究了小周期誤差。

1 大周期誤差

1．1 滾齒加工大周期誤差

1．1．1 幾何偏心

幾何偏心是齒輪在加工或裝配過程中，基圓中心相對于工件內(nèi)孔產(chǎn)生偏心。假設(shè)兩個旋轉(zhuǎn)軸之間的距離為e1。幾何偏心引起的左右齒面嚙合線誤差計算如圖1 所示［1］。

式中:φ為齒輪轉(zhuǎn)角;α為齒形角或壓力角。

徑向Δr、切向Δt上的齒廓誤差分別為:

將徑向Δr、切向Δt分別投影到齒輪的左右嚙合線上得:

故左、右齒面嚙合線誤差為:ΔL=ΔrL+ΔtL和 ΔR=Δr R+Δt R。

圖1 幾何偏心引起左右齒面嚙合線誤差

1．1．2 運動偏心

運動偏心是機床工作臺和刀具之間運動的不協(xié)調(diào)所產(chǎn)生的齒輪一次諧波誤差。如果把機床運動偏心所引起的齒廓誤差也認(rèn)為存在偏心的話，這兩種偏心之間還存在以下關(guān)系［2］:

式中:e齒是齒輪的運動偏心;e機是機床的運動偏心;rb是被切齒輪基圓半徑;rk是機床分度盤半徑或分度蝸輪的半徑;Δφ是機床的分度鏈誤差一次諧波振幅的兩倍。

由圖2幾何偏心和運動偏心影響公法線可知:

故由式(1)可以得出:

同理得:

所以得到:

由式(12)看到，運動偏心對左右齒面產(chǎn)生了一個大小相等且方向相反的誤差，且該誤差曲線是一條正弦曲線。

1．1．3 幾何偏心和運動偏心的合成與補償

(1)幾何偏心和運動偏心在齒廓徑向的合成［3］

當(dāng)齒輪幾何偏心和運動偏心同時存在時，將式(1)，式(2)，式(12)代入到 Δ合=Δ+Δ'得:

左、右齒面嚙合線誤差與徑向誤差的關(guān)系為:

由式(15)可知:e1對齒廓徑向誤差才有影響，e2對齒廓徑向誤差沒有影響;當(dāng)φ=0時，存在最大徑向齒廓誤差。

(2)幾何偏心和運動偏心在公法線長度上的合成

根據(jù)如圖2，左右齒廓形成公法線長度偏差:

由式(17)可知:e1不影響公法線長度偏差;當(dāng)φ+θ=0時，此時取得最小的公法線長度偏差，此時的e2指向最短公法線長度的中點。

(3)幾何偏心和運動偏心的補償

由于幾何偏心e1與運動偏心e2引起嚙合線誤差的周期相同，故用一個整體誤差的形式來表示e1和e2對左右齒面嚙合線的整體影響。

總偏心用矢量合成法得:

由總偏心所引起的左右齒面嚙合線增量為:

式中:其中β∑是總偏心對幾何偏心的初相角。

圖2 幾何偏心和運動偏心影響公法線

在加工齒輪的時候，可以根據(jù)運動偏心的大小與方向，引入一個幾何偏心，使它與運動偏心的初相角θ=π，用來減小左右齒面運動偏心對其的影響。設(shè)幾何偏心e1=ke2，將其帶入代入式(18)得:

故引入一個幾何偏心且滿足e1=e2cosα，用以補償機床誤差(1－sin α)。

2 小周期誤差

對于非圓齒輪滾齒加工來說，小周期誤差又常常與滾刀的刀具誤差和傳動鏈誤差相關(guān)，所以接下來我們就從這兩個方面來探討。

2．1 滾刀誤差

嚙合誤差［4－5］是研究滾刀誤差的一個重要概念，它是指沿著嚙合線方向測量滾刀切削刃時，在嚙合線全長內(nèi)的最大誤差。若刀具為入體誤差為負(fù)誤差，則工件為正誤差。

滾刀嚙合誤差對工件嚙合誤差的影響為［6］:

式中:ΔT是滾刀嚙合誤差對工件嚙合線誤差的影響，左、右嚙合線誤差分別取“－”，“+”;e刀嚙左是滾刀齒廓左嚙合線嚙合誤差模量;e刀嚙右是滾刀齒廓右嚙合線嚙合誤差模量;θ刀左指的是 e刀嚙左相對于 e幾的相角;θ刀右指的是 e刀嚙右相對于 e幾的相角。

滾刀誤差［5］中的徑向跳動和軸向跳動也是一個很重要的影響工件精度的因素。

由圖3可知滾刀徑向跳動2e刀徑對工件嚙合線誤差的影響為:

式中:e刀徑是滾刀徑向偏心;θ刀徑是 θ刀徑相對于 e工的相角。

同理可知滾刀軸向跳動2e刀軸對工件嚙合線誤差的影響為:

式中:θ刀軸是 e刀軸相對于 e幾的相角。

由式(21)和式(22)兩式知:在相同的 e刀徑和e刀軸時，e刀軸對工件誤差的的影響比 e刀徑要大;當(dāng) α=20°時，滾刀軸向跳動對工件的齒形精度的影響比徑向跳動的影響大。

圖3 滾刀徑向和軸向跳動對工件的影響

2．2 機床傳動鏈誤差

機床傳動鏈誤差是被切工件加工誤差的主源，研究機床傳動鏈誤差的傳遞規(guī)律才有可能從根本上來控制傳動鏈誤差。如圖4所示。

圖4 傳動鏈誤差

齒輪系統(tǒng)的所有誤差都反映到了末端件齒輪n上面，由于影響因素很多，在此主要考慮由齒輪偏心所產(chǎn)生的對末端齒輪的影響。

設(shè)起始輪j有偏心ej，所以有:

式中:φj是起始輪轉(zhuǎn)角;Δφj是j輪的轉(zhuǎn)角誤差;ej是j輪的偏心;φ是n輪轉(zhuǎn)角;Δφ是n輪轉(zhuǎn)角誤差;kj是j輪到n輪之間的傳動比。

因為mj是kj的倒數(shù)，故可得:

考慮到誤差相位，則上式可寫成:

式中:φ是實際轉(zhuǎn)角;φ'是理論轉(zhuǎn)角。

聯(lián)立兩式再對t求導(dǎo)得:

dω是刀具角速度誤差，由該公式可知機床傳動鏈轉(zhuǎn)角φ和dω的關(guān)系。

3 結(jié)論

(1)幾何偏心e1對齒廓徑向誤差才有影響，運動偏心e2對齒廓徑向誤差沒有影響。幾何偏心e1不影響公法線長度偏差，可以引入幾何偏心e1來抵消部分運動偏心引起的誤差和補償機床誤差。

(2)滾刀軸向跳動對工件的齒形精度的影響比徑向跳動的影響大。

(3)針對滾齒加工的大、小周期誤差進(jìn)行分析研究，主軸回轉(zhuǎn)誤差也是小周期誤差的一個原因，這需要在以后的論文中來進(jìn)行研究。

［1］ 王明侗．漸開線齒輪精度［M］．北京:機械工業(yè)出版社，1983．

［2］ 柏永新．齒輪精度與綜合檢驗［M］．上海:上海科學(xué)技術(shù)出版社，1986．

［3］ 劉繼勝，羅 姜．齒輪加工常見誤差問題分析［J］．機床與液壓，2009(8):55－57+60．

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［5］ 陳俊誠．滾齒與齒輪加工技術(shù)［J］．金屬加工(冷加工)，2012(21):28－30．

［6］ 經(jīng)以廣．圓柱齒輪加工誤差機理、診斷及消減［M］．沈陽:沈陽出版社，1991．