基于正態(tài)模糊線性回歸確定河流橫向擴(kuò)散系數(shù)

張 轉(zhuǎn)，常安定，王媛英，王曉晨

(1.陜西國際商貿(mào)學(xué)院，陜西 咸陽 712046; 2.長(zhǎng)安大學(xué) 理學(xué)院， 西安 710064)

基于正態(tài)模糊線性回歸確定河流橫向擴(kuò)散系數(shù)

張 轉(zhuǎn)1，常安定2，王媛英2，王曉晨2

(1.陜西國際商貿(mào)學(xué)院，陜西 咸陽 712046; 2.長(zhǎng)安大學(xué) 理學(xué)院， 西安 710064)

為尋求水質(zhì)污染時(shí)河流擴(kuò)散參數(shù)的計(jì)算方法，以確定河流橫向擴(kuò)散系數(shù)的直線圖解法為基礎(chǔ)，在模糊數(shù)的基礎(chǔ)上分析河流水團(tuán)示蹤試驗(yàn)數(shù)據(jù)，建立正態(tài)模糊線性回歸模型，通過模糊集的隸屬函數(shù)計(jì)算不同置信水平下河流橫向擴(kuò)散系數(shù)和河流平均流速等河流水質(zhì)參數(shù)的取值區(qū)間。實(shí)際算例驗(yàn)證結(jié)果表明，應(yīng)用正態(tài)模糊線性回歸模型確定的河流水質(zhì)參數(shù)值與真值非常接近，說明該方法是可行的，并且是可靠、合理的。該方法能夠反映河流系統(tǒng)自身的不確定性以及實(shí)際中存在的各種不確定因素對(duì)其的影響。

模糊線性回歸；正態(tài)模糊數(shù)；隸屬函數(shù)；橫向擴(kuò)散系數(shù)；平均流速

1 研究背景

近年來地下水遭到不同程度的污染，地下水中溶質(zhì)運(yùn)移理論愈來愈引起人們的關(guān)注。因此,河流水質(zhì)問題成為了水環(huán)境工作者重點(diǎn)研究的問題之一。在研究河流水質(zhì)問題時(shí)，最重要的是河流擴(kuò)散參數(shù)[1]，它是反映河流綜合特征、建立水質(zhì)模型、對(duì)河流水質(zhì)狀態(tài)進(jìn)行預(yù)測(cè)和預(yù)報(bào)的基礎(chǔ)性參數(shù)，其確定的方法有理論公式法、經(jīng)驗(yàn)公式法和水團(tuán)示蹤試驗(yàn)法。目前，對(duì)于分析瞬時(shí)投放一定質(zhì)量的示蹤劑條件下的野外一維穩(wěn)定流場(chǎng)河流的試驗(yàn)數(shù)據(jù)、確定河流的縱向擴(kuò)散參數(shù)已經(jīng)建立了數(shù)據(jù)分析方法，如：?jiǎn)握痉?、雙站法、演算法[2-3]、直線圖解法[4]、相關(guān)系數(shù)極值法[5]以及智能優(yōu)化算法[6-7]等。而水環(huán)境研究者在確定河流的橫向擴(kuò)散參數(shù)很少用水團(tuán)示蹤試驗(yàn)法，主要應(yīng)用經(jīng)驗(yàn)公式法進(jìn)行推算，僅文獻(xiàn)[8]和[9]提出過野外二維河流水團(tuán)示蹤實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)極值法和直線圖解法。在確定河流擴(kuò)散參數(shù)時(shí)，上述方法均有自己的優(yōu)點(diǎn)，但又存在著共同的缺陷，即把地下水系統(tǒng)看作是確定的系統(tǒng)，而實(shí)際上地下水是一個(gè)復(fù)雜、隨機(jī)不確定的系統(tǒng)。然而由于條件限制以及外界因素的影響，野外試驗(yàn)觀測(cè)的數(shù)據(jù)具有一定的模糊性，所以最終的參數(shù)難免存在不確定性。本文引用文獻(xiàn)[10]的思路,以文獻(xiàn)[9]的數(shù)據(jù)和二維穩(wěn)態(tài)河流水質(zhì)模型的解析解為基礎(chǔ)，將河流橫向擴(kuò)散參數(shù)看作正態(tài)模糊數(shù)，通過模糊線性規(guī)劃確定橫向擴(kuò)散參數(shù)對(duì)應(yīng)的模糊數(shù)，應(yīng)用模糊數(shù)學(xué)中的隸屬函數(shù)來確定在不同置信水平下參數(shù)的取值。這樣更加符合實(shí)際的反映參數(shù)取值對(duì)河流系統(tǒng)的適應(yīng)程度，參數(shù)的取值也更具有靈活性。本文通過分析觀測(cè)孔的取樣數(shù)據(jù)，根據(jù)河流的二維穩(wěn)定水質(zhì)模型基本方程的解析表達(dá)式，可將其線性化，再將回歸系數(shù)用正態(tài)模糊數(shù)表示，建立模糊線性回歸模型，利用模糊集的λ截集概念確定橫向擴(kuò)散系數(shù)和河流平均流速在一定置信水平λ下的取值范圍，為確定河流擴(kuò)散參數(shù)提供一種新的途徑。

2 基本原理

在河流某一斷面的一側(cè)，連續(xù)穩(wěn)定地投入示蹤劑溶液，此示蹤劑為不可降解的污染物。投放點(diǎn)為空間坐標(biāo)系的原點(diǎn)O,河水流動(dòng)方向?yàn)閤軸正方向，河流的橫向?yàn)閥軸的正方向。假設(shè)示蹤劑排入河道后，沿水深方向快速、均勻混合，則河流的二維穩(wěn)定水質(zhì)解析模型基本方程[11]為

(1)

或者

(2)

式中：c(x,y)為河道中(x,y)點(diǎn)處河水中示蹤劑的濃度(g/m3)；x為河流的縱向坐標(biāo)值(m)；y為河流的橫向坐標(biāo)值(m)；h為河道平均水深(m);DT是河流的橫向擴(kuò)散系數(shù)(m2/s)；v是河流的平均流速(m/s)；t是時(shí)間(s), 以投放示蹤劑溶液開始時(shí)計(jì)時(shí);w為在排放點(diǎn)處投放示蹤劑溶液的質(zhì)量(g/s)，w=c0·q0，其中c0為示蹤劑溶液濃度(g/m3)；q0為排放示蹤劑溶液的流量(m3/s)。

2.1 同一時(shí)刻、同一縱向位置處、沿河流橫向不同位置處觀測(cè)數(shù)據(jù)分析

此觀測(cè)試驗(yàn)數(shù)據(jù)相當(dāng)于x為定值時(shí)，沿y軸不同距離取樣，如圖1中的點(diǎn)列。式(1)兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù)得

(3)

令

Y=lnc,

(4)

X=y2,

(5)

(6)

(7)

則式(3)可變換成如下關(guān)系式，即

Y=H1X+H2。

(8)

圖1 二維擴(kuò)散示意圖Fig.1 Schematic of two- dimensional diffusion

某河流在水文條件穩(wěn)定的情況下，河流的橫向擴(kuò)散系數(shù)DT、河道平均水深h、河流的平均流速v都是模型參數(shù)即為常數(shù)，并且在同一時(shí)刻，即t為定值。由式(8)可知，自變量X和因變量Y之間存在線性關(guān)系。然而由于條件限制以及外界因素的影響，加之河流系統(tǒng)模型本身就具有不確定性，野外試驗(yàn)觀測(cè)數(shù)據(jù)也具有一定的模糊性，所以最終的參數(shù)即河流的橫向擴(kuò)散系數(shù)和河流的平均流速也難免有不確定性。鑒于此，采用模糊線性回歸模型來計(jì)算河流的平均流速和橫向擴(kuò)散系數(shù)。

2.2 基于正態(tài)模糊數(shù)的模糊線性回歸模型

依據(jù)一般的線性回歸模型，建立模糊線性回歸模型如下：

(9)

圖2 正態(tài)模糊集隸屬函數(shù)曲線Fig.2 Curve of the membership function of normal fuzzy set

(10)

(1) 各模糊回歸系數(shù)的模糊程度之和最小，即滿足式(1)。

(11)

式中σj(j=1,2,…,n)為各正態(tài)模糊系數(shù)對(duì)應(yīng)的模糊程度，xij是一組觀測(cè)數(shù)據(jù)。

(12)

式中μj(j=1,2,…,n)為各正態(tài)模糊數(shù)的中心，其他參數(shù)同上。

由條件(2)可得

(13)

綜上分析得，模糊線性回歸模型的最優(yōu)解可以轉(zhuǎn)化為以下線性規(guī)劃問題，即

(14)

2.3 模糊線性回歸模型的應(yīng)用

應(yīng)用模糊線性回歸模型確定河流的平均流速和橫向擴(kuò)散系數(shù)，將式(8)寫成下式的模糊線性回歸模型,即

(15)

(16)

(17)

根據(jù)式(6)和式(16)可得橫向擴(kuò)散系數(shù)的隸屬函數(shù)為

(18)

由式(7)、式(17)和式(18)以及模糊數(shù)學(xué)中的多元擴(kuò)張?jiān)韀13]可得河流平均流速的隸屬函數(shù)為

(19)

3 實(shí)例驗(yàn)證

實(shí)例數(shù)據(jù)來自文獻(xiàn)[9]，表1為測(cè)定的原始數(shù)據(jù)及所需數(shù)據(jù)的計(jì)算結(jié)果，其中(Xi,Yi)是由測(cè)量值換算成的模糊線性回歸模型中的自變量和因變量。在某河一側(cè)的一點(diǎn)連續(xù)排放濃度c0=600mg/L，流量為q0=0.4m3/s的污水，而且已知污染物即示蹤劑不可降解，時(shí)刻t=1 200s，該河的水深h=4m，河寬為50m?，F(xiàn)以縱向距離x=1 200m為定值、沿河流橫向不同距離處采取水樣，即取y值不同的樣本，測(cè)定污染物濃度值，根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)應(yīng)用模糊線性回歸模型計(jì)算河流的平均流速v和橫向擴(kuò)散系數(shù)DT。此算例為一數(shù)字算例，其真值DT=0.01m2/s，v=1.0m/s。

表1 觀測(cè)原始數(shù)據(jù)及所需數(shù)據(jù)的計(jì)算結(jié)果Table 1 The original measured data and the calculated results

將表1中的數(shù)據(jù)(Xi,Yi)代入公式(14)，取置信水平λ=0.6，用Matlab編程計(jì)算正態(tài)模糊回歸系數(shù)的參數(shù)如表2所示。

表2 模糊線性回歸系數(shù)的參數(shù)Table 2 Parameters of the fuzzy linear regression coefficients

(20)

(21)

(22)

表3 不同置信水平下的河流參數(shù)取值區(qū)間Table 3 Ranges of river parameters in the presence of different confidence levels

4 結(jié) 語

在野外進(jìn)行河流系統(tǒng)的示蹤試驗(yàn)時(shí)，因河流系統(tǒng)自身的不確定性以及各種外界不確定因素的影響，將導(dǎo)致所測(cè)得的數(shù)據(jù)具有一定的模糊性。為此，建立模糊線性回歸模型來確定河流的橫向擴(kuò)散系數(shù)和平均流速。應(yīng)用所建模型可確定各正態(tài)模糊回歸系數(shù)，并可通過各回歸系數(shù)與參數(shù)間的關(guān)系確立各參數(shù)的隸屬函數(shù)，進(jìn)而確定在不同截集λ下參數(shù)的取值范圍。通過實(shí)際算例驗(yàn)證，本方法估算的參數(shù)值與真值非常接近，證明本算法是可靠、合理的。并且與其他算法相比，本算法的參數(shù)選取更具有靈活性。采用模糊線性回歸模型確定河流橫向擴(kuò)散系數(shù)和平均流速的取值均是區(qū)間，此方法可根據(jù)不同試驗(yàn)數(shù)據(jù)存在的誤差大小和不確定因素的影響程度，選取恰當(dāng)?shù)闹眯潘?，可得到不同要求下的河流水質(zhì)參數(shù)的可能取值范圍。

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(編輯：陳紹選)

Determining the Transversal Diffusion Coefficient of River ThroughNormal Fuzzy Linear Regression

ZHANG Zhuan1, CHANG An-ding2, WANG Yuan-ying2, WANG Xiao-chen2

(1.Shaanxi Institute of International Trade and Commerce, Xianyang 712046, China;2.School of Science, Chang’an University 710064, China)

To explore the method of calculating river’s diffusion coefficient in the presence of pollution, a normal fuzzy linear regression model was built, and through the membership function of fuzzy set, the ranges of water quality parameters (transversal diffusion coefficient and average flow velocity) in the presence of different confidence levels were calculated. The model was built based on linear graphic method, and the tracer test data of water mass was analysed based on fuzzy numbers. The water quality parameters calculated by this model were very close to the real values, which accounts for the feasibility and rationality of this model. It could also reflect the uncertainty of river system and the effects of other uncertainties in practice.

fuzzy linear regression; normal fuzzy number; membership function; transversal diffusion coefficient; average flow velocity

2014-02-26；

2014-03-03

中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目(310829130225)

張 轉(zhuǎn)(1988-),女,陜西咸陽人,碩士研究生,主要從事最優(yōu)化理論與方法研究，(電話)15202974335 (電子信箱)zhangzhuan10@163.com。

常安定(1964-),男,陜西大荔人,教授,碩士生導(dǎo)師,主要從事水文地質(zhì)的數(shù)學(xué)方法研究，(電話)13389213296(電子信箱)chdanding@126.com。

10.3969/j.issn.1001-5485.2015.08.004

P641.8

A

1001-5485(2015)08-0022-04

2015,32(08):22-25,39