基于拉格朗日原理天線系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型建立

周洪波，賈艷霞

（1.中國電子科技集團(tuán)公司第五十四研究所，河北 石家莊 050081；2.河北省水利水電第二勘測(cè)設(shè)計(jì)研究院，河北 石家莊 050021）

動(dòng)力學(xué)模型建立有很多方法，現(xiàn)在廣泛流行的有哈密爾頓原理、廣義哈密爾頓原理、拉格朗日原理、牛頓－歐拉方程、有限元等。本文主要討論基于拉格朗日原理建立天線系統(tǒng)的動(dòng)力模型。

拉格朗日方程：對(duì)于完整系統(tǒng)用廣義坐標(biāo)表示的動(dòng)力方程，通常是指第二類拉格朗日方程，由法國數(shù)學(xué)家J.L.拉格朗日首先導(dǎo)出。在本文中，首先為天線建立轉(zhuǎn)角空間的坐標(biāo)系（二維坐標(biāo)系），然后利用拉格朗日原理建立其動(dòng)力學(xué)模型。通過定義Jacobian（雅克比）矩陣，建立轉(zhuǎn)角空間和操作空間的映射關(guān)系，可以認(rèn)為此時(shí)雅克比矩陣的物理意義就是轉(zhuǎn)角空間到操作空間的傳遞矩陣。從而得到笛卡爾坐標(biāo)系下的動(dòng)力學(xué)模型。

1 拉格朗日原理

利用拉格朗日原理，拉格朗日方程是建立動(dòng)力學(xué)模型的理論基礎(chǔ)之一，而拉格朗日乘子法只是拉格朗日的一個(gè)延伸和拓展，得到一個(gè)有限維的動(dòng)力學(xué)模型。一般而言，根據(jù)拉格朗日方程建立模型的步驟為：

1）選定廣義坐標(biāo)，建立有限維模型，一般是選擇關(guān)節(jié)變量和柔性連桿的模態(tài)坐標(biāo)為廣義坐標(biāo)；

2）建立動(dòng)能、勢(shì)能和虛功表達(dá)式；

3）對(duì)拉格朗日方程進(jìn)行必要的推導(dǎo)和整理。拉格朗日方程如下：

其中L為拉格朗日函數(shù)，是總動(dòng)能與總勢(shì)能之差。

從實(shí)質(zhì)上來講，利用廣義哈密爾頓原理還是利用拉格朗日原理建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，其方法實(shí)質(zhì)是一樣的，只是適應(yīng)的場(chǎng)合不同。

2 天線動(dòng)力學(xué)模型

實(shí)際天線是工作在三維空間，并且，面天線多是一個(gè)圓弧面，現(xiàn)在的天線面多采用炭纖維材質(zhì)，故而，可以將其等效為一個(gè)非線性剛體。為了簡(jiǎn)化，只建立二維空間的坐標(biāo)系，如圖1所示。

本模型符號(hào)說明：

l1：天線Y的長(zhǎng)度；l2：天線傾斜的長(zhǎng)度；

ρi：天線傾斜、Y的密度；Ii：天線傾斜、Y的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；

EiIi：天線傾斜、Y的抗撓剛度；θi：天線傾斜、Y角；

τi：傾斜電機(jī)、Y電機(jī)的轉(zhuǎn)矩；Ti：傾斜軸和X軸的動(dòng)能；

Vi：傾斜軸、X軸的勢(shì)能；nPm：天線第m個(gè)節(jié)點(diǎn)在第n個(gè)坐標(biāo)系下的坐標(biāo)；

nRm：天線第m個(gè)節(jié)點(diǎn)在第n個(gè)坐標(biāo)系下的坐標(biāo)變換陣；

nTm：天線第m個(gè)節(jié)點(diǎn)在第n個(gè)坐標(biāo)系下的狀態(tài)轉(zhuǎn)移陣；

其中i＝1，2，m，n＝1，2。

（1）傾斜軸的動(dòng)能：

圖1 天線模型坐標(biāo)示意圖

（2）傾斜軸的勢(shì)能：

（3）Y軸的動(dòng)能：

（4）Y軸的勢(shì)能：

用系統(tǒng)的總動(dòng)能減去系統(tǒng)的總勢(shì)能得到拉格朗日函數(shù)：

把以上拉格朗日函數(shù)代入到以下拉格朗日方程中

得到

式（7）和式（8）共同構(gòu)成了天線的動(dòng)力學(xué)方程。

3 結(jié)束語

本研究把傳統(tǒng)的AE座架形式的天線，等效為雙自由度剛體，建立拉各朗日函數(shù)，并利用拉各朗日原理建立動(dòng)力學(xué)模型。

［1］ 林昌祿主編.天線工程手冊(cè)［M］.北京：電子工業(yè)出版，2002.

［2］ John D.Kraus，Ronald J.Marhefka著.天線（第三版）［M］.北京：電子工業(yè)出版社，2006.

［3］ 牛瑞燕，趙曜.智能二自由度內(nèi)?？刂疲跩］.控制理論與應(yīng)用，2001，18（4）：624－628.