基于時間序列模型的超聲信號濾波算法研究*

張 朋,范福玲,楊 益,常 靜

(中原工學院電子信息學院,鄭州 450007)

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基于時間序列模型的超聲信號濾波算法研究*

張 朋*,范福玲,楊 益,常 靜

(中原工學院電子信息學院,鄭州 450007)

針對超聲波測量油井液面深度系統(tǒng)中,現(xiàn)有降噪濾波算法復雜,效果差的缺點,提出了基于時間序列模型和新息卡爾曼濾波相結(jié)合的新方法。利用時間序列分析法對動液面測量系統(tǒng)建立ARMA模型;基于卡爾曼濾波實時在線消除隨機噪聲的特性,設計了新息自適應卡爾曼濾波算法,并結(jié)合ARIMA模型以消除模型誤差,實現(xiàn)了基于時間序列系統(tǒng)模型對系統(tǒng)特征狀態(tài)的最優(yōu)估計目的。該新型濾波方法已經(jīng)在油田現(xiàn)場測試和運用,測試結(jié)果表明,算法實時、高效,濾波效果好,精度高,能滿足實際工程應用。

超聲波;時間序列;ARMA;ARIMA;新息自適應卡爾曼濾波

為解決利用超聲進行油井動液面測量[1-2]時因噪聲干擾出現(xiàn)測不到、測不準液面深度的問題,確保實時、準確、全面的掌握油田現(xiàn)場油井動液面參數(shù),達到測試數(shù)據(jù)可供不同的部門應用的目的。本文采用聲波法測距原理計算油井液面深度,利用時間序列分析方法[3-4],對每口油井油套環(huán)空中的聲波序列建立數(shù)學模型,運用新息卡爾曼濾波消除模型誤差[5-8],可大幅提高測量的精度。并成功在油井動液面測量中成功使用。

1 時間序列分析的理論與方法

1.1 時間序列建模方法[3-4,9]

時間序列分析方法是指采用參數(shù)模型對觀測到的有序隨機數(shù)據(jù)進行分析和處理的現(xiàn)代統(tǒng)計方法。時間序列建模的內(nèi)容包括數(shù)據(jù)的采集、數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析(平穩(wěn)性檢驗及相關函數(shù)分析)與預處理、模型形式的選取、模型階次的確定、模型系數(shù)的估計、適用性檢驗等。其中模型階次的確定、模型系數(shù)的估計和適用性檢驗是關鍵。

常用的隨機時間序列分析方法分為平穩(wěn)時間序列分析和非平穩(wěn)時間序列分析兩大類。平穩(wěn)時間序列模型包括AR模型、MA模型、ARMA模型3類;非平穩(wěn)時間序列模型主要包括ARIMA模型和季節(jié)模型SARIMA(Seasonal Integrated Moving Average Model)兩類。以上5種模型中,AR(p)模型、MA(q)模型、ARMA(p,q)模型僅適用于平穩(wěn)時間序列建模和預測;ARIMA模型適用于非平穩(wěn)的時間序列建模和預測,而且可將AR(p)模型、MA(q)模型、ARMA(p,q)模型視為ARIMA模型的特例;SARIMA模型適用于具有季節(jié)性周期特征的時間序列分析與建模。

自回歸滑動平均模型可表示為:

φ(B-1)y(t)=θ(B-1)ε(t)

(1)

當時q=0,式(1)退化成AR模型,即:

xt-φ1xt-1-φ2xt-2-…-φpxt-p=εt

(2)

當時p=0,式(1)退化成MA模型,即:

xt=zt-θ1zt-1-θ2zt-2-…-θqz-1

(3)

顯然,AR和MA模型可以視為ARMA模型的特殊情形。這3種模型的差別在于自相關、偏自相關函數(shù)具有各自的特性。模型具有自相關函數(shù)“拖尾”,偏自相關函數(shù)“截尾”的性質(zhì);MA具有自相關函數(shù)“截尾”,偏自相關函數(shù)“拖尾”的性質(zhì);ARMA具有自相關函數(shù)、偏自相關函數(shù)均“拖尾”的性質(zhì)。在時間序列平穩(wěn)的條件下,根據(jù)自相關、偏自相關函數(shù)的“拖尾性”、“截尾性”確定模型的類型,根據(jù)準則確定模型的階次。

通過上述時間序列建模方法,對給定的時間序列可建立能客觀描述系統(tǒng)特性的時間序列模型,并能確定具體的模型參數(shù)。

2 Box-Jenkins建模理論方法

2.1 時間序列模型的特征函數(shù)

可通過一些特征函數(shù)來反映時間序列模型的特性,如自相關函數(shù)、偏相關函數(shù)、功率譜函數(shù)等。其中,自相關函數(shù)、偏相關函數(shù)是B-J建模方法中非常重要的兩個性能參數(shù)。

①自相關函數(shù)

時間序列的序列值之間可用自相關函數(shù)來描述和度量同一事件在兩個不同時期之間的相互影響程度。由于一般只能得到隨機變量的樣本觀測值,因此通常用自相關系數(shù)作為實際應用時自相關函數(shù)的估計值。延遲k階自相關系數(shù)為

(4)

②偏自相關系數(shù)

在求出延遲k階自相關系數(shù)時,實際上得到的并不是xt與xt-k之間簡單的相關關系,還會受到中間k-1個隨機變量的影響。為了單純測出xt與xt-k的相關關系,引入了偏相關函數(shù),它是在剔除了中間k-1個隨機變量的干擾后的延遲k階自相關函數(shù),通常用偏相關系數(shù)來作為實際應用時偏相關函數(shù)的估計值。延遲k階偏相關系數(shù)為

(5)

(6)

2.2 模型識別

①平穩(wěn)非白噪聲序列階數(shù)識別

如果一個通過預處理的序列是平穩(wěn)非白噪聲序列,則可以對該序列進行建模。模型識別是時間序列建模的第1個階段,是根據(jù)樣本自相關系數(shù)和偏相關系數(shù)的性質(zhì)來選擇階數(shù)適當?shù)哪Ｐ?也稱為模型定階。ARMA(p,q)模型定階的基本原則如表1所示。

表1 ARMA模型定階基本原則

實際情況中,由于樣本的隨機性,樣本自相關系數(shù)和偏相關系數(shù)不會呈現(xiàn)理論截尾的完美情況,截尾處可能會出現(xiàn)零值附近小值震蕩的情形,那么震蕩值小到多少可以視為截尾,相應的階數(shù)又如何確定。這實際上沒有絕對的標準,可基于Jenkins、Watts和Quenouille的理論[3,6,8],借鑒利用2倍標準差范圍輔助判斷。取顯著性水平a=0.05,如果樣本自相關系數(shù)和偏相關系數(shù)在最初的k階明顯大于2倍標準差,而后幾乎95%的系數(shù)都落在2倍標準差的范圍內(nèi),且非零系數(shù)衰減為小值波動的過程非常突然,通?？梢暈閗階截尾;如果超過5%樣本自相關系數(shù)和偏相關系數(shù)落入2倍標準差的范圍外,或者非零系數(shù)衰減為小值波動的過程比較緩慢或連續(xù),通常視為拖尾。

②差分階數(shù)和步長識別

對于非平穩(wěn)的時間序列要通過差分變得平穩(wěn),還要識別差分階數(shù)d和季節(jié)差分因子s,對于差分階數(shù)的識別一般通過時序圖和樣本自相關系數(shù)來判別,見表2。

表2 差分階數(shù)識別

2.3 模型階數(shù)確定

在模型識別基礎上,利用AIC準則全面考慮了模型階次和殘差的相互做用,同時也考慮了建模數(shù)據(jù)長度對模型的影響,具有很高的準確性。

AIC準則定義如下:

AIC(p,q)=lnσn+2(p+q)/N

(7)

式中:σn是擬合殘差的方差;p,q分別是滑動平均模型和自回歸模型的階次;N是參與估計樣本的個數(shù)。具體應用時,由低到高分別計算AIC的值,然后選擇使AIC值達到最小的模型階次作為系統(tǒng)模型階次。

2.4 模型參數(shù)估計

當ARIMA模型的階次確定好之后,開始模型系數(shù)的估計。由于對油井動液面深度監(jiān)測是一個動態(tài)的過程,所以樣本數(shù)據(jù)的模型系數(shù)也是動態(tài)變化的,故選用實時參數(shù)估計方法估計ARIMA模型系數(shù)[8-11]?？紤]到ARIMA(p,d,q)模型系數(shù)求取時能夠方便的引用RELS算法,本文將基礎模型ARIMA(p,d,q)的系數(shù)作為ARIMA模型的系數(shù)。把ARIMA(p,d,q)模型寫成矩陣的形式如式(8):

x(t)=φT(t)θ+ε(t)

(8)

式中:φT(t)=[-x(t-1),…,-x(t-p),ε(t-1),…,ε(t-q)]

(9)

θT=[φ1,…,φp,θ1…θq]

(10)

利用改進的遞推最小二乘算法(RELS)可實時估計模型的系數(shù)和噪聲ε(t)。

設原ARMA(p,q)模型可用AR(n)擬合:

x(t)=φT(t)β+ε(t)

(11)

式中:φT(t)=[-x(t-1),…,-x(t-n)];βT=[z1…zn]。

由RLS算法可得到:

(12)

(13)

P(t+1)=[I-κ(t+1)φT(t+1)]P(t)

(14)

(15)

式(10)是一個白噪聲平滑估值器。用它代替式(7)中的噪聲,可解除參數(shù)估值與噪聲估值之間的耦合關系。在式(7)基礎上可實時求得模型的系數(shù)。

3 新息自適應卡爾曼濾波[8,11-12]

卡爾曼(Kalman)濾波是一種基于最小方差估計的遞推式濾波方法,廣泛用于動態(tài)系統(tǒng)分析、估計、預測和控制。前文建模方法建立的油井液面深度測量系統(tǒng)的時間序列模型,主要不確定問題是系統(tǒng)噪聲和量測噪聲的統(tǒng)計特性,本節(jié)利用新息自適應調(diào)整濾波方程中的系統(tǒng)噪聲協(xié)方差陣Q和量測噪聲協(xié)方差陣R,利用一種新的自適應卡爾曼濾波器濾除系統(tǒng)建模產(chǎn)生的模型誤差,達到對系統(tǒng)狀態(tài)的最優(yōu)估計[5,7]。

卡爾曼濾波主要解決在帶加性噪聲信號x(t)=s(t)+n(t)中提取有用信號s(t)的問題。實際應用中,先將系統(tǒng)離散化,用離散化后的差分方程來描述連續(xù)系統(tǒng)?？柭鼮V波離散狀態(tài)方程由過程方程(11)和測量方程(12)描述:

Xk=A(k+1,k)xk-1+wk-1

(16)

Zk+1=Hk+1Xk+1+vk+1

(17)

式中:Xk為k時刻系統(tǒng)狀態(tài)量;A(k+1,k)為系統(tǒng)一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣;wk為系統(tǒng)噪聲,其協(xié)方差陣為Qk;Hk+1為系統(tǒng)量測矩陣;Zk+1為k+1時刻系統(tǒng)量測值;vk+1為量測噪聲,其協(xié)方差陣為Rk+1。

以新息形式表示的離散型線性系統(tǒng)的卡爾曼濾波的一般算法為[5,8]

狀態(tài)一步預測

(18)

均方誤差一步預測

(19)

濾波增益

(20)

狀態(tài)估計

(21)

均方誤差估計

Pk+1=(I-Kk+1Hk+1)P(k+1,k)

(22)

式中:IVk+1為k+1時刻新息狀態(tài);CIVk+1為其方差,表達式為

(23)

(24)

基于新息的系統(tǒng)噪聲協(xié)方差陣Q的自適應估計由式(19)可得

(25)

又由式(17)可知

P(k+1,k)-Pk+1=Kk+1Hk+1P(k+1,k)

(26)

(27)

因為在濾波穩(wěn)定時,均方誤差陣P趨近于0,則式(22)可以近似為

Qk≈Kk+1Hk+1P(k+1,k)

(28)

(29)

(30)

基于新息的量測噪聲協(xié)方差陣R的自適應估計由式(24)變形即可直接獲得基于新息的量測噪聲協(xié)方差陣的自適應估計

(31)

4 現(xiàn)場數(shù)據(jù)處理及結(jié)果分析

本文以油田現(xiàn)場抽油機的工作狀態(tài),采用本文提出的基于時間序列模型和新息卡爾曼濾波的實時消噪方法,對采集的超聲波信號進行實時消噪濾波處理。

(1)抽油機井回波檢測

設置采集卡采樣率500 Hz,采樣時間20 s。測得抽油機井測得回波信號如圖1所示。

在工程應用中,由于來自觀測環(huán)境、設備本身等多種偶然因素的綜合影響和作用,正常觀測時出現(xiàn)野值的幾率約為2%～5%甚至10%～20%。設備運行的油田環(huán)境復雜,所以本文選用去野值的方法,對接收到的聲波信號預處理,得到預處理之后信號如圖2所示。

圖1 預處理之后聲波信號

圖2 聲波序列自相關、偏自相關函數(shù)圖

(2)建立時間序列模型

①確定系統(tǒng)模型:

在文中第2部分理論基礎上和方法步驟,運用單位根檢驗,判定系統(tǒng)滿足平穩(wěn)性指標。針對平穩(wěn)的時間序列,運用自相關函數(shù)圖的拖尾截尾性(自相關、偏自相關如圖3所示)確定系統(tǒng)模型類型為ARMA。

②定階、系數(shù)估計、建立模型

采用AIC定階準則確定ARMA階數(shù),運用RELS實時估計模型參數(shù),建立系統(tǒng)模型為:

A(q)y(t)=C(q)e(t)

(32)

A(q)=1-3.045q-1+1.354q-2+4.499q-3-4.274q-4-3.577q-5+5.645q-6+1.07q-7-4.461q-8+1.102q-9+1.499q-10-0.98q-11+0.1689q-12

(33)

C(q)=1+0.233q-1-2.355q-2+0.02448q-3+3.041q-4-0.5197q-5-2.479q-6+0.8557q-7+1.172q-8-0.6283q-9+0.02918q-10+0.2971q-11-0.1404q-12

(34)

③模型適用性檢驗

在對時間序列建模之后,還必須進行模型檢驗來判斷擬合模型是否適當,需要檢驗兩個內(nèi)容:模型的平穩(wěn)性、適用性。一個好的擬合模型應該將序列值中的樣本相關信息提取完全,即殘差序列應該是純粹由隨機干擾產(chǎn)生的,即它應當是白噪聲序列。反之,如果殘差序列不是白噪聲序列,那就意味著殘差序列中還有相關信息可供提取,說明擬合模型不夠有效,通常需要選擇其他模型重新擬合。因此,模型的顯著性檢驗也就是殘差序列的白噪聲檢驗。根據(jù)白噪聲的自相關及偏自相關函數(shù)圖全部落在99%置信區(qū)間內(nèi),檢驗模型適用性。殘差自相關及偏自相關函數(shù)如圖3所示。

圖3 模型適用性檢驗圖

圖3表明,自相關系數(shù)、偏自相關系數(shù)均落在置信區(qū)間內(nèi)?？梢缘贸?系統(tǒng)穩(wěn)定,模型描述系統(tǒng)適用。

④新息自適應卡爾曼濾波

基于系統(tǒng)模型,對超聲波測距信號進行估計和預測。但是Box-Jenkins模型對信號無法達到最佳估計和預測,為了實現(xiàn)模型的最優(yōu)估計和誤差補償,在ARMA模型的基礎上,結(jié)合新息自適應卡爾曼濾波對模型產(chǎn)生的誤差進行實時補償,從而達到了對噪聲很好的抑制。經(jīng)新息自適應卡爾曼濾波之后,估計出的聲波信號波形如圖4所示。

圖4 卡爾曼濾波之后的信號放大圖

比較圖1和圖4可直觀的得出:新息自適應卡爾曼濾波對測試系統(tǒng)模型的誤差進行了補償,使聲波信號的噪聲得到了很好的抑制。這進一步說明濾除噪聲后得到的測距信號檢測回波方便、測距精度高的優(yōu)點。

5 小結(jié)

從聲波信號數(shù)字處理角度出發(fā),以時間序列模型為基礎,研究和建立了油井動液面測量系統(tǒng)模型;利用卡爾曼濾波可以實時在線消除隨機噪聲的特性,研究了利用新息自適應卡爾曼濾波方法消除ARIMA模型誤差的方法,達到了較好的超聲濾波效果。

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The Study on Ultrasonic Signal Filtering Algorithm Based on the Time Series Model*

ZHANGPeng*,FANFuling,YANGYi,CHANGJing

(School of Electric and Information Engineer,Zhongyuan University of Technology,Zhengzhou 450007,China)

Aiming at the shortcomings of the complexity and the poor results of the existing filtering algorithm in the oil well Ultrasonic level measurement system,a new method based on time series models and the Innovation-Based Adaptive Kalman Filter is proposed. The ARMA model of the dynamic oil well Ultrasonic level measurement system is established based on the time series model. The Innovation-Based Adaptive Kalman Filter is studied and designed also. Using the online eliminate random noise error characteristics of the Kalman Filter and the characteristics of the ARIMA model can Makes the optimization of the system features state. The method has been used in the producing oil field. The actual test,this method has high accuracy,real time and efficient. And the measurement error is small,which can meet the practical engineering applications.

ultrasonic wave;time series;ARMA;ARIMA;innovation-based adaptive Kalman filter.

張 朋(1979-),男,博士,博士后,副教授。主要從事電力系統(tǒng),網(wǎng)絡化測控技術,多傳感器數(shù)據(jù)融合技術方面的研究,zhangpengbbc@163.com;

范福玲(1965-)女,碩士,副教授,從事網(wǎng)絡化測控,電力系統(tǒng)方面研究,FanFuLing00@163.com。

項目來源:河南省教育廳科學技術研究重點項目(12B510037,13B510296);河南省科技廳科技攻關計劃項目(142102210579);鄭州市科技局普通科技攻關計劃項目(141PPTGG363)

2014-10-28 修改日期:2014-12-03

C:2555;7220

10.3969/j.issn.1004-1699.2015.03.017

TM727

A

1004-1699(2015)03-0396-05