基于網(wǎng)上閱卷的試題分析與教學(xué)建議
——以一道高三解析幾何試題為例

☉江蘇省常熟市教育局教學(xué)研究室陳志江

基于網(wǎng)上閱卷的試題分析與教學(xué)建議
——以一道高三解析幾何試題為例

☉江蘇省常熟市教育局教學(xué)研究室陳志江

一、問題的提出

目前高三統(tǒng)考大多采用網(wǎng)上閱卷，這樣會有每個小題、每個學(xué)生的得分情況等大量的數(shù)據(jù)，還可以收集一個題目各種錯誤答案或不同的解法等，但有些學(xué)?；騾^(qū)域可能并沒有充分研究和掌握這些學(xué)情，而導(dǎo)致教學(xué)中的“高耗低效”，其實如果我們能夠?qū)@些信息作好客觀準(zhǔn)確的分析，并用其指導(dǎo)和改進(jìn)我們的后續(xù)教學(xué)，定會使教學(xué)更科學(xué)、更有針對性·本文以蘇州市2015屆高三期初調(diào)研測試的一道試題為例進(jìn)行試題分析，希望能對現(xiàn)在的高三教學(xué)有所啟發(fā)·

二、試題的分析

1·試題呈現(xiàn)

解析幾何是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，是高考中的重點和熱點，同時又是教學(xué)中的難點·很多學(xué)生認(rèn)為解析幾何就是簡單地“算”，并把考試中做不對解析幾何題歸結(jié)為計算不過關(guān)，不少教師也這么認(rèn)為，因此教學(xué)中會大量地做題，想通過量的積累達(dá)到質(zhì)的飛躍，實際卻往往事與愿違·那么問題到底出在哪里？筆者希望通過分析尋找到答案·

圖1

（2）設(shè)直線AM交l于點P，以MP為直徑的圓交MB于Q，若直線PQ恰好過原點，求橢圓C的離心率·

本題主要考查橢圓方程的求解，兩直線的垂直關(guān)系，橢圓離心率的計算，以及直線、圓、橢圓的相關(guān)基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的運算求解能力·本次考試常熟市采用網(wǎng)上閱卷，兩位老師雙批一個題目，若在誤差分?jǐn)?shù)之內(nèi)則取平均分；若在誤差之外，則由閱卷組長仲裁給分，故分?jǐn)?shù)具有很好的參考價值·

2·學(xué)生答題概況及分析

本題全市平均得分8·29分（滿分16分），難度系數(shù)為0·52，其中第一問平均得分5·484分（滿分6分），第二問平均得分2·805分（滿分10分）·考生總數(shù)為4058人，具體各分?jǐn)?shù)人數(shù)如下表：

第一問第二問整個題目分?jǐn)?shù)人數(shù)分?jǐn)?shù)人數(shù)分?jǐn)?shù)人數(shù)分?jǐn)?shù)人數(shù)分?jǐn)?shù)人數(shù)分?jǐn)?shù)人數(shù)6 3639 10 787 3 443 16 774 9 432 2 14 5 31 9 39 2 224 15 44 8 221 1 57 4 6 8 62 1 356 14 61 7 354 0 260 3 51 7 8 0 2028 13 11 6 1652 2 17 6 7 12 9 5 19 1 54 5 20 11 20 4 5 0 260 4 84 10 85 3 40

對上表數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，我們可以掌握如下學(xué)情·

（1）對求橢圓方程這樣的基本問題絕大部分學(xué)生能順利解決·

第一問求橢圓的方程，得滿分人數(shù)為3639，占考生總數(shù)的89·67%，說明絕大部分學(xué)生對此問題的解決掌握得很好，也表明對該類問題的教學(xué)是成功的；得分在3-5分的有88人，占考生總數(shù)的2·17%，這部分學(xué)生正確得到了關(guān)于a、b、c的方程組，但計算出錯了，表明少數(shù)學(xué)生對方程組的計算還不過關(guān)；得分小于或等于2分（含0分）的有331人，占考生總數(shù)的8·16%，這部分學(xué)生大都空白未做，對本題作放棄處理，查閱試卷后發(fā)現(xiàn)，近一半為體藝班學(xué)生·這一方面反映了學(xué)生的解題心理有問題，他們認(rèn)為這樣的題目肯定得不到分，于是就放棄了；另一方面給我們教師的教學(xué)找到了方向，這300多位學(xué)生應(yīng)是我們對該類問題進(jìn)行后續(xù)教學(xué)的重點對象，要鼓勵他們樹立正確的解題觀點，要敢于去探討、研究，不輕易放棄，通過平時對題目的鉆研提升自己的解題能力和解題信心·

（2）對多字母運算的基本量求值問題的解決學(xué)生呈現(xiàn)三個層次·

第二問求橢圓的離心率，重點考查字母運算求解能力，將學(xué)生區(qū)分為了三個層次·

第一層次，得8-10分的人數(shù)為888，占考生總數(shù)的21·88%，這些同學(xué)主要采用參考答案給出的方法或思路進(jìn)行求解，還有部分同學(xué)設(shè)M（acosα，bsinα）引入角為參數(shù)求解，也有一些同學(xué)設(shè)出過A點的直線，引入斜率為參數(shù)，通過韋達(dá)定理來求解M點，接著求解P點，再利用垂直求解出離心率的值·極少數(shù)同學(xué)在規(guī)范表達(dá)或計算上還有一些小問題導(dǎo)致1-2分的失分·

第二層次，得1-5分的人數(shù)為1127，占27·78%，這部分同學(xué)對條件多少作了些轉(zhuǎn)化，但都是半途而廢·出現(xiàn)的主要錯誤有：①部分同學(xué)用了第一問的條件準(zhǔn)線為x= 4，這樣直接出錯了；②有不少同學(xué)設(shè)直線方程求出M點的坐標(biāo)，算錯了或有的算出M點后放棄往下做；③有的同學(xué)設(shè)P點然后解M點，算算也中途放棄了；④不少同學(xué)直接采用kMA·kMB作為結(jié)論使用，但未作證明；⑤不會用點M在橢圓上這個條件代入化簡·總體表現(xiàn)出解題方向不明確和計算能力不過關(guān)兩大問題·

第三層次，得0分的人數(shù)為2028，占49·98%，這個比例是比較大的，反映出有近一半的同學(xué)在這類問題的解決中毫無辦法、束手無策·分析原因，一部分同學(xué)是直接放棄的，他們認(rèn)為做了也做不出或想把時間放在其他題目上；一部分同學(xué)進(jìn)行了嘗試，但覺得字母多，分不清主次，理不清思路，這些同學(xué)絕大部分第一問是得滿分的，應(yīng)該是具備基本知識的，不過在剛剛進(jìn)入高三，尚未進(jìn)行復(fù)習(xí)的情況下，還缺乏對知識與信息的整合能力，對有一定難度的問題難以解決，這也給我們提示，在后面的一輪復(fù)習(xí)中要重點關(guān)注這些同學(xué)，同時對此類問題的解決要做好思路探索、方法提煉和恰當(dāng)訓(xùn)練·

3·對解析幾何復(fù)習(xí)教學(xué)的建議

（1）教學(xué)中要呈現(xiàn)解題的思維過程·

針對上述第二、三層次的學(xué)生，在教學(xué)中教師要重點呈現(xiàn)解題的思維過程·解析幾何問題，往往解決過程長，學(xué)生要經(jīng)歷審題、思考、解決、出現(xiàn)錯誤、修改、調(diào)整方案等一系列環(huán)節(jié)，這就是“思維過程”·如本題中，M是主動點，P是從動點，M的移動帶來直線MB、OP的轉(zhuǎn)動，而由條件知MB⊥OP，這樣可得方程kOP·kBM=-1，再轉(zhuǎn)化到用a、c表示即可解出離心率e，其思維過程如圖2所示，其中①處主要為計算，②處為問題轉(zhuǎn)化，③處為消參，可分兩個層次，先消x、y，再消b·

圖2

這些是學(xué)生解題的困難之處，是本題能否順利解決的障礙點，教學(xué)中只有把這些關(guān)鍵點突破，才能把學(xué)生點化·

因此解析幾何復(fù)習(xí)中，我們一方面要合理展示教師的思維過程，教師要盡量設(shè)法使學(xué)生看到，面對一個新問題，自己是怎樣尋求解決思路的，其依據(jù)是什么，特別是在思路受阻后是如何調(diào)整思路的，為什么這樣調(diào)整等·另一方面，要充分展示學(xué)生的思維過程，教學(xué)中應(yīng)給學(xué)生充分暴露和展示思維過程的機會，教師要關(guān)注課堂提問、板演、作業(yè)中反映出的學(xué)生思維，及時地發(fā)現(xiàn)學(xué)生的思維“閃光點”和存在的問題，并肯定正確、矯正錯誤，才能讓學(xué)生在復(fù)習(xí)中打通思維、提高其求解解析幾何問題的能力·

（2）要將算理與計算相結(jié)合·

現(xiàn)在學(xué)生的運算能力普遍較差，有些是計算出錯，還有很多是不通算理·解析幾何問題的解決大多需要具備方程（組）思想，一般過程為“引參—列方程（組）—消參—求值”·當(dāng)然我們應(yīng)該要清楚如果方程個數(shù)和未知數(shù)個數(shù)相等，都可以解出具體值，比如本題第一問，由條件可得關(guān)于a、b、c的三個方程，然后解這個三元方程組就可以了；如果方程個數(shù)少于未知數(shù)個數(shù)，最后可能會求比值，如第二問首先引參，可以設(shè)點引入兩個參數(shù)x、y，也可以設(shè)直線的斜率k，但無論引入什么參數(shù)，所得方程個數(shù)總比未知數(shù)個數(shù)少一個，所以最終要求離心率實際上為求兩個未知數(shù)的比值，這樣宏觀把握，那么我們只要去做方程的消元工作就可以了·如何提高學(xué)生的運算能力？筆者覺得除了注重學(xué)生基本運算技能的培養(yǎng)，還要讓學(xué)生準(zhǔn)確理解和掌握常用公式、法則及算法·數(shù)學(xué)公式、法則中，有的是運算的依據(jù)，說明了“為什么可以這樣做”，有的是運算方法與步驟，給出了“如何做”的程序·對公式、法則的掌握程度會直接影響到解題的質(zhì)量與速度·如果學(xué)生理解不深刻，便會陷入一種盲目遲鈍的狀態(tài)，出現(xiàn)各種各樣的錯誤·算法其實是對問題的處理方法，但其間蘊含著為什么這樣處理的一般性規(guī)律，我們的教學(xué)要直擊到這些規(guī)律性的東西，這樣才能讓學(xué)生做一題通一類·

（3）要梳理常見題型，優(yōu)化解題方法·

笛卡兒說：“我們每解一題都要成為以后解題的范例·”個人覺得所謂“范例”可以落點在兩個方面，一是題型，二是方法·解析幾何復(fù)習(xí)中我們要和學(xué)生梳理好常見的題型，筆者將其歸納為基本量求值問題、最值問題、范圍問題、軌跡問題、定點問題、定值問題等六類，我們對每一類問題都應(yīng)做好細(xì)致的研究，對每一類問題的解法要結(jié)合學(xué)生的解法進(jìn)行梳理、改造，解法的探究必須做到“從學(xué)生中來，到學(xué)生中去”，要在錯誤中學(xué)習(xí)·錯誤是一面鏡子，是解題教學(xué)中重要的教學(xué)資源，它能充分暴露學(xué)生的思維過程·我們暴露考試和作業(yè)中學(xué)生出現(xiàn)的典型錯誤，并進(jìn)行討論反思，讓學(xué)生明白每一種方法的優(yōu)點（適用面）和缺點（不適用面），讓學(xué)生的思維走出誤區(qū)，在錯誤中“撥亂反正”，從而生成新思維·只有這樣，學(xué)生才能在解題時根據(jù)具體情況，選擇有效、便捷的方法解決問題·就本題而言，有兩點值得關(guān)注：一是要掌握一些比較常用的運算技能，如直線與圓錐曲線的交點問題中，知道一個交點的坐標(biāo)，如何計算另一個交點的坐標(biāo)；二是本題為基本量求值問題，解完后我們要反思解題的思路，優(yōu)化解題的路徑，是設(shè)點，還是設(shè)斜率，哪個簡單，還是都行？對條件“MP為直徑的圓”是否可以利用圓的幾何性質(zhì)，如何轉(zhuǎn)化這個條件？如何消參更簡單、便捷？

三、一點感想

以上是筆者對該試題作的粗淺分析，是基于事實與數(shù)據(jù)得出的論斷·教育對數(shù)據(jù)的使用才剛剛起步，教育的數(shù)據(jù)時代即將來臨，通過技術(shù)的創(chuàng)新與發(fā)展，以及數(shù)據(jù)的全面感知、收集、分析、共享，我們會有一種全新的研究方法，這樣的研究方法，將推動一些習(xí)慣于靠“差不多”運行的事情發(fā)生巨大變革·正如哈佛大學(xué)社會學(xué)教授加里·金對“大數(shù)據(jù)分析”這樣評價：“這是一場革命，龐大的數(shù)據(jù)資源使得各個領(lǐng)域開始了量化進(jìn)程，無論學(xué)術(shù)界、商界還是政府，所有領(lǐng)域都將開始這種進(jìn)程·”將來我們的教育教學(xué)該是怎樣的，我們目前還不清楚，但我們不應(yīng)只做看客，我們要有整合教學(xué)數(shù)據(jù)的能力，要有探索數(shù)據(jù)背后的價值和制定精確行動綱領(lǐng)的能力，要有進(jìn)行精確快速實時行動的能力，我們應(yīng)努力做一個創(chuàng)新的實踐者·A