基于有限元法的某舵機(jī)齒輪模態(tài)分析

朱自清， 吳柯銳， 侯文， 劉立達(dá)

（1.中北大學(xué) 儀器科學(xué)與動(dòng)態(tài)測試教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，太原 030051；2.空軍駐山西地區(qū)軍事代表室，太原 030024；3.豫西工業(yè)集團(tuán)有限公司，河南 南陽 471002）

0 引 言

齒輪傳動(dòng)作為機(jī)械中主要的一類傳動(dòng)，在工程中得到了廣泛的應(yīng)用，這是因?yàn)辇X輪傳動(dòng)效率高、結(jié)構(gòu)緊湊而且傳動(dòng)比穩(wěn)定。在齒輪工作時(shí)，由于外部激勵(lì)的作用以及自身內(nèi)部的熱運(yùn)動(dòng)，齒輪將不可避免地發(fā)生振動(dòng)。振動(dòng)系統(tǒng)的固有特性，包括系統(tǒng)的固有頻率和對應(yīng)的主振型。在對振動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的研究中，固有特性的研究是其基礎(chǔ)，但是，在系統(tǒng)的初始設(shè)計(jì)階段，固有特性的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)卻不易獲得。目前，為了獲得齒輪固有特性的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，大多是通過理論計(jì)算的方法得到，而在這些算法中，有限元分析法是最好的。

文章首先通過三維設(shè)計(jì)軟件SolidWorks對齒輪進(jìn)行三維建模，然后將模型導(dǎo)入到有限元分析軟件ANSYS中進(jìn)行齒輪模態(tài)的分析，進(jìn)而得到了所設(shè)計(jì)齒輪的低階固有振動(dòng)頻率和其對應(yīng)主振型；然后結(jié)合外部激勵(lì)的頻率特性進(jìn)行分析，表明所設(shè)計(jì)齒輪在正常工作情況下不會(huì)發(fā)生共振。

1 模態(tài)分析理論

模態(tài)分析是通過將結(jié)構(gòu)的物理模型轉(zhuǎn)化成模態(tài)模型，然后對其進(jìn)行分析，得出結(jié)構(gòu)的固有振動(dòng)頻率和振型。

根據(jù)理論力學(xué)的相關(guān)知識，能夠得到系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程

式中：［M］、［C］和［K］分別為系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；（x）、（x˙）和（x¨）分別為位移向量、速度向量和加速度向量；（F（t））為外力向量。

對系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程進(jìn)行拉普拉斯變換，將振動(dòng)方程從時(shí)域變換到頻域，得

其中：（F（s））為激勵(lì)向量；（x（s））為響應(yīng)向量。

令 s=jω，然后引入模態(tài)坐標(biāo)，令（x（s））=［φ］（q），［φ］為振型矩陣，（q）為模態(tài)坐標(biāo)，則式（2）可以表示為

若無外力作用時(shí)，即（F（jω））=（0），即得到系統(tǒng)無外力作用時(shí)在頻域的振動(dòng)方程表達(dá)式，自由振動(dòng)的頻率和對應(yīng)的振型即為系統(tǒng)的固有頻率和固有振型；同時(shí)，在外力為零時(shí)，阻尼對整個(gè)系統(tǒng)的影響也不大，所以可以略去阻尼項(xiàng)，得到無阻尼的自由振動(dòng)方程

其中 i=1，2，…，n。

作為一個(gè)多自由度振動(dòng)系統(tǒng)，一般存在著n個(gè)固有頻率和n個(gè)主振型，每一對頻率和振型代表一個(gè)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)［1］，這種在自由振動(dòng)時(shí)結(jié)構(gòu)所具有的振動(dòng)特性稱為結(jié)構(gòu)的模態(tài)。

2 齒輪建模

2.1 建立實(shí)體模型

考慮到ANSYS軟件自帶建模功能的不足，我們選用三維CAD軟件SolidWorks來建立齒輪的模型，然后通過格式的轉(zhuǎn)換，導(dǎo)入到ANSYS中進(jìn)行模態(tài)分析。實(shí)體齒輪的齒數(shù)z=28，模數(shù)m=0.5 mm，壓力角為20°。建立的三維模型如圖 1（a）所示。

圖1

在建模過程中，需要注意以下幾點(diǎn)：

1）為了減小ANSYS的計(jì)算量，同時(shí)對計(jì)算精度的影響不大的模型中的一些倒角、圓角進(jìn)行了刪除；

2）為了讓在模型導(dǎo)入ANSYS后有效，在建模應(yīng)注意保持實(shí)體特征的獨(dú)立性，不能隨意合并實(shí)體；

3）將SolidWorks中的實(shí)體模型保存為Parasolid格式，ANSYS 方可識別［2］。

2.2 建立齒輪有限元模型

將齒輪模型導(dǎo)入到ANSYS后，還需要進(jìn)行一些操作之后才可顯示所建立的實(shí)體模型，首先是顯示控制的操作，PlotCtrls-Plot Reset Ctrls；然后再 Plot-Replot，顯示結(jié)果如圖1（b）所示。根據(jù)齒輪的材料可知，彈性模量E=210 GPa，泊松比 μ=0.3，密度 ρ=7 900 kg/m3。 單元類型選擇的Solid45。該單元由8個(gè)節(jié)點(diǎn)定義，每個(gè)節(jié)點(diǎn)有三個(gè)方向的自由度，具有塑性和大應(yīng)變的能力［3］。然后對齒輪進(jìn)行網(wǎng)格劃分，采用自由網(wǎng)格命令進(jìn)行劃分，得到齒輪的有限元模型，如圖2所示。

圖2 齒輪有限元模型

2.3 載荷施加及求解

在進(jìn)行模態(tài)分析時(shí)，只需對所求模型進(jìn)行固定，所以，只需對齒輪施加自由度約束，約束的目標(biāo)是齒輪內(nèi)孔的六個(gè)面。模態(tài)提取的方法有Block Lanczos，PCG Lanczos，Reduced，Unsymmetric 等 ， 在 這 里 我 們 選 取Block Lanczos法，提取模態(tài)的數(shù)目和擴(kuò)展模態(tài)的數(shù)目均為10。在求解完成后，通過通用后處理器POST1來查看ANSYS計(jì)算結(jié)果，得到其頻率表，如圖3所示。

圖3 齒輪1-10階固有頻率值

2.4 結(jié)果后處理

在設(shè)置時(shí)，已經(jīng)對模態(tài)進(jìn)行了擴(kuò)展，所以對求得的每一階固有頻率程序都同時(shí)求解了其對應(yīng)的模態(tài)振型在齒輪各節(jié)點(diǎn)上的位移情況，通過采用ANSYS通用后處理器可以對各節(jié)點(diǎn)上的位移情況進(jìn)行觀察和分析。當(dāng)齒輪的固有頻率為54 214.9 Hz時(shí)，其主振型如圖4所示，為一階對折振；當(dāng)齒輪的固有頻率為68 863.2 Hz時(shí)，其主振型如圖5所示，為二階對折振；當(dāng)齒輪的固有頻率為71 447.5 Hz時(shí)，其主振型如圖6所示，為圓周振動(dòng)；當(dāng)齒輪的固有頻率為110 181Hz時(shí)，其主振型如圖7所示，為三階對折振。

圖4 齒輪在1階模態(tài)的主振型

圖5 齒輪在4階模態(tài)的主振型

圖6 齒輪在5階模態(tài)下的主振型

通過總結(jié)，將齒輪的低階固有振型歸納如下［4］：

1）對折振：包括一階對折振、二階對折振……。主要表現(xiàn)為軸向出現(xiàn)規(guī)則波浪振型，在端面上為規(guī)則多邊形振型，綜合起來為結(jié)構(gòu)扭曲型的對折振。

2）傘型振：軸向的振動(dòng)表現(xiàn)為收縮傘狀振型。

3）圓周振：軸向基本無振動(dòng)，在端面上為圓周方向的振動(dòng)。

圖7 齒輪在7階模態(tài)下的主振型

2.5 共振判斷

在獲得齒輪的固有頻率之后，還需要知道外界激勵(lì)的頻率，這樣才可以確定它們組合在一起是否會(huì)發(fā)生共振。

該齒輪的外界激勵(lì)是由直流伺服電機(jī)所提供的，電機(jī)型號是S321B電磁式直流伺服電動(dòng)機(jī)，其最大轉(zhuǎn)速為3 300 r/min，折換成頻率即為55 Hz，這遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于齒輪的固有頻率，所以在舵機(jī)的工作過程中，齒輪不會(huì)發(fā)生共振。

3結(jié) 論

1）通過三維建模軟件SolidWorks對齒輪進(jìn)行三維實(shí)體建模，然后利用有限元分析軟件ANSYS對實(shí)體模型進(jìn)行有限元建模及模態(tài)分析，克服了單一使用某種軟件在建模速度、單元?jiǎng)澐中Ч约扒蠼馑俣鹊确矫娴牟蛔恪?/p>

2）通過對齒輪的模態(tài)進(jìn)行分析，得到了齒輪前10階模態(tài)的固有頻率及其相應(yīng)的主振型；然后結(jié)合電機(jī)的工作特性，證明了在電機(jī)的正常工作條件下，齒輪不會(huì)發(fā)生共振，為舵機(jī)的動(dòng)力學(xué)分析奠定了一定基礎(chǔ)。

［1］ 葉友東，周哲波.基于ANSYS直齒圓柱齒輪有限元模態(tài)分析［J］.機(jī)械傳動(dòng)，2006,30（5）：63-65.

［2］ 徐春雨，陳剛，周淵鍵.基于 Solidworks和ANSYS某舵機(jī)齒輪裝配體模態(tài)分析［J］.機(jī)械傳動(dòng)，2012,36（4）：81-83.

［3］ 孫鵬文，李建東，吳泰成，等.滾珠絲杠電動(dòng)伺服機(jī)構(gòu)齒輪的模態(tài)分析［J］.機(jī)械設(shè)計(jì)與制造，2009（5）：99-101.

［4］ 劉輝，吳昌林，楊叔子.基于有限元法的斜齒輪體模態(tài)計(jì)算與分析［J］.華中理工大學(xué)學(xué)報(bào)，1998（11）：75-77.