巧解滑輪組提升重物的機(jī)械效率問(wèn)題

張忠飛

通常情況下，提升重物問(wèn)題主要是關(guān)于用滑輪組提升重物的問(wèn)題，而機(jī)械效率η=[W有W總]×100%，其中W有=G·h，W總=F·S，因F、S的大小需根據(jù)動(dòng)滑輪上繞繩數(shù)確定，且不易直觀理解（如人提重物上樓問(wèn)題），計(jì)算會(huì)略顯復(fù)雜。當(dāng)涉及滑輪組改裝或G物改變引起的機(jī)械效率變化等動(dòng)態(tài)問(wèn)題時(shí)，此公式計(jì)算的繁雜更為突顯。本文通過(guò)分析滑輪組產(chǎn)生機(jī)械效率的原因，用兩個(gè)比例關(guān)系確定滑輪組的機(jī)械效率，且將之普適化至滑輪組提升重物的靜態(tài)與動(dòng)態(tài)兩類(lèi)機(jī)械效率問(wèn)題，計(jì)算起來(lái)較為簡(jiǎn)易，希望能對(duì)同學(xué)們有所幫助。

一、機(jī)械效率的產(chǎn)生

滑輪組機(jī)械效率η=[W有W總]×100%=[W總-W額W總]×100%=（[W總W總]-[W額W總]）×100%=（1-[W額W總]）×100%，很明顯，若W額=0，即不計(jì)滑輪重量及一切摩擦，則機(jī)械效率η=1。因而，在滑輪組提升重物的過(guò)程中，滑輪的自重及與繩子的摩擦是產(chǎn)生額外功W額的原因，亦即機(jī)械效率小于100%的原因。

在解題時(shí)，與繩子的摩擦通常忽略不計(jì)，故我們可以得到W有=G物·h，W額=G額·h，由η=[W有W總]×100%=[G物·hG物·h+G額·h]×100%，消除h得比例關(guān)系“η=[G物G物+G額]×100%”，將此式再稍作變形，可得“η=[11+G額G物]×100%”。從以上兩個(gè)式子中可以看出，無(wú)需考慮重物通過(guò)的距離，即可求得機(jī)械效率。

普適化比例關(guān)系1：η=[G物G物+G額]×100%，G額指除重物以外的一切被提升物的重量。

普適化比例關(guān)系2：η=[11+G額G物]×100%，G額指除重物以外的一切被提升物的重量。

動(dòng)態(tài)變化分析：設(shè)k=1+[G額G物]，當(dāng)k增大時(shí)，η減??；當(dāng)k減小時(shí)，η增大。

故有：①當(dāng)G額=G物時(shí)，η=50%；

②當(dāng)滑輪組改裝時(shí)，若G物、G額均不變，則滑輪組機(jī)械效率不變；

③增大機(jī)械效率的方法有，G額不變、增大G物，或G物不變、減小G額。

值得強(qiáng)調(diào)的是，這兩個(gè)普適化的比例關(guān)系是在理解滑輪組機(jī)械效率因何產(chǎn)生之后化簡(jiǎn)得來(lái)的純數(shù)學(xué)比例式，僅僅是一種用于選擇題或填空題的快速解題手段，切不可當(dāng)作原始公式用于計(jì)算題中。

二、題型應(yīng)用

1.滑輪組提升重物的機(jī)械效率靜態(tài)分析。

例題1 甲、乙兩同學(xué)用相同的滑輪，采用不同的方法提升相同的重物。比較圖1中的甲、乙兩圖，機(jī)械效率較高的是 。（不計(jì)繩重和摩擦）

解析：采用普適化比例關(guān)系1機(jī)械效率η=[G物G物+G額]×100%，G物相同，因不計(jì)繩重與摩擦，則甲的G額=0，乙的G額=G輪，則機(jī)械效率η甲=1，η乙=[G物G物+G輪]×100%<1，因此η甲>η乙。故答案為甲。

小結(jié)：甲、乙滑輪組提升物體的重量G物相等，若G額較大，則機(jī)械效率較η小。

【變式】把重1000N的沙子運(yùn)到三樓，給出三種方法：①用桶裝沙子由體重為400N的人沿樓梯提上去；②用桶裝沙子由一個(gè)動(dòng)滑輪吊上去；③用袋子裝沙子由一個(gè)動(dòng)滑輪吊上去。這三種方法做的有用功 （填“相等”或“不相等”），其中機(jī)械效率最高的是方法 （填序號(hào)）。

解析：W有=G物·h，因而三種方法做的有用功都一樣；機(jī)械效率η=[G物G物+G額]×100%，其中G物相同，①、②、③中G額的大小順序是：G人+桶>G桶+輪>G袋+輪，則機(jī)械效率大小順序依次是：η3>η2>η1。

答案：相等；③。

小結(jié)：滑輪組提升物體的重量G物相等，若G額較大，則機(jī)械效率η較小，依據(jù)題意知，G人+桶>G桶+輪>G袋+輪，則η3>η2>η1。

2.滑輪組提升重物的機(jī)械效率動(dòng)態(tài)分析。

例題2 如圖2所示，建筑工人用250N的拉力將重400N的物體勻速提升3m，此過(guò)程中，滑輪組的機(jī)械效率為 ；若用該裝置提升500N的重物，其機(jī)械效率的大小將 （填“變大”“變小”或“不變”）。

解析：采用普適化比例關(guān)系1機(jī)械效率η=[G物G物+G額]×100%，其中，G物=400N，G額+G物=2F=2×250N=500N，解得η=80%。

若提升500N重物，采用普適化比例關(guān)系2機(jī)械效率η=[11+G額G物]×100%，其中G′額=G額=100N不變，G′物=500N，則[G′額G′物]=[15]<[G額G物]=[14]，可得η增大。

答案：80%；變大。

小結(jié)：本題的規(guī)范解法是用機(jī)械效率公式η=[W有W總]×100%進(jìn)行計(jì)算，但使用前述普適化比例關(guān)系，可以不涉及h的計(jì)算，對(duì)于第二問(wèn)，甚至不需計(jì)算即可判斷，故較為簡(jiǎn)易省時(shí)。

【變式1】如圖3所示，小華同學(xué)在“測(cè)量滑輪組機(jī)械效率”的實(shí)驗(yàn)中，應(yīng)豎直向上勻速拉動(dòng)繩子的自由端。若鉤碼G重為3N，小華所用拉力F為1.2N，則滑輪組的機(jī)械效率為 ；若換成重為5N的鉤碼G′再進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，此滑輪組的機(jī)械效率將 （選填“變大”“變小”或“不變”）。

解析：采用普適化比例關(guān)系1機(jī)械效率η=[G物G物+G額]×100%，其中G物=3N，G額+G物=3F=3×1.2N=3.6N，解得η=83.3%。

若提升5N重物，采用普適化比例關(guān)系2機(jī)械效率η=[11+G額G物]×100%，G′額=G額=3F-G物=0.6N不變，G′物=5N，則[G′額G′物]=0.12<[G額G物]=0.2，可得η增大。

答案：83.3%；變大。

小結(jié)：對(duì)于第一問(wèn)，分析知題干未給出提升重物的高度，因而采用公式η=[W有W總]×100%，不如用消除h后所得的比例式η=[G物G物+G額]×100%計(jì)算，可快速求得結(jié)果；對(duì)于第二問(wèn)，從比例式η=[11+G額G物]×100%很容易看出，增大G物，會(huì)使得機(jī)械效率η增大。

【變式2】如圖4甲所示，用動(dòng)滑輪把重為100N的物體豎直勻速提高2m，滑輪重為10N，不計(jì)繩重和摩擦，滑輪的機(jī)械效率是 。若將甲裝置改裝成乙，則滑輪組的機(jī)械效率將 （選填“增大”“減小”或“不變”）。

解析：依題知G物=100N，G額=10N，采用普適化比例關(guān)系1機(jī)械效率η=[G物G物+G額]×100%，則η=[100100+10]×100%=90.9%；將甲裝置改裝成乙裝置后，G物不變，G額減小至0，由普適化比例關(guān)系2機(jī)械效率η=[11+G額G物]×100%知，η增大。

答案：90.9%；增大。

【變式3】某同學(xué)在探究滑輪組的機(jī)械效率與被提升物體重力的關(guān)系時(shí)，采用了如圖5甲中所示的滑輪組，每個(gè)滑輪等重。不計(jì)繩重和摩擦，物體重G從200N開(kāi)始逐漸增加，直到繩子被拉斷。每次均勻速拉動(dòng)繩子將物體提升同樣的高度。圖5乙記錄了在此過(guò)程中滑輪組的機(jī)械效率隨物體重力的增加而變化的圖像。請(qǐng)根據(jù)圖像回答：

（1）每個(gè)滑輪重 N；

（2）當(dāng)G= N時(shí)，滑輪組的機(jī)械效率可達(dá)到75%。

解析：對(duì)于第一問(wèn)，從圖5乙可看出，η=50%時(shí)，G物=200N，采用普適化比例關(guān)系1機(jī)械效率η=[G物G物+G額]×100%，可得當(dāng)η=50%時(shí)，G額=G物=200N，則G滑=[12]G額=100N。

對(duì)于第二問(wèn)，依題知G額不變，為200N，G物不斷增加，采用普適化比例關(guān)系2機(jī)械效率η=[11+G額G物]×100%，當(dāng)η=75%時(shí)，解得G物=600N。

答案：100N；600N。

結(jié) 語(yǔ)

本文在滑輪組機(jī)械效率公式η=[W有W總]×100%的基礎(chǔ)上，分析了滑輪組機(jī)械效率由來(lái)的原因，并延伸出滑輪組機(jī)械效率計(jì)算的兩個(gè)普適化比例關(guān)系。需要計(jì)算滑輪組的機(jī)械效率時(shí)，可選用普適化比例關(guān)系1，而需要判斷滑輪組機(jī)械效率的變化時(shí)，可選用普適化比例關(guān)系2?？焖?、簡(jiǎn)潔的運(yùn)算，可在一定程度上提高我們的效率，在考試時(shí)贏得更多的做題時(shí)間。