自然災害動態(tài)風險分析的一個形式化模型*

黃崇福

(1.地表過程與資源生態(tài)國家重點實驗室(北京師范大學)，北京100875；2.北京師范大學環(huán)境演變與自然災害教育部重點實驗室，北京100875；3.民政部/教育部減災與應急管理研究院，北京100875)

?

自然災害動態(tài)風險分析的一個形式化模型*

黃崇福1,2,3

(1.地表過程與資源生態(tài)國家重點實驗室(北京師范大學)，北京100875；2.北京師范大學環(huán)境演變與自然災害教育部重點實驗室，北京100875；3.民政部/教育部減災與應急管理研究院，北京100875)

根據(jù)自然災害動態(tài)風險分析基本原理，將概率風險模型改造成一個動態(tài)風險分析的形式化模型。由條件概率密度函數(shù)和動態(tài)脆弱性函數(shù)耦合而成的風險，隨著綜合環(huán)境和內在屬性的變化而變化。我們建議用正態(tài)信息擴散方法估計條件概率密度函數(shù)和動態(tài)脆弱性函數(shù)。這兩個重要函數(shù)的估計都不依賴人為假設，分析過程透明，結果可解釋性強，具有一定的可靠性。

動態(tài)風險；自然災害；密度函數(shù)；脆弱性函數(shù)；信息擴散

風險是一個幽靈，一個飄忽不定的幽靈。一旦顯現(xiàn)，就不再是風險，而是事件。為了管理這個幽靈，使其不對人類造成過大的傷害，人類的一切智慧和可用的工具都被調動了起來，力圖監(jiān)測它、描述它、評估它，規(guī)避它，并在可能的情況下控制它。人們投巨資建造各種監(jiān)測系統(tǒng)獲取數(shù)據(jù)，提出越來越復雜的非線性模型，并使用大量數(shù)據(jù)以描述和評估風險，有實驗得來的模型，有經(jīng)驗得來的模型，也有邏輯推理來的模型，還有從仿生學借鑒來的模型。新出現(xiàn)的或人們缺乏先驗知識的風險，稱之為“新興風險”，例如，由于人類行為而放大了的自然風險[1]；由大量統(tǒng)計數(shù)據(jù)支持概率模型而進行描述的風險，稱之為“概率風險”[2]，例如，一個地區(qū)的機動車事故風險；沒有懸念，可以準確預測的“風險”，是“偽風險”[2]，例如，可以準確預測：不帶降落傘從高空飛機中跌落下來的人，必死無疑。

從“新興風險”演變?yōu)椤皞物L險”，是人類對世界從未知到已知的一個認識過程，充滿挑戰(zhàn)。只有從靜態(tài)風險分析上升到動態(tài)風險分析，才能加速這種演變。以2015年1月7日法國諷刺雜志《查理周刊》在首都巴黎的辦公室遭到3名槍手襲擊，造成12人死亡的恐怖襲擊風險為例。事前，使用諸如統(tǒng)計假設等在內的任何靜態(tài)模型，即便有再多的歷史恐怖襲擊事件的數(shù)據(jù)支撐模型，都描述不了這一風險。只有根據(jù)實時變化的恐怖分子活動的情報，以及作為風險承受體的該雜志辦公室的現(xiàn)實設防情況等進行動態(tài)風險分析，才有意義。

在自然災害領域，傳統(tǒng)上，人們用大量歷史數(shù)據(jù)進行概率風險計算，其有效性建立在平穩(wěn)馬爾可夫隨機過程[3]的假定之上：風險系統(tǒng)是一個平穩(wěn)馬爾科夫過程，即未來的風險情景只與過去時間段內的情景有關，其相應的統(tǒng)計規(guī)律不因時間的推進而改變。這是一種靜態(tài)風險評估方法，本質上假定了系統(tǒng)的隨機規(guī)律不隨時間發(fā)生變化。事實上，即使在統(tǒng)計的意義上，大多數(shù)風險系統(tǒng)也并非一成不變。六十多年前，黃河中下游地區(qū)洪水災害風險極高，今天則已大大降低，這就是最好的例證。在社會快速發(fā)展和精細化管理的今天，粗糙的靜態(tài)風險分析，已經(jīng)滿足不了需要。特別是，當災害風險研究已經(jīng)精細化到社區(qū)級時，風險的動態(tài)性，更是不可忽略。難怪龍卷風頻發(fā)的美國，竟然被認為龍卷風的觀測資料不足，難以確定各管理網(wǎng)格上龍卷風發(fā)生頻率和強度的變化趨勢[4]。

動態(tài)風險的研究，于20世紀80年代被提上了議事日程。目前，諸如故障樹分析和事件樹分析結合的蝴蝶結分析技術[5]、內集-外集模型[6]、風險評估框架修改[7]等更新算法，是動態(tài)風險分析的主要技術。回溯歷史風險的動態(tài)過程的發(fā)展趨勢預測方法，被用于研究洪澇災害動態(tài)風險[8]。根據(jù)社會、政治、經(jīng)濟、金融、監(jiān)管、法律和技術等因素對風險進行動態(tài)識別、定位和評估的“歐洲新興風險雷達”[9]，也是動態(tài)風險研究的重要嘗試。

然而，更新算法和趨勢預測法只適于研究慣性型動態(tài)風險，現(xiàn)有的風險雷達只是傳統(tǒng)風險矩陣的一種雷達化顯示，捕獲和處理動態(tài)風險信息的問題并沒有解決。

動態(tài)風險的研究進展緩慢，一個重要的原因是沒有涉及動態(tài)風險的本質：內涵和外延都發(fā)生變化。另一個原因是人們過于熱衷于非技術性概念化研究，陷入關于動態(tài)風險的性質[10]、準則[11]和時間序列[12]等方面的討論。文獻[13]中認為，面對一個給定的風險系統(tǒng)，當人們努力認識風險時，并不知真實風險為何物，因為真實風險將在一定時段后才能得到確認。據(jù)此，該文認為，研究動態(tài)風險只能在“認知動態(tài)風險”的概念下進行，并給出如下定義：

定義1 設不利事件ω的風險系統(tǒng)G隨著綜合環(huán)境E和內在屬性C的變化而變化。假定其變化是通過對風險源S和風險承受體O的影響而實現(xiàn)。設“?”是我們通過耦合S和O而認識風險的某一數(shù)學算子，我們稱Rω(E,C)=SE,C?OE,C為認知動態(tài)風險。

例如，1998年長江發(fā)生特大洪水后，我國政府投入巨資加固了長江堤防并在上游大面積退耕還林，不利事件ω(水災)的風險系統(tǒng)G(天氣系統(tǒng)和長江流域社會經(jīng)濟系統(tǒng))的綜合環(huán)境E(水土保持)和內在屬性C(堤防)均發(fā)生了很大的改變，風險源S(洪水)發(fā)生了變化，從而長江流域的洪水災害風險也必將發(fā)生變化，由Rω(水土保持，堤防)表達的風險，是一種認知動態(tài)風險。如果考慮全球氣候變暖和社會經(jīng)濟系統(tǒng)的變化，風險的動態(tài)性會更明顯。

面對如此界定的動態(tài)風險，該文提出了對其進行分析的基本原理：明確動態(tài)風險內涵和涉及的系統(tǒng)，研究綜合環(huán)境和內在屬性變化對風險源和風險承受體的影響，通過對變化中的風險源和風險承受體進行耦合，進行不確定性意義下的動態(tài)系統(tǒng)量化分析。

這里的“動態(tài)風險內涵”是指具體的動態(tài)風險定義，既要明確風險是指什么，更要明確動態(tài)是因什么而動，并以描述動態(tài)風險情景某一個或幾個具體側面的相關量化指標來體現(xiàn)。例如，如果風險是指損失的期望值，動態(tài)是因時間而動，則風險源強弱、風險承受體脆弱性、綜合環(huán)境參數(shù)、內在屬性參數(shù)、“損失”和“期望值有效時間長”等等，都是描述動態(tài)風險情景的量化指標。這里，不同時段期望值是描述動態(tài)損失風險情景的一個側面。

這一基本原理的核心是“研究綜合環(huán)境和內在屬性變化對風險源和風險承受體的影響”，局限于能用“風險源和風險承受體耦合”生成的認知動態(tài)風險。本文將這一原理應用于自然災害風險，構造出一個形式化模型，旨在為關心動態(tài)風險研究的學者起到拋磚引玉的作用。

1 動態(tài)概率風險的形式化模型

當人們用模型進行風險分析時，往往因研究的問題層次不同，采用不同層次的風險模型。這些模型，可分為三個層次，分別稱為“概念化模型”、“形式化模型”和“應用模型”。

人們對風險的初級認識，使用概念化模型來進行分析。這種模型，只能指明影響風險的各種因素的名稱。支撐模型的是這些因素后面的概念。例如，式(1)就是一個概念化模型。

R=F(H,V)，

(1)

式中：R為風險，H為危險性，V為脆弱性。

當人們對風險有了一定的認識后，通常能提出形式化模型對風險進行分析。這種模型，能給出形式化的數(shù)學表述式，但函數(shù)的具體形式或全局性參數(shù)尚待確定。例如，式(2)就是一個形式化模型。

(2)

式中：R為風險，f(x)為危險事件x發(fā)生導致的損失程度，p(x)為危險事件x發(fā)生的概率密度函數(shù)。

只有當人們對風險有了較深刻的認識后，才有可能建立起實實在在對風險進行量化分析的應用模型。這種模型，給定了函數(shù)的具體形式和全局性參數(shù)。例如，估計水稻洪水風險的公式(3)[14]，就是一個應用模型。

(3)

式中：R為風險，a為用損失數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計，b為用洪水事件數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計。a,b均是局部參數(shù)，由所評估地區(qū)的相關數(shù)據(jù)確定。

“概念化模型”通常用于定性研究風險問題；“形式化模型”是從定性研究到定量研究的階段性成果。“應用模型”才可用于定量研究風險問題。

在人們認識靜態(tài)風險的時代，評估風險的高或低，類似于我們評估某產品的質量好或不好；分析風險的高或低，則類似于我們分析某產品的質量為什么好或為什么不好。評估偏重于結果，分析偏重于原因、過程。評估可以通過觀察外表或對有關參數(shù)進行測試來完成，也可通過分析有關原因、過程，推導出結果。簡單的概率統(tǒng)計屬于觀察外表的方法，系統(tǒng)分析方法屬于推導方法。采用何種方法，完全由我們進行風險評估時所擁有的數(shù)據(jù)資料和掌握的相關知識來決定。

在人們認識動態(tài)風險的時代，風險評估將被淡化，因為僅僅通過觀察外表或對有關參數(shù)進行測試很難認識動態(tài)風險，只有通過分析有關原因、過程，才能推導出結果。根據(jù)動態(tài)風險分析的基本原理，形式化模型應該涉及四個方面的變量，分別用于刻畫風險源、風險承受體、綜合環(huán)境和內在屬性。并且，形式化模型中，須用數(shù)學公式表述風險源和風險承受體是如何進行耦合的。無論是變量或耦合，均須考慮風險系統(tǒng)的不確定性。

下面，我們將引言中提到的動態(tài)風險分析基本原理應用于自然災害風險，構造出一個動態(tài)概率風險的形式化模型。

人們對風險的認識程度完全受其掌握的知識和信息所決定。根據(jù)認知程度不同，風險可分為四類：偽風險、概率風險、模糊風險和不確定風險[2]。在一些地區(qū)，自然災害頻繁發(fā)生，在較大的地理單元上，自然災害風險是概率風險。例如，人們可以用概率模型和大量數(shù)據(jù)來分別預測福建、浙江和廣東等省域內臺風災害的未來情景。但是，在較小的單元上，由于數(shù)據(jù)有限，我們會遇到小樣本的信息不完備問題，只能用模糊邏輯和不完備信息來近似推斷臺風災害的未來情景。信息不完備時的臺風災害風險，是模糊風險。一旦考慮到全球氣候變暖可能對臺風發(fā)生規(guī)律產生影響，或考慮到風險承受體脆弱性的變化，臺風災害風險就有了明顯的動態(tài)屬性。既考慮自然災害發(fā)生的某種統(tǒng)計規(guī)律，又考慮自然災害的動態(tài)屬性，最簡單的自然災害動態(tài)風險形式化模型，是動態(tài)的概率風險模型。

不失一般性，我們約定：

·以m記自然致災力的強度(例如，臺風強度、地震動峰值加速度等)；

·在研究區(qū)域和指定時間段內，m發(fā)生的概率密度函數(shù)，用p(m)表之；

·風險承受體關于m的脆弱性(在量級為m的致災力襲擊下出現(xiàn)的災情)，用函數(shù)f(m)進行描述；

·以向量E記影響災害風險的可變的綜合環(huán)境(例如，風險時段和風險承受體周圍地貌等)；

·以向量C記災害風險系統(tǒng)中可變的內在屬性(例如，全球氣候變暖和社會經(jīng)濟發(fā)展)。

此時，如果將自然災害風險視為概率風險，并界定風險的內涵是災情的期望值時，我們就可以將靜態(tài)風險模型式(4)[14]改造成式(5)所示的動態(tài)風險的形式化模型。

R=∫u00p(m)f(m)dm，

(4)

R(E,C)=∫u00p(m|E,C)f(m,E,C)dm。

(5)

式中：u0為所研究區(qū)域中可能發(fā)生自然致災力的最大值。由于非破壞性致災力不造成災情，所以動態(tài)風險形式化模型中的積分下限可從破壞性致災力開始。

自然災害動態(tài)風險分析的大量工作，是合理估計條件概率密度函數(shù)p(m|E,C)，與合理估計動態(tài)脆弱性函數(shù)f(m,E,C)。對于單參數(shù)x的條件概率密度p(m|x)和單參數(shù)y的動態(tài)脆弱性函數(shù)f(m,y)，本文建議用正態(tài)信息擴散方法，由有條件參數(shù)x的歷史致災事件記錄和有條件參數(shù)y的歷史災情數(shù)據(jù)記錄來生成。

2 用正態(tài)信息擴散方法估計條件概率密度

2.1 條件概率密度的本質

在概率論中，有一個基本的概念叫“事件”，是指樣本空間上的子集，記為A。而樣本空間與隨機實驗有關。隨機實驗是指物理或數(shù)學的過程：實驗可以在相同的情形下重復進行；實驗的所有可能結果是明確可知的，并且不止一個；每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些可能結果中的一個，但在一次試驗之前不能肯定這次試驗會出現(xiàn)哪一個結果。所有可能結果的集合稱為樣本空間，記為Ω。每一個可能的結果，稱為基本事件，記為ω。亦即是說，Ω由全體ω組成，A是Ω上的子集(可以是直接由一些ω構成的子集，也可以是空集φ，還可以是由子集構成的集合)。

用來測度隨機實驗中事件發(fā)生可能性大小的數(shù)值稱為“概率”。對事件A的這種測度記為P(A)。這種測度體系必須滿足下列4個條件[15]：

(1) 0≤P(A)≤1。

(2) 若A是必然事件，則P(A)=1；若A是不可能事件，則P(A)=0。

(3) 若隨機事件Ai與Aj不相容(即兩者的交集是空集)，則：

P(Ai∩Aj)=0,P(Ai∪Aj)=P(Ai)+P(Aj)。

(4) 若隨機事件Ai，i=1,2,…,n，互不相容且可窮舉(n個隨機事件中必有一個發(fā)生)，則：

事件A在另外一個事件B已經(jīng)發(fā)生條件下的發(fā)生概率，稱為在B條件下A的概率，記為P(A|B),當P(B)>0時，它由式(6)進行計算。

(6)

式中：AB指A與B的交集，即AB=A∩B。

例如，假定某地300年內不發(fā)生大于7級地震的概率是0.1，在200年內不發(fā)生大于7級地震的概率是0.4。該地在過去的200年內沒有發(fā)生過大于7級地震，求余下的100年內不發(fā)生大于7級地震的概率。

解：設A表示該地在過去的300年內沒有發(fā)生大于7級的地震；B表示該地在過去的200年內沒有發(fā)生大于7級的地震。

由于過去的300年內沒有發(fā)生大于7級地震，必定是過去的200年內沒有發(fā)生大于7級地震，于是，事件A的發(fā)生，必有事件B的發(fā)生，即A和B同時發(fā)生的概率是A發(fā)生的概率，P(AB)=P(A)。由式(6)，求得余下的100年內不發(fā)生大于7級地震的概率為：

由于事件的發(fā)生與否互為逆，其概率具有互補關系，即如果A發(fā)生的概率是p，則A不發(fā)生概率是1-p。由題意知，所研究地區(qū)在300年內發(fā)生此類地震的概率是0.9，200年內發(fā)生大于7級地震的概率是0.6。由于過去的200年內沒有發(fā)生此類地震，在余下的100年內發(fā)生此類地震的概率是1-0.25=0.75，它比在前200年內發(fā)生該類地震的概率0.6明顯要大。

概率風險分析的核心工作，并非與上述例子類似，即在已知的事件概率基礎上，計算形形色色組合事件的概率(故障樹恰好是專注于這類工作)，而是要估計出基本事件發(fā)生的概率。通常，只須研究基本事件ω發(fā)生的概率，用組合數(shù)學就可計算出事件A發(fā)生的概率(這屬于古典概型問題)。更進一步來說，一個ω可以對應到一個數(shù)，從而將問題轉變?yōu)閷﹄S機變量的研究。

定義2 設Ω為某一試驗產生的樣本空間，X為定義在Ω上的實函數(shù)，即對任一樣本點ω∈Ω，X(ω)為一實數(shù)，則稱X為一個隨機變量。

對隨機變量X的研究是通過它的具體數(shù)值x進行的。因此，在國內外的文獻中，在寫法上大多不區(qū)分一個隨機變量和它的具體數(shù)值。x既可以代表一個隨機變量，也可以代表隨機變量的一個值，即一個隨機數(shù)。如果沒有特別的需要，我們總是把一個隨機變量寫為x。

嚴格地講，隨機試驗中，各個基本事件出現(xiàn)的概率的集合，稱為概率分布，只不過引入了隨機變量x后變成了關于x的分布，記為P(x)。通常人們所說的“概率分布”，是指“累積概率分布”F(x)，即：

F(x)=Prob(X≤x)。

當x是一個連續(xù)變量時，常常用概率密度函數(shù)p(x)來表達概率分布，即

概率分布表述了隨機變量取值的概率規(guī)律。概率風險分析的核心工作之一，就是找出這一規(guī)律。知道P(x)、F(x)或p(x)中的任意一個，就能推導出另外兩個。

當我們不能用定義在Ω上的一維實變量來刻畫隨機試驗的可能結果時，就產生了多維隨機向量。條件概率分布，是多維隨機向量的產物。例如，登陸研究區(qū)域的一次臺風，可視為是大自然在該區(qū)域進行隨機試驗的一個結果，它不能用定義在樣本空間上的一維實變量來刻畫，最少需要用強度和時間這兩個變量。當定義2中的X是一個多維隨機向量時，相應的概率分布，稱為聯(lián)合概率分布。

定義3 設X=(X1,X2, …,Xn)為n維隨機向量，對任一n元實數(shù)組x=(x1,x2, …,xn),則F(x1,x2,…,xn)=Prob(X1≤x1,X2≤x2,…,Xn≤xn)稱為隨機向量X的聯(lián)合分布函數(shù)，也稱為聯(lián)合概率分布。

當我們將條件概率的研究拓展到概率分布的研究時，問題被抽象為：設X=(X1,X2, …,Xn)為n維隨機向量，假定已知其中一部分分量的值，在此條件下，其余分量的條件概率分布是什么？

對于離散型隨機向量，可以直接由式(6)的條件概率公式去定義條件概率分布。對連續(xù)型隨機向量，須由概率密度函數(shù)去定義條件概率分布。特別地，對于二維連續(xù)型隨機向量，我們有下述的定義。

定義4 設二維連續(xù)型隨機向量(X,Y)有概率密度函數(shù)p(x,y)，則給定X=x時Y的條件概率分布函數(shù)是

其中，

(7)

稱為y在x條件下的概率密度，簡稱y的條件概率密度。

由上述的介紹和定義4易知，條件概率密度的本質，是用給定條件x下y的期望

除以聯(lián)合概率密度分布。關鍵還在于找出或估計出隨機系統(tǒng)的聯(lián)合概率密度分布函數(shù)p(x,y)。

對于一維隨機向量，要假定出其概率分布的數(shù)學表達式，已經(jīng)非常困難；對于n維隨機向量，更為困難。要用統(tǒng)計方法較準確地估計一個一維概率分布，最少需要30個樣本點；二維情況，則需900個樣本點。對一個具體的自然災害動態(tài)風險系統(tǒng)，要假定出條件概率密度涉及的聯(lián)合分布的函數(shù)形式，非常困難；要用樣本點來估計分布函數(shù)中的參數(shù)，樣本點的個數(shù)很難達到要求。因此，在較少樣本點的情況下，我們建議采用正態(tài)信息擴散的方法，以離散而非解析的方式，近似估計條件概率密度。

2.2 正態(tài)信息擴散

分析概率風險的關鍵之一，是如何有效地學習知識樣本。由以往的不利事件記錄作為知識樣本，采用某種統(tǒng)計方法依其估計事件發(fā)生的概率分布，是一種對風險系統(tǒng)的統(tǒng)計學習。在許多情況下，可供學習的知識樣本點很少，我們稱之為信息不完備。在此條件下，基于傳統(tǒng)概率統(tǒng)計方法得出的結果可信度不高，相關風險分析結論的可靠性得不到保證。為了部分彌補信息不完備造成的空白，本文作者在1985年的碩士學位論文中提出了信息分配方法[16]，進而在1992年的博士學位論文中將其發(fā)展為信息擴散原理[17]。

信息擴散的基本思想，是把一個傳統(tǒng)的數(shù)據(jù)樣本點變成一個模糊集合。由于信息擴散的目的是挖掘出盡可能多的有用信息，以此提高系統(tǒng)識別的精度，所以這種技術也被稱為模糊信息優(yōu)化處理技術。最簡單的方法是信息分配方法，最簡單的擴散函數(shù)是正態(tài)擴散函數(shù)。使用信息擴散方法不需要任何的專家經(jīng)驗，推斷出來的模糊風險結論也不會因人而異。

令D={x1,x2,…,xm}是一個給定的樣本點集合，U={u}是它的論域(定義域)。將x1,x2,…,xm視為物理化學意義上的分子，將U視為分子擴散的空間，模仿分子擴散，可以給出信息擴散方程，得到一個擴散函數(shù)：

(8)

由于μ(x,u)表達的是給定樣本點x沿論域點u進行擴散的量值分布，正好與概率論中的正態(tài)分布相同，所以μ(x,u)被稱為正態(tài)擴散函數(shù)。其歸一化后得到的模糊集，由式(9)表達。

(9)

用式(8)和式(9)對樣本點x在U上進行的信息擴散處理，都稱為正態(tài)信息擴散。由于對模糊集樣本點進行統(tǒng)計分析時，須進行歸一化處理，讓模糊集樣本點具有相同的統(tǒng)計地位，所以，式(8)中的第一個因子不影響統(tǒng)計結果。本文提及的正態(tài)信息擴散，是指用式(9)進行的擴散。

對正態(tài)擴散的計算機仿真實驗表明，當每一個信息接收點，從鄰近兩個樣本點擴散得到信息量，等于或多于從其它樣本點得到的信息量總和時，擴散估計的結果最好。這一現(xiàn)象被稱為兩點擇近原則。根據(jù)此原則和樣本點平均距離假設，可以推導出一個計算擴散系數(shù)的簡單公式[18]：

(10)

這里

信息擴散，只是把沒有尺寸大小的樣本點變成了有一定影響范圍的模糊集。使用這些模糊集來進行統(tǒng)計學習，估計概率分布，還需要學習工具。我們建議用信息矩陣來實現(xiàn)這一目的。

2.3 信息矩陣

設D是一個給定的樣本點集合，含有m個樣本點，每個樣本點有兩個分量：x，y。該樣本點集合記為：

D={(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym)}。

(11)

定義5 從卡氏積D×U1×U2到區(qū)間[0，1]的一個映射

μ:D×U1×U2→[0,1]

((x,y),u,v)|→μuv(x,y), (x,y)∈D,u∈U1,v∈U2

(12)

稱為一個降落公式，如果μ是一個單值映射。

令

(13)

我們說，D賦給了空間U1×U2上的點(u,v)量值為Quv的信息增量。

設uj,j=1,2,…,J和vk,k=1,2,…,K分別是隨機變量x的論域U1和隨機變量y的論域U2中的離散點。為方便起見，仍分別用U1和U2記它們的離散點的集合，即：

U1={u1,u2,…,uJ},U2={v1,v2,…,vK}

(14)

理論上講，離散點應盡可能多，但通常根據(jù)樣本點的精度進行選取，因為太多的離散點除增加計算的工作量外，對提高識別精度幫助不大。也就是說，離散點的選取，并不依賴經(jīng)驗，用樣本點間最小距離來控制即可。

定義6 給定樣本D={(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym)}，x和y的論域分別是U1和U2。設uj，j=1,2,…,J和vk,k=1,2,…,K分別是U1和U2中的離散點。如果D按式(12)和式(13)賦給了空間U1×U2上的點(uj,vk)量值為Qjk的信息增量，則矩陣

(15)

稱為D在U1×U2上的信息矩陣。

當U1，U2均為實數(shù)軸上的區(qū)間時，通常按等步長取式(14)中的離散點，其步長分別記為Δx和Δy。

我們將式(16)稱為二維正態(tài)擴散函數(shù)，它是卡氏積D×U1×U2到區(qū)間[0，1]的一個單值映射，是一個降落公式。

(16)

其中，擴散系數(shù)hx和hy用式(10)進行計算。

研究表明，由正態(tài)擴散降落公式得到的信息矩陣，較好地展示了原始樣本的信息結構，品質較好，且結果不受離散點多少的影響，應用起來很方便。

2.4 用二維信息矩陣估計條件概率密度

當我們不知道一維連續(xù)型隨機變量概率密度的函數(shù)形式時，用隨機樣本估計概率密度分布最簡單的方法是直方圖。柱狀圖(二維直方圖)則可用于估計二維連續(xù)型隨機向量的概率密度分布。由正態(tài)擴散產生的二維信息矩陣，能比柱狀圖更為精確地估計二維概率密度分布，從而用較少的樣本點也能較好地估計出條件概率密度。研究表明[19]，小樣本情況下，正態(tài)擴散估計可以比直方圖估計減少誤差約50%。

用二維正態(tài)信息擴散公式(16)生成的信息矩陣式(15)，稱為原始信息分布，功能相當于頻率直方圖。令

(17)

則

qjk=Qjk/H,j=1,2,…,J;k=1,2,…,K,

(18)

就是用所給二維隨機樣本對聯(lián)合概率分布的一個離散估計，功能相當于相對頻率直方圖。根據(jù)概率密度的定義的，我們可用離散間距Δx和Δy處理qjk，從而得到概率密度值

pjk=qik/(Δx×Δy)。

(19)

由式(7)知，給定X=x時Y的條件概率密度，其實是用各x不變時關于y的積分值去遍除以聯(lián)合概率密度。用離散逼近連續(xù)時，積分轉變?yōu)榍蠛汀Ｓ谑?，給定u=uj時v的條件概率密度是

(20)

3 用正態(tài)信息擴散方法估計動態(tài)脆弱性函數(shù)

3.1 脆弱性函數(shù)

脆弱性是人類社會中普遍存在的現(xiàn)象，無非就是易折易碎。在我國南朝劉宋時期的歷史學家范曄所編的《后漢書·黃瓊傳》中就有“峣峣者易缺，皎皎者易污”之述，意為：高的東西容易折損，干凈的東西容易變污濁。概括而言，脆弱性是指某個對象，被損傷或被擊毀的容易程度。一座破舊的建筑物容易被地震震塌，我們說該建筑物面對地震很脆弱；一個上市企業(yè)的股價在大盤急速下跌時跌的并不多，我們說該企業(yè)面對股災不脆弱。對于風險系統(tǒng)而言，我們給出如下的定義：

定義7 設S是風險源，O是風險承受體。O被S損傷或被擊毀的容易程度，稱為O關于S的脆弱性。

對一個風險系統(tǒng)而言，風險源暴發(fā)時其強烈程度往往不同，風險承受體的損傷或擊毀程度也就不同。所以，定義中的“容易程度”，通常不是一個數(shù)值，而是致災力強度與損傷程度間的一個函數(shù)。例如，活動斷層這一地震風險源，其發(fā)生破裂時引發(fā)地震的震級往往不同。經(jīng)地震波傳播而作用于建筑物的地震動加速度峰值不同，建筑物的破壞也就不同。在地震工程中，加速度與破壞程度之間的函數(shù)，稱為易損性曲線。同樣的加速度，破壞得越嚴重，建筑物越脆弱。

當脆弱性概念從獨立風險承受體向社會系統(tǒng)和生態(tài)系統(tǒng)拓展時,人們賦予了它更多的內涵，甚至將重要性(Stakes Value)和恢復力(Resilience)也視為脆弱性的組成部分[20]。在1967-2005間的2286份權威出版物中,脆弱性術語現(xiàn)身了939次[21],近年來脆弱性一詞更加熱門，但至今脆弱性的研究仍沒有重大突破，問題可能在于人們過分糾纏概念和結構，具體的模型和方法受主觀因素影響過重，加權處理[22]和層次分析法[23-24]比比皆是。事實上，一旦某個概念被過分拓展，其內核必被沖淡，許多工作就停留在了概念炒作上，不解決任何問題。

我們認為，脆弱性的核心是系統(tǒng)的易損性,研究重點是識別“風險源強度-承受體損傷程度”的關系，即脆弱性函數(shù)。這種函數(shù)不可能主觀給出，而是要進行大量因果關系的研究。特別地，須考慮風險源暴發(fā)時其直接作用于承受體的物理量(例如：地震加速度、洪水淹沒時間等)，亦及承受體當時的狀態(tài)等多種因素。

為規(guī)范本文的表述，我們給出脆弱性函數(shù)的定義。

定義8 設S是某種風險源，其暴發(fā)時以物理向量x作用于風險承受體O，產生向量v的損傷程度。設x和v的論域分別為U和V，則由O關于S的物理性質所決定的映射

f:U→V

x|→f(x),x∈U,f(x)∈V

(21)

稱為O關于S的脆弱性函數(shù)，記為v=f(x)。

對于給定的風險承受體，即使進行破壞性實驗，也不能從其自身找出脆弱性函數(shù)，因為一次損傷實驗后，承受體的性質就發(fā)生了變化。所以，脆弱性函數(shù)通常是對一類風險承受體而言。通常是用該類承受體以往被損傷和被擊毀過的資料，經(jīng)由統(tǒng)計回歸而生成。當統(tǒng)計資料過于離散時，脆弱性函數(shù)不再是一一映射，而是賦有權重的多值映射。例如，美國政府1991年發(fā)表的“未來地震損失估計”研究報告提及的建筑物破壞概率矩陣[25]，就是一種以概率為權重的多值映射。此方法引入國內處理相關資料得出的結果，被稱為震害矩陣[26]。當統(tǒng)計資料不多時，可用信息擴散方法來改進統(tǒng)計回歸。

3.2 用信息矩陣生成離散型脆弱性函數(shù)

信息矩陣方法，不僅可以在離散點上識別聯(lián)合概率分布，還可以在離散點上識別一般的函數(shù)關系。

傳統(tǒng)上，人們提及函數(shù)，主要是指某種解析的數(shù)學表達式，其定義域和值域均是在連續(xù)的空間中。隨著計算機性能的大幅提高，進行系統(tǒng)識別的大量離散算法得以實現(xiàn)。有一定間隔的點組成的論域稱為離散論域，這里的離散，英文表述為Discrete。統(tǒng)計學中所說的統(tǒng)計數(shù)據(jù)離散，則是另一概念，是指統(tǒng)計規(guī)律不明顯，比較分散，英文表述為Scatter。

不失一般性，我們討論一個輸入x和一個輸出y的函數(shù)識別問題。記此函數(shù)為y=f(x)，用給定樣本D={(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym)}進行識別。設這兩個分量的離散論域分別是U和V：

U={u1,u2,…,uJ},V=(v1,v2,…,vK)。

(22)

這里的離散點變量符號與式(14)中的完全一樣，但論域的名字并不一樣。式(14)與式(22)并無關系。由式(16)的二維正態(tài)擴散函數(shù)處理D，可以在卡氏積U×V上生成信息矩陣Q，如式(15)所示。

這里，生成信息矩陣的方法，與上節(jié)中估計條件概率密度用到生成信息矩陣的方法，完全一樣，但觀察給定樣本的視角不一樣。上一節(jié)中，由m個樣本點組成的給定樣本D，其兩個隨機變量被視為具有獨立的概率分布，使用D是估計聯(lián)合分布，我們用信息矩陣Q估計條件概率密度。本節(jié)中，仍然是由m個樣本點組成的給定樣本D，但兩個變量被視為具有因果關系，我們用信息矩陣Q識別這一關系(函數(shù))。為了在Q的表述上有所區(qū)別，估計條件概率密度用的Q是建立在卡氏積U1×U2上，識別因果關系的Q是建立在卡氏積U×V上，盡管為了書寫簡捷，我們將U2和V中的元素都記為了v1,v2, …,vK。

我們假定給定樣本D中的輸入x是風險源暴發(fā)時作用于風險承受體的物理量，y是產生的損傷程度。根據(jù)定義8，由Q識別出的因果關系，就是脆弱性函數(shù)。

式(15)是二維信息矩陣Q的通式，當其是由有因果關系的數(shù)據(jù)生成時，我們對其進行列向歸一化處理，轉化為因果型模糊關系矩陣，記為

(23)

(24)

(25)

3.3 用三維信息矩陣生成動態(tài)脆弱性函數(shù)

當風險承受體O受到動態(tài)因素C的影響而致脆弱性發(fā)生變化時，對因果關系的識別，需要用到三維信息矩陣。

設D={(y1,c1,z1),(y2,c2,z2),…,(ym,cm,zm)}是給定事件樣本。每個樣本點記錄了所研究種類的風險源S，在動態(tài)因素C的影響下，作用于承受體O后產生的后果。設y,c,z的離散論域分別為:

U={u1,u2,…,uJ},V={v1,v2,…,vK},

W={w1,w2,…,wL}。

(26)

使用D在U×V×W上識別出來的函數(shù)，是一個動態(tài)脆弱性函數(shù)。對這種因果關系的識別，需要用到圖1所示的三維信息矩陣。

圖1 三維信息矩陣示意圖

本文建議用式(27)來展開書寫三維信息矩陣。這是一種剖面式寫法，從動態(tài)因素C的不同值v1,v2,…,vK處剖切開，寫成K個獨立的二維信息矩陣，表達各動態(tài)因素值條件下，風險源S作用于承受體O后產生的后果。這K個二維信息矩陣的集合，放入集合符號{ }中，形成一個三維信息矩陣。

(27)

(28)

其中，擴散系數(shù)hy,hz和hc用式(10)進行計算。

?l∈{1,2,…,L}，令

(29)

(30)

則

(31)

這是風險承受體損傷程度之風險源O作用和動態(tài)因素C影響歸一化后的模糊關系矩陣。

同樣是根據(jù)模糊近似推理，當風險源產生致災力作用力uj于風險承受體，且承受體動態(tài)因素取值為ck時，由式(31)中的R可以得出產生的損傷程度是一個模糊集，如式(32)所示。

(32)

(33)

4 結論和討論

自然災害系統(tǒng)的復雜性與系統(tǒng)的動態(tài)性密切相關。隨著自然環(huán)境的變化和人類社會的發(fā)展，自然災害風險必有變化。變化的風險，稱為動態(tài)風險。人們通過捕捉到的信息和相關數(shù)學模型對動態(tài)風險的研究，描述的僅僅是認知動態(tài)風險，而非真實動態(tài)風險。

本文使用動態(tài)風險分析基本原理，將概率風險模型中的致災力概率密度函數(shù)拓展為條件概率密度函數(shù)，將脆弱性函數(shù)拓展為動態(tài)脆弱性函數(shù)，得到了一個形式化模型，用于分析自然災害動態(tài)風險。其風險內涵是災害程度的期望，隨著綜合環(huán)境和內在屬性的變化而變化。

動態(tài)風險分析所需要的聯(lián)合概率分布函數(shù)，更加難以假設出合適的數(shù)學解析形式；三維動態(tài)脆弱性函數(shù)，也不易假設出便于回歸學習的解析函數(shù)類型。用傳統(tǒng)方法估計聯(lián)合概率分布函數(shù)和動態(tài)脆弱性函數(shù)時，相比靜態(tài)風險分析只估計概率分布函數(shù)和脆弱性函數(shù)，都需要多一個數(shù)量級的樣本點，很難達到要求。在較少樣本點的情況下，本文建議采用正態(tài)信息擴散的方法，以離散而非解析的方式，近似地估計這兩個函數(shù)，為自然災害動態(tài)風險分析的形式化模型轉化為應用模型提供幫助。

在正態(tài)信息擴散模型中，不需要事先假定出兩個待識別函數(shù)的解析式子，也不需要靠經(jīng)驗選取離散點。分析過程透明，結果可解釋性強。以往的大量研究表明，當我們使用正態(tài)擴散方法處理給定的隨機樣本時，在不知樣本分布型式且樣本量又小的情況下，無論是估計概率分布，還是參數(shù)間的因果關系，正態(tài)擴散估計的誤差均較小。所以，用此模型估計出的條件概率密度函數(shù)和動態(tài)脆弱性函數(shù)均具有一定的可靠性。

動態(tài)風險分析的主要工作是“研究綜合環(huán)境和內在屬性變化對風險源和風險承受體的影響”。動態(tài)風險的研究，須結合高性能計算機中的離散計算，才有可能解決實際問題。對于高度復雜的，不確定性難以把握的，現(xiàn)實中的動態(tài)風險系統(tǒng)，尤其是信息不完備的系統(tǒng)，找一個解析式數(shù)學模型加以理想化描述并不難，難的是如何滿足理想模型苛刻的條件，使得選用的模型多少有些效果。在自然災害風險分析中，能寫出解析式的理想模型，無論是非線性回歸還是眼下流行的Copula模型[28]，看起來都很美，但現(xiàn)實很殘酷，模型算出結果的可靠性大多經(jīng)不住深究。

由于篇幅所限，作者將另文虛擬一個臺風災害動態(tài)風險分析案例，演示如何應用本文建議的形式化模型。該虛擬案例是在對2000-2006年影響浙江的20個臺風和經(jīng)濟損失數(shù)據(jù)進行分析的基礎上，通過合理的假設，用計算機程序創(chuàng)造出來的。

防范于未然是現(xiàn)代防災減災的理念。防范于變化中的未然，則是更合理的防災減災理念。

世界多元化，風險更多變。一勞永逸式的風險評估受到了挑戰(zhàn)。借助互聯(lián)網(wǎng)強大的信息更新能力，跟蹤風險變化、把握動態(tài)風險，將逐漸成為可能。

[1]RennO.Emergingrisks:methodology,classificationandpolicyimplications[J].JournalofRiskAnalysisandCrisisResponse. 2014, 4(3): 114-132.

[2]HuangCF.Experimentalriskology:anewdisciplineforriskanalysis[J].HuangHumanandEcologicalRiskAssessment. 2013, 19(2): 389-399.

[3]HolzmannH.Martingaleapproximationsforcontinuous-timeanddiscrete-timestationaryMarkovprocesses[J].StochasticProcessesandTheirApplications. 2005, 115(9):1518-1529.

[4]U.S.ClimateChangeScienceProgramandtheSubcommitteeonGlobalChangeResearch.WeatherandClimateExtremesinaChangingClimate.RegionsofFocus:NorthAmerica,Hawaii,Caribbean,andU.S.PacificIslands[R].Washington,DC:UNTDigitalLibrary, 2008.http://digital.library.unt.edu/ark:/67531/metadc12026/.AccessedDecember9, 2013.

[5] 孫殿閣，孫佳，王淼，等. 基于Bow-Tie技術的民用機場安全風險分析應用研究[J]. 中國安全生產科學技術，2010，6(4): 85-98.

[6]HuangCF,RuanD.Fuzzyrisksandanupdatingalgorithmwithnewobservations[J].RiskAnalysis, 2008, 28(3): 681-694.

[7]GobleR,BierVM. 2013.Riskassessmentcanbeagame-changinginformationtechnology—buttoooftenitisn’t[J].RiskAnalysis, 2013, 33(11): 1942-1951.

[8] 龐西磊. 自然災害動態(tài)風險分析基本模式的探討及其應用研究[D]. 北京: 北京師范大學, 2012.

[10]BerendR,SchumacherJM.TimeconsistencyconditionsforacceptabilitymeasureswithanapplicationtoTailValueatRisk[J].InsuranceMathematicsandEconomics，2007，40(2): 209-230.

[12]BlaikieP,CannonT,DavisI,Wisner,B.AtRisk:NaturalHazards,People’sVulnerability,andDisasters[M].London:Routledge, 1994.

[13]黃崇福. 自然災害動態(tài)風險分析基本原理的探討[J]. 災害學, 2015, 30(2):1-10.

[14]黃崇福. 綜合風險評估的一個基本模式[J]. 應用基礎與工程科學學報，2008, 16(3): 371-381.

[15]BillingsleyP.ProbabilityandMeasure[M].NewYork:Wiley, 1979.

[16]黃崇福. 地震震害面積估計[D]. 哈爾濱：國家地震局工程力學研究所，1985.

[17]黃崇福. 信息擴散原理與計算思維及其在地震工程中的應用[D].北京：北京師范大學，1992.

[18]黃崇福. 自然災害風險分析與管理[M]. 北京：科學出版社，2012.

[19]HuangCF,ShiY.TowardsEfficientFuzzyInformationProcessing——UsingthePrincipleofInformationDiffusion[M].Heidelberg:Physica-Verlag(Springer), 2002.

[20]DeckO.,VerdelT.andSalmonR.Vulnerabilityassessmentofminingsubsidencehazards[J].RiskAnalysis, 2009, 29(10): 1381-1394.

[21]JanssenMA,SchoonML,KeW.andB?rnerK.Scholarlynetworksonresilience,vulnerabilityandadaptationwithinthehumandimensionsofglobalenvironmentalchange[J].GlobalEnvironmentalChange, 2006, 16 (3): 240-252.

[22]杜曉燕，黃歲樑. 天津地區(qū)農業(yè)旱災脆弱性綜合評價及區(qū)劃研究[J]. 自然災害學報, 2010, 19(5):138-145.

[23]孫蕾. 沿海城市自然災害脆弱性評價研究[D]. 上海：華東師范大學，2007.

[24]楊洋. 遼寧省沿海城市自然災害脆弱性評價研究[D]. 大連：遼寧師范大學, 2011.

[25]RojahnC,SharpeRL.ATC-13:EarthquakeDamageEvaluationDataforCalifornia[R].RedwoodCity,California:AppliedTechnologyCouncil, 1985.

[26]尹之潛. 地震災害損失預測研究[J]. 地震工程與工程振動, 1991,11(4): 87-96.

[27]黃崇福. 自然災害風險分析的信息矩陣方法[J]. 自然災害學報，2006, 15(1): 1-10.

[28]NelsonRB.AnIntroductiontoCopulas[M].NewYork:Springer, 2006.

AFormalModelforDynamicRiskAnalysisinNaturalDisasters

Huang Chongfu1, 2, 3

(1.StateKeyLaboratoryofEarthSurfaceProcessesandResourceEcology,BeijingNormalUniversity,Beijing100875,China; 2.KeyLaboratoryofEnvironmentalChangeandNaturalDisaster,MinistryofEducationofChina,BeijingNormalUniversity,Beijing100875,China; 3.AcademyofDisasterReductionandEmergencyManagement,MinistryofCivilAffairs&MinistryofEducation,Beijing100875,China)

Accordingtothebasicprincipleofdynamicriskanalysisinnaturaldisasters,basedonthemodelforprobabilityrisk,thisarticledevelopsaformalmodeltoanalyzedynamicriskinnaturaldisasters.Therisk,couplingoftheconditionalprobabilitydensityfunctionandthedynamicvulnerabilityfunctiontogether,iswiththechangeofintegratedenvironmentalandintrinsicpropertiesvary.Wesuggestthattheprobabilitydensityfunctionandthedynamicvulnerabilityfunctionwouldbeestimatedbyusingnormalinformationdiffusionmethod.Theestimatesofthetwoimportantfunctionsdonotrelyonanyassumptions.Theanalysisprocessistransparent.Theresultcanbeinterpretive,andhascertainreliability.

dynamicrisk;naturaldisaster;densityfunction;vulnerabilityfunction;informationdiffusion

2015-01-20

2015-02-15

國家重大科學研究計劃“全球變化與環(huán)境風險演變過程與綜合評估模型”(2012CB955402)

黃崇福(1958-)，男，云南個舊人，博士，教授，博士生導師，中心主任，研究方向為自然災害風險分析. E-mail: hchongfu@bnu.edu.cn

X43

A

1000-811X(2015)03-0001-09

10.3969/j.issn.1000-811X.2015.03.001

黃崇福. 自然災害動態(tài)風險分析的一個形式化模型[J].災害學, 2015,30(3):001-009. [Huang Chongfu. A Formal Model for Dynamic Risk Analysis in Natural Disasters [J].Journal of Catastrophology, 2015,30(3)：001-009.]