帶梯度項奇異拋物方程解的存在性及漸近行為*

夏 莉， 李敬娜, 王 玲， 張園園

(1.廣東財經(jīng)大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院，廣東 廣州 510320；2.暨南大學 信息科學技術(shù)學院 數(shù)學系, 廣東 廣州 510632；3.廣東水利電力職業(yè)技術(shù)學院 數(shù)學部, 廣東 廣州 510635;4.西南財經(jīng)大學 證券與期貨學院，四川 成都 611130)

帶梯度項奇異拋物方程解的存在性及漸近行為*

夏 莉1， 李敬娜2, 王 玲3， 張園園4*

(1.廣東財經(jīng)大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院，廣東 廣州 510320；2.暨南大學 信息科學技術(shù)學院 數(shù)學系, 廣東 廣州 510632；3.廣東水利電力職業(yè)技術(shù)學院 數(shù)學部, 廣東 廣州 510635;4.西南財經(jīng)大學 證券與期貨學院，四川 成都 611130)

利用拋物正則化方法及上下解方法、Fatou引理等，研究了一類帶梯度項奇異拋物方程非負古典解，得到了該解的存在性及相應的漸近行為.

梯度項；奇異性; 存在性; 漸近行為

考慮下面一類拋物方程：

(1)

滿足如下初邊值條件:

(2)

w(x,0)=ψ(x),x∈Ω,

(3)

這里ΩT=Ω×(0,T],Ω?RN(N≥2)是一個具有光滑邊界?Ω的有界區(qū)域，T,λ,l,m均為正數(shù).

問題 (1)～(3) 近年來得到了很多關(guān)注. 當l=2,m=1時, 該問題古典解及弱解的存在性、唯一性，解的漸近行為獲得了證明，參見文獻[1，2]. 當l=2, 1≤m<2時, 周文書及雷沛東[3]證明了問題(1)～(3)在一維空間中多個弱解的存在性. 當l=2,m>0時, 文獻[4]研究了上述問題的弱解在t→∞時的漸近行為. 2014年，I.D.Bonis及D.Giachetti[5]還證明了l=2, 0

(H3)m>0,m+1≤l≤2或m

引理1[2]在假設條件(H1)(H2)下, 下面的初邊值問題

wt-Δw=g(x,t), (x,t)∈ΩT,

(4)

w(x,0)=ψ(x),x∈Ω,

本文主要結(jié)果如下:

(5)

這里C0,β是兩個確定的正數(shù),w0是引理1中初邊值問題的唯一古典解. 而且, 當λ→∞時,

(6)

特別當2m≤l≤2時, 令λ→0, 則

(7)

下面我們證明定理1.

由于方程(1)在w(x,t)=0具有奇異性, 先將其正則化為:

(8)

將上述不等式中不等號反向, 可得古典下解的定義.

(9)

這里β≥1均是待定的正數(shù), 且β的選取與l,m的取值有關(guān).

證明 由比較原理(可參考文獻[6]中Theorem9.1)知, 只需證明

(10)

上面第一個不等式由(4)及λ>0易證. 下面證明第二個不等式. 選取β≥1, 簡單計算及適當放縮后可得

則(10)式成立.

現(xiàn)在給出wε的一致有界性估計.

這里M不依賴于ε.

證明 由引理2及與文獻[2]中Lemma2.3類似的方法易證得上述結(jié)論.

最后證明(5)～(7). 首先證明如下幾個引理.

引理4 下式成立:

這里C不依賴于λ.

證明 對方程(8)兩邊同乘以wεk(k≥0), 并在ΩT上積分可得:

(11)

(12)

這里C不依賴于λ. 在(12)中取k=m即得引理4的結(jié)論.

引理5 當2m≤l≤2時, 下式成立:

這里C不依賴于λ.

證明 由(4)式及(8)式可得:

最后, 由(9)及上述兩個引理易得(5)～(7), 定理1證畢.

[1] XIA L, LIU Q, YAO Z A.Existence of the maximal weak solution for a class of singular parabolic equations [J]. J Math Anal Appl, 2012, 387: 439-446.

[2] XIA L, YAO Z A.Existence, uniqueness and asymptotic behavior of solutions for a singular parabolic equation[J]. J Math Anal Appl, 2009, 358: 182-188.

[3] ZHOUW S, LEI P D. A one-dimensional nonlinear heat equation with a singular term[J]. J Math Anal Appl, 2010, 368: 711-726.

[4] MARTíNEZ-APARICIO P J, PETITTA F. Parabolic equations with nonlinear singularities[J]. Nonlinear Analysis, 2011, 74: 114-131.

[5] BONIS I D , GIACHTTI D.Singular parabolic problems with possibly changing sign data[J]. Discrete and Continuous Dynamical Systems, Series B, 2014, 19: 2 047-2 064.

[6] LAADYZENSKAJA O A, URALCEVA N N. Linear and quasilinear elliptic equations[M].New York: Academic Press, 1968:449-475.

[7] LIEBERMAN G M. Second order parabolic differential equations[M].Beijing: World Scientific Publishing Co Pte Ltd, 2003:200-213.

責任編輯：龍順潮

Existence and Asymptotic Behavior of Solutions for Some Singular Parabolic Equation with Gradient Term

XIALi1,LIJing-na2,WANGLing3，ZHANGYuan-yuan4*

(1.College of Mathematics and Statistics, Guangdong University of Finance and Economics, Guangzhou 510320；2. Department of Mathematics,College of Information Science and Technology Jinan University, Guangzhou 510632；3. Department of Mathematics, Guangdong Technical College of Water Resources and Electric Engineering, Guangzhou 510635；4. School of Securltiesand Futures,South Western University of Finance and Economics,Chengdu 611130 China)

Using parabolic regularization method, sub-super solution method and Fatou Lemma etc., we discuss nonnegative classical solutions of some singular parabolic equation with gradient term, existence and asymptotic behavior of the solutions are obtained.

gradient term; singularity; existence; asymptotic behavior

2014-11-21

國家自然科學基金項目(11201311, 11201181)；四川省教育廳一般項目(15ZB0473)

張園園(1986— )，女，重慶人，博士，副教授.E-mail:yyzhang@swufe.edu.cn

O 175

A

1000-5900(2015)02-0016-04