基于Newmark-β法的魚雷推進(jìn)軸系動(dòng)力響應(yīng)分析

趙 琪，尹韶平，王 中，郭 君

(1．中國(guó)船舶重工集團(tuán)公司第705所,西安 710075；2.水下信息與控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710075)

基于Newmark-β法的魚雷推進(jìn)軸系動(dòng)力響應(yīng)分析

趙 琪1，2，尹韶平1，2，王 中1，2，郭 君1

(1．中國(guó)船舶重工集團(tuán)公司第705所,西安 710075；2.水下信息與控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710075)

針對(duì)軸系在不同激勵(lì)條件下的動(dòng)力響應(yīng)問題，基于Newmark-β法，運(yùn)用MATLAB軟件編程，實(shí)現(xiàn)對(duì)魚雷推進(jìn)軸系的動(dòng)力響應(yīng)分析，通過與ANSYS軟件計(jì)算結(jié)果的對(duì)比，驗(yàn)證所建模型和MATLAB計(jì)算程序的合理性；同時(shí)得出推進(jìn)軸系的動(dòng)力響應(yīng)與激勵(lì)條件的線性變化關(guān)系。

魚雷推進(jìn)軸系;動(dòng)力響應(yīng);Newmark-β法

當(dāng)軸系受到動(dòng)載荷的作用時(shí)會(huì)產(chǎn)生振動(dòng)，引起軸系局部疲勞，甚至使軸系破壞，因此必須進(jìn)行動(dòng)力分析。應(yīng)用有限元理論對(duì)軸系進(jìn)行動(dòng)力分析，一般分為振動(dòng)特性分析和動(dòng)力響應(yīng)分析兩種。軸系的振動(dòng)特性反映軸系的固有特性，是研究動(dòng)力問題的基礎(chǔ)，一般包括頻率和振型的計(jì)算。動(dòng)力響應(yīng)分析是指軸系在外力作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)，主要求解軸系的位移、速度、加速度等物理量隨時(shí)間的變化情況[1]。

文獻(xiàn)[2]應(yīng)用MATLAB軟件建立了魚雷推進(jìn)軸系的理論模型，對(duì)模型進(jìn)行了振動(dòng)特性分析，并通過與ANSYS軟件計(jì)算結(jié)果的對(duì)比，驗(yàn)證了所建模型的合理性。在此基礎(chǔ)上文中采用Newmark-β法對(duì)魚雷推進(jìn)軸系進(jìn)行動(dòng)力響應(yīng)分析，一方面通過與ANSYS計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，對(duì)模型進(jìn)一步驗(yàn)證；另一方通過分析魚雷推進(jìn)軸系的動(dòng)力響應(yīng)與輸入?yún)?shù)的變化關(guān)系，對(duì)軸系設(shè)計(jì)提出要求。

1 魚雷推進(jìn)軸系理論模型

魚雷推進(jìn)軸系結(jié)構(gòu)見圖1。

圖1 魚雷推進(jìn)軸系結(jié)構(gòu)

動(dòng)力裝置與花鍵軸之間、花鍵軸與尾軸之間通過花鍵相連，推進(jìn)器轉(zhuǎn)子安裝在尾軸上。花鍵軸及尾軸主要用于將動(dòng)力裝置的輸出功率傳遞給推進(jìn)器，而推進(jìn)器工作時(shí)產(chǎn)生的推力通過推力軸承傳遞至雷尾殼體，推動(dòng)魚雷航行。在花鍵軸與尾軸相連的一端設(shè)有彈性花鍵套，將剛性連接轉(zhuǎn)換為柔性連接。尾軸的支撐是靠隔板的滾珠軸承和尾蓋處的滑動(dòng)軸承，在滾珠軸承及滑動(dòng)軸承外側(cè)都安裝了金屬橡膠隔振器。

按照轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)分析的有限元方法，建立魚雷推進(jìn)軸系的理論模型，見圖2。

圖2 魚雷推進(jìn)軸系理論模型

將魚雷推進(jìn)軸(花鍵軸和尾軸)的質(zhì)量、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量離散化到結(jié)點(diǎn)上；聯(lián)軸器利用等效軸段法進(jìn)行處理；用剛度阻尼系數(shù)矩陣模擬軸承與隔振系統(tǒng)；軸系支撐結(jié)構(gòu)通過等效剛度與等效質(zhì)量單元代替。從左至右共劃分22個(gè)結(jié)點(diǎn)，取軸段變截面處及支撐點(diǎn)位置。結(jié)點(diǎn)1為花鍵軸前端；結(jié)點(diǎn)8、9、10為彈性花鍵套簡(jiǎn)化位置；結(jié)點(diǎn)11、19為尾軸支撐位置。

基于此模型，建立系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程[3]。

(1)

式中：M、G、K分別為系統(tǒng)整體質(zhì)量矩陣、回轉(zhuǎn)矩陣和剛度矩陣，由組成系統(tǒng)的各單元矩陣按照對(duì)應(yīng)結(jié)點(diǎn)疊加而成[4]；Q為干擾力即激振力向量；U為結(jié)點(diǎn)位移列陣。

其中：回轉(zhuǎn)矩陣G為轉(zhuǎn)速Ω與整體極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣J的乘積，即G=ΩJ。

整體質(zhì)量矩陣、回轉(zhuǎn)矩陣和剛度矩陣，在不同的振動(dòng)形式下會(huì)有所不同[5-6]。文獻(xiàn)[2]按照軸系在縱向、扭轉(zhuǎn)、彎曲耦合振動(dòng)狀態(tài)(即單元結(jié)點(diǎn)為六自由度)下，確定了各自的矩陣形式。文中將利用所建模型，基于Newmark-β法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)力響應(yīng)分析，即研究魚雷推進(jìn)軸系軸系在不同激振情況下的振動(dòng)特性。

2 Newmark-β法

2.1 Newmark-β算法機(jī)理

求解結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)問題，常用的方法有振型疊加法和逐步積分法。振型疊加法是利用結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)振型互相正交的特性，將結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程化成各廣義坐標(biāo)的非耦合方程，然后進(jìn)行求解[7]。振型疊加法適用于像地震等只激發(fā)起較少振型，所需計(jì)算的響應(yīng)歷程較長(zhǎng)這類問題。逐步積分法包括傳統(tǒng)的中心差分方法、Wilson-θ法、Newmark-β法等。逐步積分法對(duì)于線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)都適用，而且在MATLAB程序上更容易實(shí)現(xiàn)，所以文中采用Newmark-β逐步積分法計(jì)算結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)。

(2)

Newmark-β法假設(shè)t+Δt時(shí)刻的速度和位移存在如下關(guān)系式：

(3)

(4)

式中:0≤γ≤10≤2β≤1。

參數(shù)γ和β的選擇對(duì)算法影響很大。算法穩(wěn)定性分析指出，當(dāng)γ≥0.5，β≥(1/2+γ)2/4時(shí),Newmark-β法無條件穩(wěn)定，這時(shí)可以只根據(jù)精度的要求選擇時(shí)間步長(zhǎng)Δt。

利用Newmark-β法進(jìn)行計(jì)算，即可得到單元結(jié)點(diǎn)的動(dòng)力響應(yīng)，包括位移、速度和加速度值。

2.2 時(shí)間步長(zhǎng)的選擇

時(shí)間步長(zhǎng)Δt的選擇體現(xiàn)了算法的精度要求[8]。Δt應(yīng)能夠根據(jù)所輸入的狀態(tài)自動(dòng)進(jìn)行調(diào)整。假設(shè)激勵(lì)頻率為f(Hz)，則時(shí)間步長(zhǎng)可設(shè)置為Δt=1/nf(n=1,2,…) ，總時(shí)間可設(shè)置為tend=m/f(m=1,2,…)。其中：n值的意義是在每個(gè)周期內(nèi)選取進(jìn)行模擬的點(diǎn)數(shù)，即n值越大，計(jì)算精度越高，但同時(shí)計(jì)算量也會(huì)增大，延長(zhǎng)計(jì)算時(shí)間，所以要根據(jù)實(shí)際需要進(jìn)行選取。

這種簡(jiǎn)便的動(dòng)態(tài)時(shí)間步長(zhǎng)，可根據(jù)所輸入的狀態(tài)自動(dòng)進(jìn)行調(diào)整，在編程和計(jì)算中更加簡(jiǎn)便和靈活。

3 軸系的動(dòng)力響應(yīng)分析

結(jié)合魚雷推進(jìn)軸系的實(shí)際運(yùn)轉(zhuǎn)情況，具體分析其在3種不同激勵(lì)下的位移響應(yīng)。

1)軸系動(dòng)平衡狀態(tài)。模擬軸系由于加工等原因造成的質(zhì)量分布不均而產(chǎn)生的激勵(lì)力。

2)花鍵聯(lián)軸器不對(duì)中狀態(tài)。將花鍵軸簡(jiǎn)化為動(dòng)力裝置與尾軸之間的聯(lián)軸器。由于制造精度或安裝誤差等原因，使得花鍵軸與尾軸軸線不重合，產(chǎn)生不對(duì)中嚙合力，對(duì)軸系振動(dòng)特性產(chǎn)生影響。

3)強(qiáng)迫位移響應(yīng)。模擬動(dòng)力裝置的跳動(dòng)量對(duì)推進(jìn)軸系的激勵(lì)。

3.1 動(dòng)平衡響應(yīng)分析

魚雷花鍵軸和尾軸由于原材料質(zhì)量分布不均或加工精度等原因，會(huì)產(chǎn)生一定的偏心，這對(duì)推進(jìn)軸系的振動(dòng)特性會(huì)產(chǎn)生較大影響。這種動(dòng)平衡狀態(tài)在理論模型中可用結(jié)點(diǎn)處圓盤的偏心質(zhì)量來表示，見圖3。圓盤的重心c與轉(zhuǎn)軸的中心o′不重合。

圖3 圓盤的偏心

當(dāng)圓盤以角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，重心c的加速度在坐標(biāo)軸上的投影為

(5)

式中：e——圓盤的偏心距，e=o′c。

在轉(zhuǎn)軸的彈性力F作用下，由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，有

(6)

帶入式(5)得軸心o′的運(yùn)動(dòng)微分方程

(7)

這為由軸系偏心質(zhì)量引起的強(qiáng)迫振動(dòng)的微分方程。

假設(shè)偏心質(zhì)量為m0，相位角φ0，則由于偏心質(zhì)量即不平衡質(zhì)量引起的激振力表達(dá)式為

(8)

將激勵(lì)力帶入系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程，即可求解結(jié)點(diǎn)處位移響應(yīng)。具體計(jì)算結(jié)果如下。

選取靠近花鍵軸中部(結(jié)點(diǎn)5)、靠近尾軸中部(結(jié)點(diǎn)14)在變轉(zhuǎn)速(0～500Hz)下的位移分析曲線。圖4a)為MATLAB計(jì)算結(jié)果，圖4b)為ANSYS計(jì)算結(jié)果。

圖4 動(dòng)平衡響應(yīng)

由圖4可見，MATLAB曲線峰值對(duì)應(yīng)的頻率點(diǎn)較ANSYS偏大，但總體趨勢(shì)較為接近。

動(dòng)平衡響應(yīng)可控因素有不平衡質(zhì)量和偏心距，下面分析位移響應(yīng)與這兩種因素的變化關(guān)系。見圖5。

圖5 位移響應(yīng)

由圖5a)可見，結(jié)點(diǎn)處位移響應(yīng)隨不平衡質(zhì)量的增大而線性增大。

由圖b)可見，結(jié)點(diǎn)處位移響應(yīng)隨偏心距的增大而線性增大。

3.2 不對(duì)中響應(yīng)分析

將花鍵軸簡(jiǎn)化為動(dòng)力裝置與尾軸之間的聯(lián)軸器，聯(lián)軸器的平行不對(duì)中見圖6。

圖6 花鍵聯(lián)軸器的平行不對(duì)中

圖7 不對(duì)中狀態(tài)的花鍵嚙合情況

由于花鍵的不對(duì)中，會(huì)使得各花鍵在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中產(chǎn)生變形，影響嚙合剛度。在聯(lián)軸器傳遞轉(zhuǎn)矩的過程中，由于扭轉(zhuǎn)以及兩個(gè)半聯(lián)軸器的動(dòng)態(tài)振動(dòng)位移，都會(huì)產(chǎn)生嚙合力，這都會(huì)對(duì)魚雷推進(jìn)軸系的振動(dòng)特性產(chǎn)生影響。

此時(shí)，聯(lián)軸器不對(duì)中嚙合力fx、fy為

(9)

Fx、Fy及φ的具體推導(dǎo)過程參考文獻(xiàn)[9]。

對(duì)于花鍵聯(lián)軸器，當(dāng)聯(lián)軸器存在不對(duì)中時(shí)，軸套會(huì)產(chǎn)生偏心，在系統(tǒng)運(yùn)行過程中，產(chǎn)生不平衡激勵(lì)，且該激勵(lì)的頻率為轉(zhuǎn)速頻率的2倍，軸套偏心激勵(lì)表達(dá)式如下。

(10)

式中：2m——花鍵軸的質(zhì)量。

因此，花鍵聯(lián)軸器不對(duì)中狀態(tài)下的廣義力應(yīng)包括不對(duì)中嚙合力和軸套的不平衡激勵(lì)力。

花鍵聯(lián)軸器不對(duì)中嚙合力與靜態(tài)不對(duì)中量和動(dòng)態(tài)不對(duì)中量有關(guān)。假設(shè)無動(dòng)態(tài)位移，則不對(duì)中嚙合力隨靜態(tài)位移的變化關(guān)系見圖8。

圖8 嚙合力隨靜態(tài)位移的變化

由圖8可見，嚙合力隨靜態(tài)位移的增大呈線性增加。

聯(lián)軸器動(dòng)態(tài)不對(duì)中量可控制程度較小，所以可分析位移響應(yīng)與靜態(tài)不對(duì)中量之間的變化關(guān)系，見圖9。

圖9 位移響應(yīng)與靜態(tài)不對(duì)中量的變化關(guān)系

圖9中靜態(tài)不對(duì)中量e0在0～2.5 mm之間的變化。由圖9可見，不對(duì)中位移響應(yīng)隨靜態(tài)位移的增大而線性增大。

3.3 強(qiáng)迫位移響應(yīng)分析

與魚雷尾艙段相連的動(dòng)力艙段中，對(duì)動(dòng)力裝置采取了整機(jī)隔振的措施，使得動(dòng)力裝置產(chǎn)生了較大的跳動(dòng)量。這種跳動(dòng)給推進(jìn)軸系的振動(dòng)特性帶來較大的影響，它的作用可以利用強(qiáng)迫位移模型進(jìn)行分析。

假設(shè)強(qiáng)迫位移幅值為A，則在x、y方向位移可寫為

(11)

由位移表達(dá)式可得x、y方向上的加速度，所以由強(qiáng)迫位移引起的激勵(lì)力為

(12)

將激勵(lì)力帶入系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程，即可求解結(jié)點(diǎn)處位移響應(yīng)。具體計(jì)算結(jié)果如下。

選取靠近花鍵軸中部(結(jié)點(diǎn)5)、靠近尾軸中部(結(jié)點(diǎn)14)，在變轉(zhuǎn)速(0～500 Hz)下的位移分析曲線。MATLAB計(jì)算結(jié)果見圖10，ANSYS計(jì)算結(jié)果見圖11。

圖10 強(qiáng)迫位移響應(yīng)MATLAB計(jì)算結(jié)果

圖11 強(qiáng)迫位移響應(yīng)ANSYS計(jì)算結(jié)果

由圖10和圖11可見，兩者曲線較為接近，且峰值對(duì)應(yīng)的頻率點(diǎn)也基本相同。

軸系位移響應(yīng)隨動(dòng)力裝置跳動(dòng)量的變化情況見圖12。

圖12 位移響應(yīng)與強(qiáng)迫位移的變化關(guān)系

由圖12可見，強(qiáng)迫位移幅值A(chǔ)在0～5 mm之間變化，結(jié)點(diǎn)處的位移響應(yīng)與強(qiáng)迫位移的變化是線性變化的，并且，越靠近激勵(lì)點(diǎn)，其位移響應(yīng)越大，且變化較為明顯。為了控制軸系的強(qiáng)迫位移響應(yīng)，可對(duì)動(dòng)力裝置的跳動(dòng)量提出具體的要求。

4 結(jié)論

文中利用所建魚雷推進(jìn)軸系理論模型，基于Newmark-β法對(duì)其進(jìn)行動(dòng)力響應(yīng)分析，通過與ANSYS軟件計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，進(jìn)一步驗(yàn)證了模型的正確性。基于此模型，可以對(duì)軸系其它振動(dòng)特性進(jìn)行分析，也可對(duì)模型的參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化處理，對(duì)軸系初始設(shè)計(jì)提出指導(dǎo)意見。

此外，通過分析軸系激勵(lì)可控參數(shù)可以看出，軸系結(jié)點(diǎn)的位移響應(yīng)與不平衡質(zhì)量、偏心距、聯(lián)軸器靜態(tài)不對(duì)中量、強(qiáng)迫位移量等可控參數(shù)之間，呈現(xiàn)出線性變化關(guān)系。根據(jù)這種線性變化關(guān)系，一方面可針對(duì)軸系結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)合理的減振降噪裝置；另一方面在軸系的初始設(shè)計(jì)階段，可對(duì)聯(lián)軸器靜態(tài)不對(duì)中量、動(dòng)力裝置的跳動(dòng)量等提出合理的設(shè)計(jì)要求。

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Analysis of Dynamic Response for the Torpedo Propulsion-shaftSystem Based on Newmark-β Method

ZHAO Qi1,2, YIN Shao-ping1,2, WANG Zhong1,2, GUO Jun1

(1 The 705 Research Institute, China Shipbuilding Industry Corporation, Xi′an 710075, China;2 Science and Technology on Underwater Information and Control Laboratory, Xi′an,710075, China)

In order to study dynamic response of the shafting based on multiple-excitation, the MATLAB program is used to achieve the response analysis of torpedo propulsion shafting on the basis of Newmark-β method. By comparing the results with that of ANSYS, the reasonableness of the model and the MATLAB program is verified. The linear relationship between analysis of dynamic response and input conditions is also given.

Newmark-β; torpedo propulsion-shafting; dynamic response

10.3963/j.issn.1671-7953.2015.01.030

2014-09-11

國(guó)家部委重大專項(xiàng)

趙 琪(1989-)，男，碩士生

U661.31

A

1671-7953(2015)01-0117-05

修回日期：2014-09-25

研究方向:魚雷總體技術(shù)

E-mail:qz_zhao@163.com