高中數(shù)學概念教學中例題設計的問題和解決策略

【摘 要】數(shù)學概念是數(shù)學思維的基本形式，是數(shù)學基本技能形成與提高的必要基礎(chǔ)，作為高中數(shù)學教學中不可或缺的一個環(huán)節(jié)，概念教學關(guān)系到學生能否弄清相關(guān)的數(shù)學知識，正確理解并熟練運用數(shù)學知識解決實際問題。在實際教學中，概念教學對例題引入的局限性使其價值沒有充分發(fā)揮出來。對此，本文主要對概念教學中例題設計的注意點和解決策略進行分析。

【關(guān)鍵詞】概念教學 例題設計 策略

【中圖分類號】G632 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-4810（2015）35-0065-03

數(shù)學概念是數(shù)學思維的基本形式，是數(shù)學基本技能形成與提高的必要基礎(chǔ)，數(shù)學概念具有高度抽象性和概括性的特點，其常常將某一規(guī)律、定理以精練而準確的語言濃縮在較短的篇幅中。從學生的接受能力來看，數(shù)學概念的學習顯得枯燥乏味，單一、膚淺的教學方式往往將學生拒于數(shù)學課堂的大門之外，因此概念教學在高中數(shù)學教學中的地位非常重要，不少教師也非常重視數(shù)學概念的教學，并且有自己獨到的見解和體會。筆者在教學過程中發(fā)現(xiàn)，目前概念教學最大的問題并不是如何引入概念、如何剖析概念、如何應用概念，而是有不少的教師在概念的引入、剖析、應用的時候并沒有恰當選擇合適的例題，忽視例題對概念教學的重要性，甚至有的教師完全忽視了例題，只是思考如何有趣地給學生講解概念，這樣的教學方式不可能幫助學生深入理解概念，只能事倍功半。為此，筆者圍繞概念教學中的例題設計這一環(huán)節(jié)談談自己的理解和思考。

一 概念教學中例題設計存在的問題

1.舍本逐末，不利教學

筆者在研究高中數(shù)學概念教學現(xiàn)狀的時候，發(fā)現(xiàn)很多教師對教材的態(tài)度是不夠重視，認為教材上的內(nèi)容過于死板且陳舊，根本不能適應當前的教學環(huán)境和滿足教學需求。因此，往往選擇教材以外的素材設計情境，但既然要求學生課前閱讀教材，不如直接運用教材中已有的情境引入教學，無須挖空心思地另砌爐灶，這樣也有利于正確引導學生閱讀教材的習慣，并且通過教師對教材內(nèi)容的深挖，使學生對教材內(nèi)容能進一步理解和加深印象。

例如，某位教師在教學組合一課時，沒用書本上的例題，而是出示這樣的例題：“從本班52名同學中任意抽出5名參加學校組織的義務勞動，一共有多少種不同的結(jié)果？其中有3名同學表現(xiàn)積極想?yún)⒓樱瑔査麄兦∏杀怀橹械目赡苄杂卸嗌?？”這個例題沒有什么不好，但由于這兩個問題難度較大，且跨度也大，并不適合做概念講解的例題。

2.熱衷多樣變式，忽視概念的本質(zhì)

為了提高學生靈活運用知識的能力，很多教師在教學中都喜歡變式，通過適當改變母題的條件或形式，使學生在解題過程中加深對概念的理解，對概念最終能有一個更加全面的認識，而變式的正確運用可以幫助學生對概念有全面的、準確的了解和認識，鍛煉學生的綜合思維能力。然而，在實際教學中有不少教師卻過分熱衷于變式，他們把大量的精力放在設計變式的形式上，忽視了設計變式的目的在于突出概念的本質(zhì)。

例如，筆者在教學觀摩會上看到一位教師在課堂上對同一概念設置了多題變式。原題是：“在同一平面上共有8個點，任取三點請問最多可以連成多少個三角形？”該教師圍繞這一題目設置了如下的變式：

變式一：某圓上有8個互不重合的點，任取四點可以連出多少個四邊形？

變式二：某球面上有8個互不重合的點，任取四點可以組成多少個三棱錐？

該教師是希望通過變式使學生明白：點點組合與元素之間的順序無關(guān)，關(guān)鍵在于找出所有可能。但是這三道題并不能突出“從N個元素中抽取a個元素的組合的本質(zhì)就是求集合N的a元子集的個數(shù)”這一概念的本質(zhì)，因此學生每次做題都需要重新理解題目的意思，沒有真正掌握題目考查的本質(zhì)意圖。

3.注重解題技巧，輕視理解概念的內(nèi)涵

在解題過程中如果掌握相應的技巧，可以幫助學生節(jié)省解題時間，好的例題不僅可以幫助學生理解知識、運用知識，而且可以讓學生掌握相關(guān)的解題技巧。然而，筆者發(fā)現(xiàn)有部分高中數(shù)學教師對傳授解題技巧太過注重，反而忽視了對數(shù)學知識和數(shù)學思想的傳授。有的教師在概念講解時所選取的例題難度十分大，甚至需要運用多個解題技巧才能完成，這樣的題目顯然不能幫助學生理解概念的內(nèi)涵。

例如，有的教師在教學直線與方程有關(guān)直線的斜率和方程一課時設計了如下的例題：已知某條直線的斜率為k，其傾斜角度為α（-1

變式：已知某條直線方程式為y=xsinα-1，求該直線傾斜角α的取值范圍?？梢钥吹?，這個例題和變式都超出了基礎(chǔ)知識理解的范圍，且聯(lián)系教材后發(fā)現(xiàn)教材上這一節(jié)的內(nèi)容主要是讓學生掌握直線坐標化的方法，而這兩個題目顯然沒有觸及教材的核心內(nèi)容，反而因為設計太多的技巧顯得“過猶不及”。

二 概念教學中例題設計的策略

1.概念引入時慎重創(chuàng)設問題情境

從無到有，學生需要一個緩沖區(qū)，以減輕新知對思維產(chǎn)生的“沖撞”。概念的引入意在新舊知識點或數(shù)學模型中找到一個結(jié)合點，以實現(xiàn)新舊知識點自然銜接、過渡的目的。從學生思維的認知規(guī)律來說，學生對抽象、概括事物的認識、理解需要一個具體化、形象化的過程。因此，教師在概念的教學過程中，要善于借用學生熟悉或感興趣的問題創(chuàng)設情境。

數(shù)學案例：觀察下面三個集合，S={x|x是高幼一（5）班的同學}，A={x|x是高幼一（5）班的男同學}，B={x|x是高幼一（5）班的女同學}，分析上面三個集合S、A、B的關(guān)系，從而引出補集的概念。

創(chuàng)設問題情境是概念引入中常用的手法，它不僅能夠為概念的引入做好鋪墊，而且還能夠巧妙設疑，激發(fā)學生的好奇心和求知欲。

2.概念剖析時抓住概念的本質(zhì)

引入概念之后，學生雖對其有了基本的認識，但仍處于一知半解的狀態(tài)，易出現(xiàn)概念模糊、張冠李戴的現(xiàn)象，特別是有些數(shù)學概念概括性強，需要逐字逐句的分析、理解。

第一，剖析概念中關(guān)鍵詞的含義，加強對原始概念的理解。某些關(guān)鍵詞是理解和掌握概念的鑰匙，有些學生由于對少數(shù)概念理解不到位，特別是對原始概念的理解一知半解，從而為后續(xù)知識的學習埋下隱患，使學習效果大打折扣。因此，教師一定要強調(diào)關(guān)鍵詞，并通過淺顯易懂的方式進行講解和剖析，確保每一位學生都能真正理解和掌握。

如在集合的學習中，要強調(diào)集合是一個原始概念，是不能下定義的，因此不能有“叫作”這兩個字的出現(xiàn)，只能用描述性的語言表述為：在一定范圍內(nèi)某些確定的、不同的對象的全體構(gòu)成一個集合。教師可通過實例：（1）我們班中的每一名學生都是確定的，而且也沒有相同的，因此我們班同學的全體能構(gòu)成一個集合。（2）我們班中長得秀美的女同學是不確定的，因為“秀美”這個詞沒有精確的定義，所以我們班長得秀美的女同學不能構(gòu)成一個集合。（3）“good中的英文字母的全體”能構(gòu)成一個集合，因為該集合中的不同英文字母只能是g，o，d三個，盡管o這個字母在單詞good中出現(xiàn)過兩次，但也只能在該集合中看成一個。

通過以上實例讓學生深刻理解集合這個概念中“確定的”“不同的”兩個關(guān)鍵詞的準確含義。

第二，逐層剖析，通過現(xiàn)象抓住概念的本質(zhì)。數(shù)學概念中的符號式子不僅具有高度的概括性，而且邏輯性和聯(lián)系性也比較強，教師可以通過對符號式子進行逐層剖析來理清概念之間的內(nèi)在聯(lián)系，達到抓住概念本質(zhì)的目的。因此，教師在概念教學的過程中，要注意由淺入深地對概念進行梳理，一方面深化學生對概念的理解，另一方面培養(yǎng)學生周密、嚴謹?shù)臄?shù)學思維。

如在偶函數(shù)概念的學習中，教師可從圖形與數(shù)式兩方面進行分解，通過觀察圖形可知它們關(guān)于y軸對稱，進一步分析可知圖像上的每一點關(guān)于y軸都有對稱點，而每一點都和唯一的一個數(shù)對一一對應，也就是它們的橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標相等，用數(shù)學式子表示為f（-x）=f（x）。同樣在奇函數(shù)概念的學習中，教師可讓學生仿照偶函數(shù)概念的講解過程進行類比對照理解學習。通過這樣由表及里的剖析、講解，學生對概念的理解也能夠從表層深入到其本質(zhì)。

第三，注意概念比較，歸納、區(qū)分概念的異同。有些數(shù)學概念之間聯(lián)系密切，在表述上也只有細微的差別。不少學生習慣以死記硬背的方式進行記憶，因此常常出現(xiàn)張冠李戴的錯誤。為了避免學生犯此類低級錯誤，教師在概念的教學過程中要注意相似概念之間的比較，并通過歸納、總結(jié)概念之間的異同，來揭示它們之間的聯(lián)系和區(qū)別。

生活用語中的“或”與邏輯用語中的“或”的區(qū)別：生活用語中“或”的含義為兩者之一，不兼有;而數(shù)學的含義為兩者至少有一個，可兼有。

命題的否定與否命題的區(qū)別：命題“大于1的數(shù)是正數(shù)”的否定是什么？其否命題是什么？命題的否定：大于1的數(shù)不是正數(shù);其否命題：不大于1的數(shù)不是正數(shù)。命題的否定只否定結(jié)論，否命題則既否定條件也否定結(jié)論。

3.概念應用時注重探究質(zhì)疑

概念的應用意在鼓勵學生在數(shù)學實例中對已掌握的概念進行運用，達到徹底吃透和消化新知的目的。概念的應用階段是從教師講授到學生自主探究的過程。從概念引入到概念剖析，教師對學生的知識輸入已達到飽和狀態(tài)，過度的講解反而引起學生的反感，挫傷他們學習的積極性。因此，教師要適時地將自主權(quán)還給學生，使他們最大限度地發(fā)揮自主性，以概念為切入點，對新知進行探索，從而避免“紙上談兵”的誤區(qū)。

第一，倡導自主探究、協(xié)作交流。自主探究、協(xié)作交流是概念應用過程中必不可少的一個環(huán)節(jié)，隨著學生對概念認識的深化，以概念為延伸點的數(shù)學探究活動對于發(fā)散學生的思維、提高他們合作探究的能力具有重要的作用。因此，教師要在應用的過程中為學生開辟廣闊的自主探究平臺，使學生在動手操作、交流討論的過程中對概念有全新的認識和理解。

如在學習數(shù)學建模課時，案例為產(chǎn)量的預測模型。

【問題表述】某工廠今年1月份、2月份、3月份生產(chǎn)某產(chǎn)品分別為1萬件、1.2萬件、1.3萬件，經(jīng)過調(diào)查，4月份的產(chǎn)量為1.36萬件，請以前幾個月的產(chǎn)量為依據(jù)，預測10月份生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量。

【模型分析】問題的條件是什么和已知數(shù)據(jù)是什么？目標是什么？通過分析可知，只需通過1月份、2月份、3月份的產(chǎn)量計算出具體的函數(shù)模型，將4月份產(chǎn)量代入驗證，以最逼近的函數(shù)模型作為擬合函數(shù)來求出10月份的產(chǎn)量。

【模型假設】為了合理地解決問題，建立準確的數(shù)學模型，特作如下假設：

假設一：該工廠比較穩(wěn)定，產(chǎn)品不受任何因素影響。

假設二：該產(chǎn)品的數(shù)量具有一定的變化趨勢。

【模型建立與求解】根據(jù)所學知識，實施你的方案。

（1）設符合問題的二次型函數(shù)模型為y1=px2+qx+r，由已知得：

?

于是得二次型函數(shù)模型為：y1=-0.05x2+0.35x+0.7。

（2）設符合問題的指數(shù)型函數(shù)模型為y2=a·bx+c，由已知得：

?

于是得指數(shù)型函數(shù)模型為：y2=-0.8·x+1.4。

當x=4時，由上面函數(shù)模型分別可得：

y1=-0.05×42+0.35×4+0.7=1.3;

y2=-0.8·4+1.4=1.35。

因為4月份的產(chǎn)量為1.36萬件，所以指數(shù)型函數(shù)模

型y2=-0.8·x+1.4作為擬合函數(shù)較好。

【討論與驗證】你能檢驗它嗎？你能構(gòu)建更優(yōu)的模型嗎？其實，我們還可以繼續(xù)考慮用冪型函數(shù)y=a·xb+c和對數(shù)型函數(shù)y=blogax+c作為擬合函數(shù)。

【建模體會】傳統(tǒng)數(shù)學應用題的問題明確，條件一般都是充分的，而數(shù)學建模的問題一般來自實際，問題中的條件往往是不充分的、開放的或多余的，有時甚至要求學生自己動手去收集數(shù)據(jù)、處理信息。在建模的過程中作一定的假設是必需的，而傳統(tǒng)數(shù)學應用題一般不需要假設。數(shù)學建模的討論與驗證比傳統(tǒng)數(shù)學應用題的檢驗要復雜得多，不僅要驗證所得到的模型解是否符合，而且要考察它們與假設是否矛盾，與實際是否吻合等。

通過小組成員之間的合作與探討從而加深對數(shù)學建模含義的理解。

第二，辨析質(zhì)疑。正如亞里士多德所說：“思維是從疑問和驚奇開始的。”反思、質(zhì)疑是數(shù)學學習的重要途徑。在質(zhì)疑的過程中，學生往往能夠在細小的“漏洞”中，發(fā)現(xiàn)數(shù)學問題，窺見具有一般性的數(shù)學規(guī)律。因此，教師在概念的應用過程中要鼓勵學生敢于質(zhì)疑、敢于發(fā)問，以培養(yǎng)他們的思辨能力和質(zhì)疑精神。

如在學習函數(shù)的概念之后，不少學生雖然對“定義域”印象深刻，但在實際做題的過程中往往拋之腦后，忽略了定義域優(yōu)先的原則。可以通過下面例題進一步加深對定義域優(yōu)先的理解。

例如：判斷下列哪些函數(shù)與f（x）=x+1是同一個函數(shù)？說明理由：

（1）f（x）=（）2+1;（2）f（x）=（）+1;

（3）f（x）=x+x0;（4）f（x）=+1;（5）f（x）=

+1;（6）f（x）=（）3+1。

解：（1）f（x）=（）2+1=x+1（x≥0）;（2）

f（x）=（）+1=+1（xR）;（3）f（x）=x+

x0=x+1（x≠0）;（4）f（x）=+1=x+1（x≠0）;（5）

f（x）=+1=x+1（xR）;（6）f（x）=（）3+1=x+1（xR）。

當做上述例題出現(xiàn)錯誤時，教師不必馬上點評，可以讓學生慢慢爭論和體會，使同學們深刻地理解函數(shù)概念中定義域和對應法則的重要性。

除了上述解決方法外，概念教學中的例題設計還有很多應當注意的地方，在此不能一一窮盡。總之，數(shù)學教學關(guān)鍵在于要以學生為主體，尊重學生學習的實際，體現(xiàn)數(shù)學學習的本質(zhì)。

〔責任編輯：龐遠燕、汪二款〕