運用化歸轉(zhuǎn)化的三個要點

化歸轉(zhuǎn)化就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化，進而達到目的的一種方法.一般總是將復(fù)雜問題通過變換轉(zhuǎn)化為簡單問題；將未解決的問題通過變換轉(zhuǎn)化為已解決的問題.

條件轉(zhuǎn)化要全面

例1 函數(shù)[f（x）]的定義域[D={x|x≠0}]，且滿足對于任意[x1，x2∈D]，有[f（x1·x2）=f（x1）+f（x2）].

（1）求[f（1）]的值；

（2）判斷[f（x）]的奇偶性并證明；

（3）如果[f（4）=1]，[f（3x+1）+f（2x-6）≤3]，且[f（x）]在（0，+∞）上是增函數(shù)，求[x]的取值范圍.

分析 由抽象不等式轉(zhuǎn)化為一般不等式的過程中，一定要注意到定義域和單調(diào)區(qū)間，不能認為[f（x）]在定義域[D]上單調(diào)遞增.

解 （1）令[x1=x2=1]，

有[f（1×1）=f（1）+f（1）]，解得[f（1）=0].

（2）[f（x）]為偶函數(shù)，證明如下：

令[x1=x2=-1]，有[f[（-1）×（-1）]=f（-1）+f（-1）]，

解得[f（-1）=0].

令[x1=-1]，[x2=x]，有[f（-x）=f（-1）+f（x）]，

∴[f（-x）=f（x）]，∴[f（x）]為偶函數(shù).

（3）[f（4×4）=f（4）+f（4）=2]，

[f（16×4）=f（16）+f（4）=3].

由[f（3x+1）+f（2x-6）≤3]，

變形為[f[（3x+1）（2x-6）]≤f（64）].①

∵[f（x）]為偶函數(shù)，

∴[f（-x）=f（x）=f（|x|）].

∴不等式①等價于[f[|（3x+1）（2x-6）|]≤f（64）].

又∵[f（x）]在（0，+∞）上是增函數(shù)，

∴[|（3x+1）（2x-6）|≤64]，且[（3x+1）（2x-6）≠0].

解得[-73≤x<-13]或[-13