回避分類討論提高解題速度

分類討論有時會導(dǎo)致解題過程的繁瑣化，為此我們在重視分類討論的思想方法應(yīng)用的基礎(chǔ)上，也要注意克服動輒加以討論的思維定勢，對于蘊含著分類討論因素的數(shù)學(xué)問題，應(yīng)當(dāng)首先作一番深入的探究，根據(jù)題目條件的特征，靈活選用一定的解題策略，充分挖掘數(shù)學(xué)問題中潛在的特殊性，盡力打破常規(guī)，盡量簡化或避免不必要的討論，從而提高解題速度.下面通過舉例分析，談?wù)勅绾伪苊夥诸愑懻摰膸追N優(yōu)化策略.

深挖隱含，避免討論

例1 解方程組[|x2-2|+|y-2|=6， ①|(zhì)x2-2|=2y-4. ②]

分析 若按常規(guī)解法應(yīng)根據(jù)絕對值的定義，分類討論絕對值內(nèi)式子的符號來解方程組，非常繁瑣.如果注意到②式隱含的重要的信息：[y-2≥0]，利用這個隱含條件，則可以避免分類討論.

解 原方程組可化為[|x2-2|+y-2=6，|x2-2|=2y-4，]

消去[|x2-2|]得[y=4]，

∴[x2-2=±4]， 解得[x=+6].

因此原方程組的解為[x=6，y=4，]或[x=-6，y=4.]

消除參數(shù)，免除討論

例2 設(shè)[00]且[a≠1]，試比較[|loga（1-x）|]與[|loga（1+x）|]的大小.

分析 由于[a]是討論的因素，如果能消除[a]，則可以免除討論.為此作商，再利用換底公式收效明顯.

解 ∵[|loga（1-x）||loga（1+x）|=|log（1+x）（1-x）|=-log（1+x）（1-x）]

[=log（1+x）11-x>log（1+x）（1+x）=1]，

∴[|loga（1-x）|>|loga（1+x）|].

反客為主，規(guī)避討論

例3 設(shè)對所有的實數(shù)[x]，不等式[x2log24（a+1）a]+ [2xlog22aa+1]+[log2（a+1）24a2]>0恒成立，求實數(shù)[a]的取值范圍.

分析 若根據(jù)二次不等式恒成立的條件列式計算，不可避免地要進(jìn)行分類討論.

解 如果變換視角，把[a]視為主元，把不等式變形為：[3x2+（x2-2x+2）log2a+12a>0].

∵[x2-2x+2=（x-1）2+1>0]，

∴l(xiāng)og2[a+12a]>-[3x2（x-1）2+1].

又[-3x2（x-1）2+1]<0恒成立，

∴只須log2[a+12a]>0，即[a+12a]> 1，進(jìn)而求得[0

反面考慮，簡化討論

例4 如果二次函數(shù)[y=mx2+（m-3）x+1]的圖象與[x]軸的交點至少有一個在原點右側(cè)，試求[m]的取值范圍.

分析 從正面求解，需要分四種情況討論，運算量大. 若從反面考慮，即考慮兩個交點都在原點左側(cè)時[m]的取值范圍.

解 由一元二次方程[mx2+（m-3）x+1=0]有兩負(fù)根得：

[△=（m-3）2-4m≥0，3-mm<0，1m>0，]

解得[m≥9]， 其反面為[m<9].

再考慮△≥0與[m]≠0的條件，可得[m]≤1且[m]≠0.

巧用公式，去除討論

例5 已知[cotα=m]，[α∈（π， 2π）]，求[cosα]的值.

分析 若選用公式[tanα=1cotα]， [cosα=][±11+tan2α]來求，則必須將[α∈（π， 2π）]分成[α∈（π，][3π2]）和α∈（[3π2]， 2π）來討論[cosα]及[m]的符號. 若根據(jù)[α∈（π，2π）]的范圍，直接選用恰當(dāng)?shù)钠椒疥P(guān)系式，則可有效地避開討論.

解 ∵[α∈（π， 2π）]，∴[sinα<0].

∴[sinα=-11+cot2α=-11+m2]，

故[cosα=cotα·sinα=-m1+m2].

靈活代換，免于討論

例6 解不等式[x1+x2+1-x21+x2]>0.

分析 常規(guī)解法要先把原不等式等價變形為：[x1+x2>x2-1]，然后再按照[x]的不同取值范圍進(jìn)行分類討論，這是非常復(fù)雜的.如果注意到原不等式的結(jié)構(gòu)特征，采用三角代換，則可免于討論.

解 令[x=tanθ（-π2<θ<π2]），

則原不等式可化為[tanθ·cosθ+cos2θ>0]，

即[2sin2θ-sinθ-1<0]，解之得：[-12

從而[-π6<θ<π2]， 有[tanθ>-33].

故原不等式的解為[{x|x>-33}].

數(shù)形結(jié)合，避免討論

例7 當(dāng)[x∈[0，2]]時，函數(shù)[f（x）=（x-1）log23a-][4log3a+][x-3]的值恒為正，求[a]的取值范圍.

分析 對于本題，若按常規(guī)解法應(yīng)用代數(shù)的方法進(jìn)行討論，比較冗長.若結(jié)合圖形考慮，則可避免討論.

解 對函數(shù)整理得[f（x）=（1+log23a）x-][（log23a+4log3a][+3）]，顯然函數(shù)[f（x）]是一次函數(shù)，其圖象是直線，且直線的斜率為正，如圖所示.

欲要證當(dāng)[x∈[0，2]]時，[f（x）>0]，只須直線與[x]軸的交點在原點左方，即直線在[x]軸上的截距：[ log23a+4log3a+31+log23a]<0，解此不等式得[a]的取值范圍為[127

整體化歸，回避討論

例8 函數(shù)[y=ax]在[0， 1]上的最大值與最小值的和為3，則[a]= .

分析 此題的常規(guī)思維是對底數(shù)分[01]兩種情況進(jìn)行討論，從而確定函數(shù)[y=ax]的單調(diào)性，然后再分別求出[y=ax]在[0， 1]上的最大值與最小值后求[a]值.若從整體思維出發(fā)，單調(diào)函數(shù)在閉區(qū)間上的最值總是在端點處達(dá)到，則可回避討論，直接求解.

解 由題設(shè)得[ymax+ymin=a0+a1=1+a=3]，故[a=2].

引參換元，回避討論

例9 解不等式[2x+5>x+1].

分析 借助換元，避開有限制條件的運算，從而可回避討論.對于該題只要避開了平方運算，則無需分類討論，因此可采用換元法.

解 令[t=2x+5]，則[x=t2-52]，于是原不等式等價于[t≥0，t>t2-52+1.]解之得，[0≤t<3].即0≤[2x+5]<3，故原不等式的解集為[{x|-2.5≤x<2}].