一元一次不等式組的三種求解方法

一元一次不等式及不等式組的解法是初中數(shù)學中的一個重要內(nèi)容，具體可利用圖象、數(shù)軸以及口訣解答有關(guān)題目.下面結(jié)合實例進行講解，同學們在解題時可以靈活選擇解題方法.

一、利用圖象解一元一次不等式（組）

1.求解一元一次不等式kx+b>0或kx+b<0（其中k、b為常數(shù)，且k≠0）可以轉(zhuǎn)化為：求當x取何值時，一次函數(shù)y=kx+b的值y>0或y<0；當一次函數(shù)y=kx+b的圖象在x軸上方或下方時，求橫坐標x的取值范圍.

2.求解一元一次不等式k1x+b1>k2x+b2或k1x+b1

例1 用圖象的方法解不等式2x+1>3x+4.

解析：把原不等式的兩邊看作兩個一次函數(shù)，在同一坐標系中畫出直線y=2x+1與y= 3x+4（圖1），從圖象上可以看出它們的交點的橫坐標是x=-3，因此當x<-3時，對于同一個x的值，直線y=2x+1上的點在直線y=3x+4上相應(yīng)點的上方，此時有2x+1>3x+4，因此不等式的解集是x<-3.

圖1

例2 已知函數(shù)y=kx+m和y=ax+b的圖象如圖2交于點p，則根據(jù)圖象可得不等式組kx+m>0ax+b>kx+m的解集為_____________.

圖2

解析：當kx+m>0時，x>-2.

ax+b>kx+m時，x<-1.

∴不等式組的解集為：-2

二、利用數(shù)軸解一元一次不等式組

數(shù)軸在解一元一次不等式中有著重要作用，不等式的解集在數(shù)軸上的表示如下：

（1）x>a：數(shù)軸上表示a的點畫成空心圓圈，表示a的點的右邊部分來表示，表示a不在解集內(nèi)；

（2）x

（3）x≥a：數(shù)軸上表示a的點畫成實心圓點，表示a的點及a的點的右邊部分來表示，表示a在這個解集內(nèi)；

（4）x≤a：數(shù)軸上表示a的點畫成實心圓點，表示a的點及a的點的左邊部分來表示，表示a在這個解集內(nèi).

例3 已知m為任意實數(shù)，求不等式組1-x<3x

解析：由不等式1-x<3化簡得x>2，先在數(shù)軸上表示，如圖1.接著，在上面的數(shù)軸上表示出解集x2，m>4時，該不等式組的解集為2

圖1 圖2

例4 已知m為任意實數(shù)，求不等式組x>2x<5x

解析：和例3相比較，該不等式組中不等式的個數(shù)增加到3個，需求出這3個不等式解集的公共部分，此時借助數(shù)軸更能起到化抽象為直觀的作用.先在數(shù)軸上表示出第一、二兩個不等式解集的公共部分，如圖2，再借助數(shù)軸可直觀地發(fā)現(xiàn)當表示數(shù)m-2的點在表示2的點上或左邊，即m-2≤2，m≤4時，三個不等式的解集沒有公共部分，原不等式組無解；當表示數(shù)m-2的點在2和5之間，即2

三、利用口訣解一元一次不等式組

由兩個一元一次不等式所組成的一元一次不等式組，變換為標準形式后，可分為四種基本類型：“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小解沒了.”利用口訣法求不等式組的解集時，應(yīng)先分別求出不等式的解集，再利用口訣直接寫出不等式組的解集.

例5 解不等式組 +3≥x ①1-3（x-1）<8-x ②

解析：解不等式①，得x≤3；

解不等式②，得x>-2.

兩個不等式的解集一個是大于號，一個是小于等于號，并且是x大于兩個數(shù)中較小的數(shù)-2，小于等于較大的數(shù)3.根據(jù)“大小小大中間找”，這個不等式組的解集是-2

例6 解不等式組1-2x>4-x ①3x-4>3 ②

解析：解不等式①，得x<-3；

解不等式②，得x> .

兩個不等式解集的不等號方向相反，并且x是大于兩個數(shù)中的較大的數(shù)，同時小于較小的數(shù).根據(jù)“大大小小解沒了”，所以這個不等式組無解.