解題 探源 悟道

摘要：本人以2015年重慶市高考文科第14題為素材，首先分析了此題的考查目標(biāo)、試題特點(diǎn)和破題思路，并在破題思路的基礎(chǔ)上從8個(gè)方面探究了該題的具體解法.然后從教材、高考試題和模擬試題等角度對(duì)該題的母題進(jìn)行了溯源，最后小結(jié)了自己探究該題的幾點(diǎn)感悟.

關(guān)鍵詞：解題；探源；悟道

真題再現(xiàn)

設(shè)a，b>0，a+b=5，則√a+1+√b+3的最大值為_(kāi)___.

試題特點(diǎn)與破題思路略析

此題是求雙根式和的最大值問(wèn)題，由試題的參考答案（以下解法1）可知，命題者的本意主要是考查學(xué)生對(duì)基本不等式2ab≤a2+b2進(jìn)行變形利用的能力.實(shí)際上，本題破題的關(guān)鍵就是如何恰當(dāng)?shù)靥幚韮蓚€(gè)根號(hào).聯(lián)想我們中學(xué)階段已有的知識(shí)和方法，不難想到以下一些粗略的破題思路：一是基本不等式及其變形；二是平方法；三是導(dǎo)數(shù)法；導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)最值是新課程實(shí)驗(yàn)后的一種重要方法，在某種程度上，也是諸多學(xué)生的首選方法：四是三角換元法：五是雙換元法，轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問(wèn)題求解；六是向量的模，用向量不等式|α·β|≤|a|·|β|；七是二維柯西不等式：（ac+bd）2≤（a2+b2） （C2+d2）.其中的平方項(xiàng)a2，b2，C2，d2可以化簡(jiǎn)根式：八是復(fù)數(shù)的模，有復(fù)數(shù)不等式|z1+z2|≤|z1|+|z2|等.

考查目標(biāo)分析

目標(biāo)一：考查學(xué)生對(duì)基本不等式的記憶、識(shí)別、變形和應(yīng)用的能力；

目標(biāo)二：考查學(xué)生對(duì)根式的處理方法和能力：

目標(biāo)三：考查學(xué)生用常規(guī)換元法、三角換元法化簡(jiǎn)處理根式的方法和能力：

目標(biāo)四：考查學(xué)生用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)最值的方法和步驟：

目標(biāo)五：考查學(xué)生用向量不等式和柯西不等式求函數(shù)最值的方法、步驟和技巧：

目標(biāo)六：考查學(xué)生的猜想、估算能力.

解法探究

解法1：直接利用公式a+b≤求解，其中“=”成立的條件是“a=b”.

由2ab≤a2+b2兩邊同時(shí)加上a2+b2得（a+b）2≤2（a2+b2），兩邊同時(shí)開(kāi)方得：

評(píng)注：此法對(duì)基礎(chǔ)一般的文科學(xué)生來(lái)說(shuō)，公式記不住，更不會(huì)對(duì)基本不等式進(jìn)行變形利用是最大的困難.相當(dāng)多的學(xué)生不會(huì)用此法求解.

解法2：注意到已知條件和待求式中a，b的系數(shù)相同，故可思考平方后轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求解.

評(píng)注：對(duì)形如（其中m、n、a、b、c、d均為正實(shí)數(shù)）的函數(shù).當(dāng)m2b=n2C時(shí)均可用兩邊平方的方法，把它轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的（區(qū)間）最值問(wèn)題，此法對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，易懂易上手，解題難度較小，一旦想到.這種方法只需用到初中二次函數(shù)求最值的方法，化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法在此法中得到深刻體現(xiàn).

評(píng)注：導(dǎo)數(shù)法求最值是絕大多數(shù)考生的首選解法.新人教文科高三選修I“導(dǎo)數(shù)”的引入.為學(xué)生求解最值問(wèn)題提供了新的解法和思路.也拓寬了求解函數(shù)最值問(wèn)題的類型.但此題在求導(dǎo)時(shí)將用到復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，超出了使用A教A版教材的文科學(xué)生的知識(shí)和方法范疇.

解法4：用三角換元法求解

評(píng)注：三角換元也是化簡(jiǎn)處理帶根號(hào)的式子的基本方法之一，通過(guò)把條件式配湊成與待求式根號(hào)中有關(guān)的結(jié)構(gòu).就可能使用三角換元法化簡(jiǎn)待求式中的根式，進(jìn)而求得式子的最大值，

解法5：用雙換元法轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問(wèn)題求解

評(píng)注：此法通過(guò)換元思想，把含根號(hào)的式子的最大值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一定條件下的線性規(guī)劃問(wèn)題，線性規(guī)劃也是求最值的常用方法.若能將問(wèn)題化歸為線性規(guī)劃問(wèn)題.則問(wèn)題迎刃而解，如何轉(zhuǎn)化則是破題的關(guān)鍵.稍作觀察和分析.發(fā)現(xiàn)最值不能直接求得的原因，主要在于解析式含有兩個(gè)根式，因而，如何去掉兩個(gè)根式即成為解決本題的關(guān)鍵.換元?jiǎng)t是去掉根式的首選，在此思路的指導(dǎo)下.把問(wèn)題化歸為線性規(guī)劃問(wèn)題求解也可謂理所當(dāng)然！

評(píng)注：利用向量不等式來(lái)求最值，關(guān)鍵是把原函數(shù)轉(zhuǎn)化為某兩個(gè)向量的數(shù)量積.且這兩個(gè)向量的模為定值，恰當(dāng)、合理地構(gòu)造向量是求解的關(guān)鍵.解法具有一定的靈活性。當(dāng)然也有一定的難度.突破它要靠平時(shí)多留心、多積累.

評(píng)注：柯西不等式是人教A版選修4-5“不等式選講”的內(nèi)容.對(duì)重慶的文科生未作要求.對(duì)理科學(xué)生和其他個(gè)別省市的學(xué)生來(lái)說(shuō)，此題不失為考查用柯西不等式解決問(wèn)題的好題，柯西不等式是非常重要的不等式.它的應(yīng)用很廣泛.應(yīng)用過(guò)程相當(dāng)靈活，尤其是中學(xué)階段在求最值和證明不等式時(shí)經(jīng)常用到.真正可以體現(xiàn)“數(shù)學(xué)是思維的體操”，使用柯西不等式時(shí)，關(guān)鍵是將已知條件通過(guò)配湊，轉(zhuǎn)化為符合柯西不等式條件的式子.

解法8：用“猜想+估算”的方法求解

評(píng)注：“猜想+估算”是處理選擇、填空題的一種重要方法.可以實(shí)現(xiàn)“小題小做”、“多思少算”的理念，對(duì)一些看似稍難的題目.不妨仔細(xì)觀察題目條件和結(jié)論的特點(diǎn)，必要時(shí)采用“猜想+估算”的方法進(jìn)行處理，則可達(dá)到“一眼洞穿”，“一望而填”的狀態(tài)，節(jié)省解題力量，利用此法，有效地撇開(kāi)了繁難的運(yùn)算.不僅降低了解題難度.優(yōu)化了解題過(guò)程，而且有效地激活了解題者的心智，提高了思維質(zhì)量，對(duì)客觀性數(shù)學(xué)試題的處理，“要會(huì)算，也要會(huì)少算，更要會(huì)不算”，“不算”是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的巔峰狀態(tài)，是數(shù)學(xué)思維質(zhì)量的高層次表現(xiàn).是學(xué)生理性思維的展示.教師在平時(shí)，尤其是高三階段的練習(xí)和講評(píng)中，要有意識(shí)地針對(duì)典型題目.關(guān)注對(duì)這種方法的滲透.

源4 2015屆北京市房山區(qū)周口店中學(xué)高三上學(xué)期期中考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷

函數(shù)的最大值是

其中源1和源2主要采用柯西不等式求解，源3、源4與2015年重慶高考文科第14題更密切，以上8種解法均能用于源3和源4.

探究感悟

感悟一：本題粗略一看，平淡無(wú)奇，立意淺顯，但仔細(xì)品味，卻會(huì)發(fā)現(xiàn)它小巧精致，內(nèi)涵豐富，解題入口較寬，解法多樣，可以從許多知識(shí)和方法人手.從而得到不同的解法，這些解法有難有易，基本上涵蓋了高中數(shù)學(xué)的諸多主干知識(shí)，不失為一道好題.不管采用何種解法.基本上都用到了中學(xué)數(shù)學(xué)的重要思想——化歸與轉(zhuǎn)化的思想.個(gè)別解法還用到了數(shù)形結(jié)合法、換元法等重要方法.

感悟二：一個(gè)題目有這么多的解法的根源就是在從不同角度地觀察這個(gè)題目所蘊(yùn)涵的知識(shí)或題目結(jié)構(gòu)特征后形成不同的解題思路的結(jié)果，另外.本題所體現(xiàn)的不同解法體現(xiàn)了解答這個(gè)題目的通法的多樣性，但其中解法8本身有明顯的局限性，如果題目不是填空題，而是個(gè)解答題，這個(gè)解法是不可用的，第8種解法更貼近填空題的特殊性和這個(gè)題目的特殊性，是若干解法中最好方法，真切體現(xiàn)了解答高考選擇題、填空題的基本指導(dǎo)思想：少算多思，能力立意.

感悟三：高考試題總能在教材中找到其“根”與“源”，因此我們的高考復(fù)習(xí)要回歸教材，不能拋開(kāi)教材，只做教輔資料，舍本逐末，教材中例題、習(xí)題才是精華，我們要對(duì)其引申、變式和拓展，提煉解決問(wèn)題的思想方法.既注重通性通法的練習(xí)鞏固，又留意個(gè)別解法的優(yōu)先性和局限性，把教材例題、習(xí)題的功能用足、用透，做一道通一類，以不變應(yīng)萬(wàn)變，這才是新課程教學(xué)的本質(zhì)要求.