四連桿仿生膝關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)

張莉潔，盧文濤，曹學(xué)民

(洛陽理工學(xué)院，河南洛陽471023)

0 前言

在康復(fù)醫(yī)學(xué)和雙足機(jī)器人領(lǐng)域，人工膝關(guān)節(jié)是重要的功能部件。它可以幫助人體實(shí)現(xiàn)站立的支撐和行走時(shí)的靈活自然步態(tài)。自然人腿膝關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)動(dòng)中心會(huì)隨屈伸動(dòng)作而移動(dòng)，即轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)中心是變化的，如圖1 其瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)中心的軌跡為J 型曲線。研發(fā)仿生性能良好的人工關(guān)節(jié)技術(shù)是康復(fù)工程學(xué)及仿生行走機(jī)器人學(xué)的重要課題。為更好地模擬人腿膝關(guān)節(jié)功能，采用四連桿仿生膝關(guān)節(jié)，利用其可變瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)中心的運(yùn)動(dòng)學(xué)特性，實(shí)現(xiàn)膝關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)動(dòng)多軸性，其良好的仿生特性得到了市場(chǎng)及大量學(xué)者的廣泛關(guān)注和研究［1－4］。四連桿膝關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)的好壞將決定其仿生性能，已得到國(guó)內(nèi)學(xué)者的廣泛關(guān)注。

圖1 膝關(guān)節(jié)瞬心軌跡圖

王斌銳等［3］在設(shè)計(jì)時(shí)同時(shí)考慮大腿和小腿的運(yùn)動(dòng)，采用旋轉(zhuǎn)矩陣和坐標(biāo)變換法來表達(dá)踝關(guān)節(jié)軌跡，同時(shí)使膝關(guān)節(jié)和踝關(guān)節(jié)軌跡與目標(biāo)軌跡重合?？紤]到膝關(guān)節(jié)的作用只是保證大小腿的相對(duì)運(yùn)動(dòng)規(guī)律，因此設(shè)計(jì)時(shí)無需考慮大腿運(yùn)動(dòng)，該方法不必要地將優(yōu)化問題復(fù)雜化，使計(jì)算過于繁復(fù)。文獻(xiàn)［5－6］以轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心的J 型曲線為目標(biāo)軌跡，使所設(shè)計(jì)的四連桿機(jī)構(gòu)的瞬心與J 型曲線重合，但考慮到若回轉(zhuǎn)半徑長(zhǎng)度和位置不同，踝關(guān)節(jié)中心點(diǎn)軌跡也會(huì)不同，因此該方法無法同時(shí)保證踝關(guān)節(jié)軌跡能準(zhǔn)確再現(xiàn)人腿實(shí)際軌跡，自然步態(tài)仍無法實(shí)現(xiàn)，該設(shè)計(jì)方法不夠成熟。現(xiàn)有文獻(xiàn)中少有對(duì)優(yōu)化后四連桿膝關(guān)節(jié)瞬心位置的圖解說明，其優(yōu)化結(jié)果的仿生性能仍有待進(jìn)一步論證。

四連桿仿生膝關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)是機(jī)構(gòu)綜合問題，即在大腿固定不動(dòng)的情況下，要求小腿實(shí)現(xiàn)相對(duì)擺動(dòng)運(yùn)動(dòng)關(guān)系，即保證踝關(guān)節(jié)中心點(diǎn)的軌跡與人腿相應(yīng)關(guān)節(jié)中心軌跡重合，屬于軌跡生成問題。本文作者根據(jù)多軸膝關(guān)節(jié)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，考慮小腿擺角范圍，擺動(dòng)期靈活性的要求，以獲得實(shí)際人腿踝關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)軌跡為優(yōu)化目標(biāo)，采用多變量?jī)?yōu)化設(shè)計(jì)方法對(duì)四連桿多軸膝關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，使其能獲得自然人腿步態(tài)，并通過運(yùn)動(dòng)仿真得到膝關(guān)節(jié)瞬心位置，分析驗(yàn)證其運(yùn)動(dòng)仿生性能。

1 四連桿膝關(guān)節(jié)數(shù)學(xué)模型

1.1 踝關(guān)節(jié)理想運(yùn)動(dòng)軌跡生成

實(shí)驗(yàn)人小腿長(zhǎng)330 mm，踝關(guān)節(jié)中心點(diǎn)距離腳后跟40 mm，步態(tài)周期0.45 ～0.6 s，將大腿看作機(jī)架，通過人小腿擺動(dòng)試驗(yàn)得到踝關(guān)節(jié)的真實(shí)運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖2 所示。選定目標(biāo)點(diǎn)，使其準(zhǔn)確再現(xiàn)運(yùn)動(dòng)軌跡。

圖2 踝關(guān)節(jié)真實(shí)運(yùn)動(dòng)軌跡實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

1.2 數(shù)學(xué)建模

為使連桿擺動(dòng)范圍足夠大，考慮設(shè)計(jì)為曲柄搖桿機(jī)構(gòu)，如圖3 所示，以鉸鏈點(diǎn)A 為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，其中機(jī)架AD為固定不動(dòng)的大腿，其與x軸的夾角為φ0;桿BM 固連在連桿BC 上，作為仿生機(jī)構(gòu)的小腿，點(diǎn)M 即為踝關(guān)節(jié)中心點(diǎn)。BM 與BC 的夾角固定為λ;AB 為搖桿，CD 為曲柄，當(dāng)AB 擺動(dòng)至位置i 時(shí)，與機(jī)架AD 的夾角為φi。

圖3 四連桿膝關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)模型

對(duì)應(yīng)連桿上點(diǎn)M 坐標(biāo)可用下列函數(shù)表達(dá)為:

其中，λ 由BC 轉(zhuǎn)向BM，為負(fù)值，ρ 為BD，用自變量表達(dá)為:

其中，β=∠ADB;γ=∠BCD;α = ∠DBC;δ 為BC與AD 間的夾角，其值可按如下計(jì)算:

由以上知，點(diǎn)M 坐標(biāo)是桿長(zhǎng)l1，l2，l3，l4，l5，角度φ0，λ，φi的函數(shù)。φi為搖桿擺動(dòng)至圖3 目標(biāo)點(diǎn)處對(duì)應(yīng)的搖桿擺角，由此可確定設(shè)計(jì)變量為:

x= ［x1x2x3x4x5x6x7x8x9x10… xm］T= ［l1l2l3l4l5φ0λ φi］T，其中x8…x7+m為對(duì)應(yīng)m 個(gè)目標(biāo)點(diǎn)相應(yīng)搖桿的轉(zhuǎn)角φi。由上可知，設(shè)計(jì)變量除了曲柄搖桿的結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù)外，還有對(duì)應(yīng)各個(gè)目標(biāo)點(diǎn)位置的擺角值，若取5 個(gè)目標(biāo)點(diǎn)，則設(shè)計(jì)變量為12 個(gè)，若選取目標(biāo)點(diǎn)m 個(gè)，則設(shè)計(jì)變量為7 +m 個(gè)。

1.3 目標(biāo)函數(shù)的確定

優(yōu)化目標(biāo)為連桿BC 上點(diǎn)M 的實(shí)際軌跡與目標(biāo)軌跡重合。因此，以點(diǎn)M 實(shí)際軌跡上若干個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)與理想軌跡上目標(biāo)點(diǎn)的誤差均方根最小作為優(yōu)化目標(biāo)。在實(shí)際優(yōu)化計(jì)算中，采用加權(quán)方法使目標(biāo)函數(shù)能夠收斂，其函數(shù)表達(dá)式為:

式中:Sxi，Syi是踝關(guān)節(jié)理想軌跡的第i 個(gè)目標(biāo)點(diǎn)坐標(biāo);Mxi，Myi是連桿BC 上點(diǎn)M 實(shí)際軌跡上第i 個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，ωi為保證收斂的加權(quán)值。

1.4 確定約束條件

約束條件為不等式約束，表達(dá)式為gi(x)≤0。要成為曲柄搖桿機(jī)構(gòu)，且使CD 桿l3為曲柄，應(yīng)滿足如下桿長(zhǎng)條件:

膝關(guān)節(jié)應(yīng)保證擺動(dòng)期靈活性，要求最小傳動(dòng)角∠ABC≥30°，最小傳動(dòng)角出現(xiàn)在曲柄CD 與機(jī)架共線的位置，即滿足以下非線性不等式:

根據(jù)膝關(guān)節(jié)尺寸比例限定設(shè)計(jì)變量邊界條件:

70≤l1≤110;60≤l2≤90;35≤l3≤60;40≤l4≤70;260≤l5≤290;－15≤φ0≤15;－120≤λ≤－90;－90≤φi≤－70，等。

2 優(yōu)化結(jié)果仿真分析［5-6］

2.1 初值的選定

優(yōu)化過程若在大范圍內(nèi)盲目搜索較為不易，且只能求出局部最優(yōu)解，因此為節(jié)省優(yōu)化時(shí)間，保證正確的搜索方向，應(yīng)先找出較為合理的初值。

根據(jù)膝關(guān)節(jié)尺寸比例，初定機(jī)架l4長(zhǎng)度50 mm?？紤]到支撐期的穩(wěn)定性，初設(shè)AD 夾角φ0=0°。采用圖解法取定初值，x = ［78 63 40 50 284 0－119－85－60－43－35－31］。

2.2 優(yōu)化結(jié)果

該問題屬于非線性約束優(yōu)化問題，設(shè)計(jì)采用二次規(guī)劃算法。二次規(guī)劃法利用擬牛頓法 (變尺度法)來近似構(gòu)造海賽矩陣，確定搜索方向，建立二次規(guī)劃子問題進(jìn)行迭代求解，因此又稱約束變尺度法。

Hessian 矩陣采用擬牛頓法進(jìn)行迭代，變尺度矩陣的迭代公式采用穩(wěn)定的BFGS (Broyden-Fletcher-Gold farbshanno)算法。

本次設(shè)計(jì)借助MATLAB 軟件優(yōu)化函數(shù)fmincon 進(jìn)行，由于該優(yōu)化問題含有非線性約束，且希望計(jì)算更為準(zhǔn)確，采用medium-scale 的SQP 算法。優(yōu)化語句為:

［x，fval］ = fmincon (@ mygoal，x0，A，b，［］，［］，lb，ub，nonlcon，options);其中，A，b 為公式(8)的矩陣表達(dá)式，nonlcon 為公式(9)非線性函數(shù)。@mygoal 為目標(biāo)函數(shù)，即為該優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型，采用式(1) ～ (7)表達(dá)。

若初值選擇不同可得不同的優(yōu)化結(jié)果，因此優(yōu)化算法只能求出局部最優(yōu)解，選取較好的一組優(yōu)化結(jié)果如表1，實(shí)際軌跡與目標(biāo)軌跡誤差為5.65 mm。

表1 四連桿機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化結(jié)果

為驗(yàn)證優(yōu)化后的四連桿膝關(guān)節(jié)仿生特性的好壞，應(yīng)給出瞬心軌跡。對(duì)四連桿膝關(guān)節(jié)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析得其瞬心坐標(biāo)表達(dá)式為:

圖4 為優(yōu)化結(jié)果與目標(biāo)軌跡的比較，左上方十字軌跡為瞬心軌跡，其曲線形狀為J 型，進(jìn)一步分析運(yùn)動(dòng)特性。

圖4 優(yōu)化結(jié)果實(shí)際軌跡與目標(biāo)軌跡比較

圖5 為運(yùn)動(dòng)仿真，顯示出搖桿以均勻擺角擺動(dòng)時(shí)四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)態(tài)過程，仍畫出瞬心軌跡。由圖分析得，在運(yùn)動(dòng)初始位置即支撐期，其瞬心位置較為靠上，即膝關(guān)節(jié)伸展時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)中心大大高于連桿機(jī)械軸的位置。而在膝關(guān)節(jié)屈曲時(shí)，即之后的擺動(dòng)過程中，瞬心隨膝屈曲急速下降，回到通常膝軸的位置。這樣使得支撐初期小腿長(zhǎng)度變化，可減少穩(wěn)定膝關(guān)節(jié)所需的髖關(guān)節(jié)伸展肌力，確保了大腿假肢的支撐期穩(wěn)定性;而在擺動(dòng)中期膝軸高度下降至正常位置，保證正常自然的運(yùn)動(dòng)姿態(tài)，實(shí)現(xiàn)完美步態(tài)。

圖5 四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)態(tài)過程

以上分析充分驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)的四連桿膝關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)具有良好的仿生性能，該仿生關(guān)節(jié)能獲得人腿自然步態(tài)。

圖6 為優(yōu)化后四連桿的初始位置，即支撐期位置，圖中看到瞬心位置位于髖踝線TA 線前方［7－8］，則地面支撐反力將對(duì)瞬心產(chǎn)生驅(qū)動(dòng)小腿擺動(dòng)的力矩，因此支撐期穩(wěn)定性稍差，在此可采用智能磁流變阻尼器實(shí)現(xiàn)自承重自鎖式結(jié)構(gòu)，即在連桿和機(jī)架間合適位置處安裝磁流變阻尼器［9］，在支撐期，調(diào)整阻尼力為最大，從而實(shí)現(xiàn)自鎖承重。在擺動(dòng)期，可調(diào)阻力的磁流變阻尼器與電機(jī)共同工作，使其在運(yùn)動(dòng)中獲得良好的減振性能。

圖6 優(yōu)化四連桿初始位置及瞬心位置比較

3 結(jié)論

采用二次規(guī)劃優(yōu)化設(shè)計(jì)方法對(duì)四連桿仿生膝關(guān)節(jié)進(jìn)行優(yōu)化，并通過運(yùn)動(dòng)仿真對(duì)優(yōu)化四連桿機(jī)構(gòu)進(jìn)行仿真，得到以下結(jié)輪:

(1)所設(shè)計(jì)四連桿機(jī)構(gòu)在小腿擺動(dòng)過程中，實(shí)際軌跡與目標(biāo)軌跡吻合度良好，其速度瞬心呈J 型曲線，符合人腿自然步態(tài)，充分驗(yàn)證了四連桿膝關(guān)節(jié)良好的仿生特性。

(2)所設(shè)計(jì)四連桿機(jī)構(gòu)在支撐期時(shí)速度瞬心位置較為靠前，有利于擺動(dòng)期靈活性，適合運(yùn)動(dòng)靈活性的使用要求，為保證支撐期的穩(wěn)定性推薦采用加裝智能磁流變阻尼器的自鎖承重式結(jié)構(gòu)。

(3)應(yīng)進(jìn)一步對(duì)仿生膝關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)小腿擺動(dòng)過程進(jìn)行速度、加速度分析，考慮阻尼器的安裝，并進(jìn)一步驗(yàn)證其動(dòng)力學(xué)性能。

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