三步法工業(yè)機(jī)器人矢量坐標(biāo)變換

鄭相周，董旺遠(yuǎn)

ZHENG Xiang-zhou1, DONG Wang-yuan2

（1.華中農(nóng)業(yè)大學(xué) 工學(xué)院，武漢 430072；2.華中農(nóng)業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，武漢 430072）

0 引言

矢量坐標(biāo)變換是多體系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)分析的基礎(chǔ)[1]。工業(yè)機(jī)器人是典型的多體系統(tǒng)，矢量坐標(biāo)變換是工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)分析的首要環(huán)節(jié)[1～3]。

工業(yè)機(jī)器人具有樹形拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，幾何特征鮮明。1955年Denavit和Hartenberg提出了工業(yè)機(jī)器人矢量變換的系統(tǒng)方法[2]（簡稱D-H方法）。

D-H方法使用齊次矩陣刻畫相鄰連桿間的位姿關(guān)系。齊次矩陣的4個(gè)關(guān)節(jié)參數(shù)由3個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù)和1個(gè)關(guān)節(jié)變量組成。D-H方法對(duì)連桿坐標(biāo)系的設(shè)置和關(guān)節(jié)參數(shù)做了嚴(yán)格定義，使得D-H方法具備了系統(tǒng)理論的特點(diǎn)，便于計(jì)算機(jī)建模[2]。雖然工業(yè)機(jī)器人關(guān)節(jié)大多為單自由度，但結(jié)構(gòu)仍比較復(fù)雜。在人工進(jìn)行分析時(shí)，D-H中坐標(biāo)系和關(guān)節(jié)參數(shù)的嚴(yán)格定義使得D-H方法難以應(yīng)用，坐標(biāo)系、關(guān)節(jié)參數(shù)和關(guān)節(jié)變量范圍均難以確定，一旦發(fā)生錯(cuò)誤，分析結(jié)果將南轅北轍。

為克服D-H使用中的困難，本文提出工業(yè)機(jī)器人矢量變換三步法，相鄰連桿齊次變換矩陣由方向余弦矩陣和典型的轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣或移動(dòng)矩陣構(gòu)成。這種方法步驟簡單，結(jié)構(gòu)參數(shù)和關(guān)節(jié)變量區(qū)分明確，關(guān)節(jié)變量范圍易于確定，適于單自由度關(guān)節(jié)的工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)建模與分析。

1 典型齊次變換矩陣

剛體任何運(yùn)動(dòng)可視作移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)的疊加，剛體位姿由與剛體固連的連體系描述。剛體運(yùn)動(dòng)可分解為連體系{I}在參考系{O}中的移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)。在典型情況下，描述連體系方向的齊次變換矩陣具有簡單形式。連體系{I}繞{O}中z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的齊次矩陣[2]（稱為轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣）為：

式中 (,)··Rot 的2個(gè)參數(shù)分別為坐標(biāo)軸單位矢量和旋轉(zhuǎn)角度，其中稱為旋轉(zhuǎn)矩陣。

連體系{I}沿{O}中矢量r移動(dòng)的齊次矩陣[2]（稱為移動(dòng)矩陣）為：

其中，E為3×3單位矩陣。

D-H方法將相鄰連桿位姿關(guān)系分解為兩個(gè)移動(dòng)和兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)，其變換矩陣是式(1)～式(2)的矩陣組合結(jié)果。

2 坐標(biāo)變換三步法

圖1 三步法坐標(biāo)變換原理

{i + 10}到{i1}的轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣使用方向余弦矩陣描述：

上式中，?·?為兩個(gè)沿坐標(biāo)軸的單位矢量的點(diǎn)積。

分析上述3個(gè)變換步驟可知，前兩步描述相鄰連桿的結(jié)構(gòu)參數(shù)，第3步描述后一個(gè)連桿相對(duì)前一個(gè)連桿的運(yùn)動(dòng)。

相鄰連桿坐標(biāo)變換式(8)中僅有由式(6)，式(7)表示的變換矩陣描述連桿運(yùn)動(dòng)，因此，控制連桿運(yùn)動(dòng)的關(guān)節(jié)變量或就與結(jié)構(gòu)參數(shù)明顯區(qū)分開來。

在工業(yè)機(jī)器人中，后一個(gè)連桿總是相對(duì)前一個(gè)連桿運(yùn)動(dòng)，在設(shè)置連體系時(shí)，就可以直接將運(yùn)動(dòng)前的連體系視作運(yùn)動(dòng)后的連體系，這樣對(duì)分析結(jié)果沒有影響，不僅可簡化連體系設(shè)置，還可以將作為運(yùn)動(dòng)基準(zhǔn)，可以很容易地以此確定關(guān)節(jié)變量變化范圍。這樣式(5)可進(jìn)一步使用楔積符號(hào)記作：

這樣，使用3步法進(jìn)行坐標(biāo)變換，形式上相鄰連桿的坐標(biāo)系只需要連體系和

3 實(shí)例分析

如圖2所示為5自由度機(jī)械手的前4個(gè)關(guān)節(jié)設(shè)計(jì)示意，4個(gè)關(guān)節(jié)均采用轉(zhuǎn)動(dòng)副，坐標(biāo)系設(shè)置如圖2所示，其中{0}為機(jī)座坐標(biāo)系，其他為連桿連體系。除右手直角坐標(biāo)系的z軸取轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線外，其他坐標(biāo)軸方向根據(jù)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)確定，無須遵守其他規(guī)定。

以連桿1、2為例說明3步法坐標(biāo)變換使用：

圖2 機(jī)械手坐標(biāo)系設(shè)置

連桿2到1的齊次變換矩陣即為這3個(gè)齊次矩陣的乘積。

圖2所示相鄰連桿坐標(biāo)變換如表1所示。

表1 相鄰連桿坐標(biāo)變換

表1 （續(xù)）

4 結(jié)論

本文提出的工業(yè)機(jī)器人3步法坐標(biāo)變換方法，使用描述結(jié)構(gòu)參數(shù)的移動(dòng)矩陣、方向余弦矩陣和描述關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矩陣（轉(zhuǎn)動(dòng)副）或移動(dòng)矩陣（移動(dòng)副）組合來獲得相鄰連桿間的矢量齊次變換矩陣，概念清晰，相關(guān)參數(shù)意義明確，避免了使用D-H方法需要嚴(yán)格按照定義進(jìn)行坐標(biāo)系設(shè)置和關(guān)節(jié)參數(shù)確定的弊端，適合單自由度關(guān)節(jié)的工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)人工建模分析。

[1] J. J Craig.Introduction to Robotics(3Ed)[M].London, UK:Prentice Hall,2003.

[2] 鄭相周,唐國元.機(jī)械系統(tǒng)虛擬樣機(jī)技術(shù)[M].北京:高等教育出版社,2010.

[3] Siciliano,L.Sciavicco, L.Villani, G. Oriolo. Robotics,Modelling, Planning and Control[J].London,UK:Springer-Verlag,2009.