基于非線性分位數(shù)回歸模型的多期VaR風(fēng)險測度

許啟發(fā)，張金秀，蔣翠俠

(1.合肥工業(yè)大學(xué)管理學(xué)院，安徽 合肥 230009；2. 過程優(yōu)化與智能決策教育部重點(diǎn)實驗室，安徽 合肥 230009)

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基于非線性分位數(shù)回歸模型的多期VaR風(fēng)險測度

許啟發(fā)1,2，張金秀1，蔣翠俠1

(1.合肥工業(yè)大學(xué)管理學(xué)院，安徽 合肥 230009；2. 過程優(yōu)化與智能決策教育部重點(diǎn)實驗室，安徽 合肥 230009)

多期VaR主要受到持有期及波動率兩個變量的影響，并且其影響模式(線性或非線性)的確定對于準(zhǔn)確地進(jìn)行VaR風(fēng)險測度至關(guān)重要。非線性分位數(shù)回歸模型，能夠克服線性分位數(shù)回歸模型只能揭示多期VaR及其影響因素之間線性依賴關(guān)系的局限，從而提高多期VaR風(fēng)險測度的準(zhǔn)確性。結(jié)合波動模型與兩個非線性分位數(shù)回歸方法：QRNN和SVQR，給出了多期VaR風(fēng)險測度的三類方案：波動模型法、QRNN+波動模型法、SVQR+波動模型法。選取3個股票價格指數(shù)作為研究對象，考慮了6種不同形式的波動模型，得到了18個多期VaR風(fēng)險測度方法進(jìn)行實證比較，結(jié)果表明：波動模型選擇影響到多期VaR風(fēng)險測度效果；SVQR+波動模型法略優(yōu)于QRNN+波動模型法，并且兩者顯著優(yōu)于波動模型法。

分位數(shù)回歸；多期VaR；非線性；神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)；支持向量機(jī)

1 引言

然而，事實并非如此簡單，后文的討論顯示：由于金融市場波動存在時變相關(guān)性，導(dǎo)致多期VaR與單期VaR之間并非服從簡單的“時間方根準(zhǔn)則”，而是表現(xiàn)出非常復(fù)雜的關(guān)系。為此，需要考慮開發(fā)新的方法給出多期VaR風(fēng)險測度。

按照統(tǒng)計學(xué)的觀點(diǎn)，VaR實質(zhì)為投資組合或者金融資產(chǎn)的損失(或收益)分布的一個特定分位數(shù)，可以通過Koenker等[3]提出的線性分位數(shù)回歸模型來估計，如：Taylor[4]提出指數(shù)加權(quán)分位數(shù)回歸模型，并將其應(yīng)用VaR風(fēng)險測度。張瑞峰等[5]指出，分位數(shù)比均值更有效地度量金融市場的極端風(fēng)險溢出效應(yīng)；史金鳳等[6]和許啟發(fā)等[7]指出，與均值回歸模型相比，線性分位數(shù)回歸模型的最大優(yōu)勢在于：能夠揭示響應(yīng)變量的完整分布特征。不過，線性分位數(shù)回歸模型只能用于討論解釋變量對響應(yīng)變量條件分布的線性影響模式，難以刻畫在VaR測算中存在的非線性效應(yīng)，如：陳磊等[8]提及的門限效應(yīng)等。Taylor[9-10]指出，對于單期VaR風(fēng)險測度，波動率對VaR存在線性影響模式，可以通過線性分位數(shù)回歸模型來估計；而對于多期VaR風(fēng)險測度，持有期與波動率對VaR的影響方式既有線性成分、又有非線性成分，需要利用非線性分位數(shù)回歸模型來解決。在參數(shù)形式的非線性分位數(shù)回歸模型建立過程中，往往涉及非線性函數(shù)形式的選擇，當(dāng)解釋變量數(shù)目過多時，這一過程非常復(fù)雜。為克服非線性函數(shù)形式選擇上的困難，可以采用非參數(shù)方法，建立非線性分位數(shù)回歸模型。White[11]、Taylor[10]、FengYijia等[12]和Cannon[13,14]利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)模擬經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中的非線性，建立了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分位數(shù)回歸(QuantileRegressionNeuralNetwork,QRNN)模型；Takeuchi等[15]和LiYoujuan等[16]利用支持向量機(jī)將原始數(shù)據(jù)映射到高維特征空間中做非線性回歸的特點(diǎn)，建立了支持向量分位數(shù)回歸(SupportVectorQuantileRegression,SVQR)模型。QRNN模型與SVQR模型，在無須給出具體的非線性函數(shù)形式情況下，就可以得到響應(yīng)變量與解釋變量之間的非線性依賴關(guān)系，表現(xiàn)出極大的靈活性。Taylor[10]使用QRNN模型研究了多期收益的分布特征，Shim等[17]則使用SVQR模型研究了多期VaR風(fēng)險測度問題，結(jié)果表明：QRNN模型與SVQR模型能夠提升多期VaR風(fēng)險測度的準(zhǔn)確率。目前，尚無文獻(xiàn)對比QRNN模型與SVQR模型在多期VaR風(fēng)險測度能力上的差異。

在Taylor[10]和Shim等[17]的研究工作中，他們對波動率的估計使用了基于正態(tài)分布假定的GARCH_N模型與基于t分布假定的GARCH_t模型?？紤]到金融市場存在波動聚集、厚尾、非對稱等典型特征，本文進(jìn)一步使用基于有偏t分布假定的GARCH_St模型、基于廣義誤差分布的GARCH_GED模型、基于有偏廣義誤差分布的GARCH_SGED模型，做波動率估計，進(jìn)而使用非線性分位數(shù)回歸模型：QRNN和SVQR進(jìn)行多期VaR風(fēng)險測度。結(jié)合波動模型與非線性分位數(shù)回歸方法，本文給出了多期VaR風(fēng)險測度的三類方案：波動模型法、QRNN+波動模型法、SVQR+波動模型法，并將其應(yīng)用于深證綜合指數(shù)、香港恒生指數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)的多期VaR風(fēng)險測度，取得了較好的實證結(jié)果。本文創(chuàng)新之處在于：(1)考慮到金融市場的典型特征，建立了有偏、厚尾GARCH模型，發(fā)現(xiàn)不同的波動率估計方法對多期VaR風(fēng)險測度效果能夠產(chǎn)生顯著影響，不過這一影響差異可以被分位數(shù)回歸“抹平”。也即是說，分位數(shù)回歸可以很好地避免由于波動模型誤設(shè)導(dǎo)致VaR風(fēng)險測度結(jié)果的偏差。(2)結(jié)合波動模型與非線性分位數(shù)回歸方法，給出了多期VaR風(fēng)險測度新方法：QRNN+波動模型法和SVQR+波動模型法，實證結(jié)果表明：新方法能夠顯著提高VaR風(fēng)險測度精度；具有較好的穩(wěn)健性，適合于多期VaR風(fēng)險測度。(3)對比了兩類非線性分位數(shù)回歸方法的多期VaR風(fēng)險測度效果，發(fā)現(xiàn)由于SVQR模型能夠同時考慮線性及非線性影響模式，SVQR+波動模型法所得VaR風(fēng)險測度平均誤差略低于QRNN+波動模型法。

2 波動率估計與多期VaR風(fēng)險測度

2.1 多期收益與VaR風(fēng)險測度

對于投資組合，可以由對數(shù)差分:

rt,k=100×(lnpt+k-lnpt)

(1)

計算其連續(xù)復(fù)合收益。式中，rt,k為多期收益，pt為時刻t的價格，k為持有期。當(dāng)k=1時，rt,k退化為單期收益rt,1(簡記為rt)。容易證明，多期收益與單期收益之間存在關(guān)系：

rt,k=rt+1+rt+2+…+rt+k

(2)

即時刻t的多期收益(k期)可由從時刻t+1到時刻t+k的k個單期收益求和所得。

若以負(fù)收益表示損失，根據(jù)Jorion[1]給出的VaR含義，可以給出置信水平(1-τ)下多期VaR的定義如下：

τ=Pr(-rt,k≥VaR)=1-Pr(-rt,k≤VaR)或Pr(rt,k≤-VaR)

(3)

式中，τ為任一給定的小概率水平。由式(3)，容易得到：

(4)

2.2 基于波動模型的VaR風(fēng)險測度

在VaR風(fēng)險測度中，最常使用的為Morgan[2]開發(fā)的RiskMetrics方法。RiskMetrics方法假定單期收益序列服從條件正態(tài)分布：

(5)

(6)

(7)

給出多期VaR風(fēng)險測度：

(8)

然而，事實并非如此簡單，RiskMetrics方法的前提假定在現(xiàn)實中并不存在。這里，主要討論兩個方面的擴(kuò)展：(1)波動模型由EWMA模型更換為一般的GARCH模型，用于揭示金融市場的波動聚集性；(2)誤差分布使用t分布、St分布、GED分布和SGED分布，用于揭示金融市場的高峰厚尾、非對稱等典型特征?？紤]Bollerslev[18]提出的GARCH(1,1)模型：

(9)

式中，α0,α1,β1為待估計的參數(shù)，誤差項εt為獨(dú)立同分布的時間序列。當(dāng)α0=0,α1+β1=1時，得到IGARCH(1,1)模型的特例：EWMA模型。對于誤差項εt分別取：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布、t分布、St分布、GED分布和SGED分布，就可以分別建立GARCH_N模型、GARCH_t模型、GARCH_St模型、GARCH_GED模型和GARCH_SGED模型。對于GARCH(1,1)模型，Taylor[10]利用遞歸方式估計出k期收益的波動率：

(10)

從而，可以得到基于GARCH類模型的多期VaR風(fēng)險測度：

(11)

式中，F(xiàn)-1(τ)分別為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布、t分布、St分布、GED分布和SGED分布的第τ分位數(shù)。

3 分位數(shù)回歸模型與多期VaR風(fēng)險測度

3.1 線性分位數(shù)回歸模型

現(xiàn)實中，均值回歸模型常被用于討論m個解釋變量X1,X2,…,Xm對響應(yīng)變量Y的影響。然而，均值回歸分析只能描述響應(yīng)變量Y的均值變化，難以揭示Y的形態(tài)特征，具有一定的局限性。在中位數(shù)回歸的基礎(chǔ)上，Koenker等[3]提出了分位數(shù)回歸模型：

QYt(τ|Xt)=f(Xt,β(τ))=β0(τ)+β1(τ)Xt,1+…+βm(τ)Xt,m≡X′tβ(τ)

(12)

式中：QYt(τ|Xt)為響應(yīng)變量Y在解釋變量X給定條件下的τ分位數(shù)；t∈(0,1)為分位點(diǎn)；β(τ)≡[β0(τ),β1(τ),…,βm(τ)]′為回歸系數(shù)向量，取值依賴于分位點(diǎn)τ變動，可以度量解釋變量X對響應(yīng)變量Y的異質(zhì)影響模式(隨τ變動)。在式(12)中，由于采用了線性函數(shù)設(shè)定，故稱其為線性分位數(shù)回歸模型。由式(12)，可以得到響應(yīng)變量Y在各個分位點(diǎn)τ處的條件分位數(shù)QYt(τ|Xt)，進(jìn)而可以確定其條件分布函數(shù)或條件密度函數(shù)。這樣，線性分位數(shù)回歸模型不僅能夠揭示X對Y位置的影響，而且還能夠刻畫X對Y形態(tài)的影響，提供比均值回歸更多的有用信息，便于進(jìn)行科學(xué)決策。

式(12)中系數(shù)向量β(τ)的估計，可以轉(zhuǎn)化求解如下優(yōu)化問題：

(13)

式中，T為樣本量；ρτ(u)為依賴于分位點(diǎn)τ的非對稱損失函數(shù)，滿足：

(14)

(15)

3.2 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分位數(shù)回歸與多期VaR風(fēng)險測度

(16)

(17)

圖1 三層感知器神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

類似于線性分位數(shù)回歸模型的參數(shù)估計，QRNN模型的參數(shù)向量W(τ)與b(τ)的估計可以轉(zhuǎn)化求解優(yōu)化問題：

(18)

式中，f(Xt,W,b)為由式(16)給出的非線性關(guān)系。在QRNN模型中，輸入層變量數(shù)目m與隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)目n決定了模型復(fù)雜程度。為避免模型過于復(fù)雜而導(dǎo)致過度擬合，可以在損失函數(shù)基礎(chǔ)上增加懲罰項，對模型復(fù)雜程度進(jìn)行約束。為此，使用：

(19)

(20)

在式(20)中，當(dāng)輸入變量取Xt=(k,σt+1)′、輸出變量Y取k期收益率rt,k時，就得到基于QRNN模型的多期VaR風(fēng)險測度：

(21)

3.3 支持向量分位數(shù)回歸與多期VaR風(fēng)險測度

基于統(tǒng)計學(xué)習(xí)理論建立起來的支持向量機(jī)，在模式識別等領(lǐng)域發(fā)揮了重要作用。近年來，支持向量機(jī)常被應(yīng)用于解決回歸問題，稱為支持向量回歸，其數(shù)學(xué)模型表示為：

Yt=f(Xt)+εt=w′φ(Xt)+b+εt

(22)

式中，φ(·)為非線性映射；w為參數(shù)向量，b為閾值。為估計模型參數(shù)，考慮優(yōu)化問題：

(23)

Takeuchi等[15]使用式(14)所示的非對稱函數(shù)ρτ(u)替換對稱懲罰函數(shù)V(u)，提出了支持向量分位數(shù)回歸(SVQR)模型：

Yt=w′(τ)φ(Xt)+b(τ)+εt

(24)

式中，τ為分位點(diǎn)；待估計參數(shù)w(τ),b(τ)依賴于分位點(diǎn)τ變化。在SVQR模型中，由于非線性映射φ(·)的作用，可以度量解釋變量對響應(yīng)變量整個條件分布的非線性影響。

在Taylor[9-10]的研究工作中，發(fā)現(xiàn)持有期k與波動率σt+1對多期收益分布既存在線性影響成分也存在非線性影響成分，從而對多期VaR既存在線性影響也存在非線性影響。為此，在利用SVQR模型進(jìn)行多期VaR風(fēng)險測度時，可以將線性成分從非線性映射φ(Xt)中剝離出來，記為Ut，建立同時包含線性成分與非線性成分的SVQR模型

Yt=w′(τ)φ(Xt)+β′(τ)Ut+b(τ)+εt

(25)

式中，w(τ),β(τ),b(τ)為等估計參數(shù)，可以通過優(yōu)化問題：

(26)

(27)

4 應(yīng)用研究

4.1 數(shù)據(jù)選取

本文選取深證綜合指數(shù)(SZSE)、香港恒生指數(shù)(HSI)和標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)(SP500)的日收盤價作為研究對象，為計算VaR風(fēng)險測度失敗率的方便，固定各期收益的樣本量為400，確定SZSE的樣本區(qū)間為：2011年1月19日—2012年9月28日、HSI和SP500的樣本區(qū)間為：2011年2月8日—2012年9月28日。所有數(shù)據(jù)均來自銳思數(shù)據(jù)庫，SVQR模型的計算使用了Matlab軟件，其余計算及圖表均在R軟件下制作完成。限于篇幅，本文略去了部分圖表，讀者可以索取。

由前文的討論可知，多期VaR風(fēng)險測度主要取決于持有期k和單期收益向前一步波動率估計σt+1。為此，首先對單期收益進(jìn)行統(tǒng)計分析與波動率估計。三個股票指數(shù)單期收益序列的基本統(tǒng)計特征計算(結(jié)果略)顯示：(1)偏度系數(shù)為負(fù)，收益序列都呈現(xiàn)左偏特征；(2)峰度系數(shù)大于3，收益序列呈現(xiàn)高峰特征；(3)J-B檢驗在5%顯著性水平下，拒絕了正態(tài)分布假定；(4)LM檢驗在10%顯著性水平下顯著，認(rèn)為收益序列存在條件異方差行為。這些基本統(tǒng)計特征，為本文使用有偏、厚尾的GARCH模型對收益序列進(jìn)行波動率估計，提供了基礎(chǔ)信息。

4.2 模型估計

首先，建立波動模型，進(jìn)行波動率估計。對三個股指的單期收益序列建立GARCH類模型，模型參數(shù)估計結(jié)果(結(jié)果略)顯示，各個GARCH模型中回歸系數(shù)滿足α0≈0且α1+β1≈1，表明RiskMetrics使用EWMA模型做波動率估計有一定的道理，但這并不意味利用“時間方根準(zhǔn)則”進(jìn)行多期VaR風(fēng)險測度同樣準(zhǔn)確。為比較不同波動模型對多期VaR風(fēng)險測度的影響，本文以EWMA模型作為對比的基準(zhǔn)，選取權(quán)重α=0.94。限于篇幅，這里省略了基于EWMA模型和GARCH類模型波動率估計結(jié)果的報告。

其次，分別建立QRNN模型與SVQR模型。輸出變量或被解釋變量為多期收益組成的收益序列向量，輸入變量或解釋變量主要有：第一，持有時期序列組成的向量；第二，單期收益向前一步估計序列組成的向量。根據(jù)Taylor[10]和Chen等[22]的研究，本文取持有期k為1、3、5、7、10、12、15，建立數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)如下:

(29)

式中，r′k=(r1,k,r2,k,…,rT,k)為k期收益序列；1′=(1,1,…,1)為1向量；σ′t+1=(σ1+1,σ2+1,…,σT+1)為單期收益向前一步波動估計序列。對于收益序列，王鵬等[23]使用左尾分位數(shù)對應(yīng)多頭頭寸。為得到95%與99%置信水平下的多期VaR風(fēng)險測度結(jié)果，選擇τ=5%,1%兩個分位點(diǎn)進(jìn)行分位數(shù)回歸。

在QRNN模型建立中，輸入層的輸入變量取持有期k序列和波動率估計σ序列、輸出層的輸出變量取收益r序列、隱層轉(zhuǎn)換函數(shù)選擇sigmoid函數(shù)、輸出層轉(zhuǎn)換函數(shù)選擇等值函數(shù)。如果使用EWMA模型得到的波動率估計，本文稱之為：QRNN+EWMA模型，以此類推。實證中，采用5重交叉驗證，根據(jù)最小RMSE值對應(yīng)的n和λ，選取最優(yōu)的隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)目和懲罰參數(shù)(結(jié)果略)。繼而依據(jù)權(quán)重參數(shù)訓(xùn)練(結(jié)果略)，建立QRNN模型，一次性完成7個持有時期VaR風(fēng)險測度。

4.3 多期VaR風(fēng)險測度

在獲得單期收益向前一步波動率估計之后，可以有三類方案進(jìn)行多期VaR風(fēng)險測度。第一類為波動模型法，直接由波動模型依據(jù)式(11)得到多期VaR風(fēng)險測度。第二類為QRNN+波動模型法，以持有期序列和單期收益向前一步波動率估計序列作為輸入變量，以多期收益序列作為輸出變量建立QRNN模型，依據(jù)式(21)得到多期VaR風(fēng)險測度。第三類為SVQR+波動模型法，以持有期序列和單期收益向前一步波動率估計序列作為解釋變量，以多期收益序列作為被變量建立SVQR模型，依據(jù)式(28)得到多期VaR風(fēng)險測度。

本文使用上述三類方案共計18種模型，對置信水平為95%和99%時的多期VaR風(fēng)險進(jìn)行了測度。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，在不同置信水平下、不同持有時期，研究結(jié)論基本相同，概括如下：

(1)不同測度方案顯著影響多期VaR風(fēng)險測度效果。由多期VaR測度結(jié)果(圖形略)可以看出，基于波動模型的VaR風(fēng)險測度結(jié)果的走勢與收益率的變化趨勢雖然大體相同，但是其波動性不甚明顯，有時甚至趨于一個常數(shù)；而基于QRNN+波動模型、SVQR+波動模型的VaR曲線變化和波動情況與收益率更為接近，充分地體現(xiàn)出收益率的時變性。(2)不同波動模型或波動率估計方法顯著影響多期VaR風(fēng)險測度效果。在正態(tài)分布假定下，SVQR+EWMA模型對VaR估計結(jié)果的波動性要強(qiáng)于QRNN+EWMA模型，而SVQR+GARCH_N模型對VaR的測度結(jié)果體現(xiàn)出的波動性弱于QRNN+GARCH_N模型。在t分布和St分布的假定下，對比基于GARCH_t模型和GARCH_St模型，雖然t分布很好的刻畫了收益率時間序列的尖峰厚尾特征，但是過于高估了VaR風(fēng)險。比較而言，同時考慮收益率峰度和偏度的St分布，緩解了t分布過于高估VaR的問題，VaR的測度結(jié)果與實際的收益率損失較為接近。此外，SVQR+GARCH_t與SVQR+GARCH_St測度結(jié)果差別不明顯，而QRNN+GARCH_t與QRNN+GARCH_St模型對VaR測度存在一定差別。在GED分布和SGED分布的假定下，SVQR+GARCH_SGED模型所得的VaR測度結(jié)果貼近收益率的變化趨勢，優(yōu)于其它各模型。

為比較多期VaR風(fēng)險測度效果，本文給出其評價準(zhǔn)則，定義置信水平(1-τ)、持有期為k的多期VaR風(fēng)險測度失敗率為:

(30)

式中，Nk表示k期VaR風(fēng)險測度失敗次數(shù)；I(·)為指示函數(shù)。根據(jù)VaR的定義，在置信水平(1-τ)下，一個合理的VaR測度模型得到的期望失敗率應(yīng)為τ，即H0:pk=τ。因此，失敗率pk是一個適度指標(biāo)，若H1:pk>τ，表明模型低估了VaR風(fēng)險；若H1:pk<τ，表明模型高估了VaR風(fēng)險?？梢允褂肒upiec[24]的似然比檢驗:

LRk=2ln[(1-pk)(T-Nk)(pk)Nk]-2ln[(1-τ)(T-Nk)(τ)Nk]

(31)

對多期VaR風(fēng)險測度效果進(jìn)行回測檢驗(backtesting)。式中，在H0成立時，似然比統(tǒng)計量LRk服從自由度為1的卡方分布；k為不同的持有期，能夠得到一組似然比檢驗結(jié)果。一個好VaR模型，不僅要求實際失敗率與預(yù)期失敗率一致，而且要求失敗序列是相互獨(dú)立的，即VaR失敗事件之間不具有明顯的聚集性。為此，Christoffersen[25]提出條件覆蓋檢驗彌補(bǔ)似然比檢驗的不足，更好地檢驗VaR風(fēng)險測度效果。為進(jìn)一步刻畫實際失敗率pk與期望失敗率τ之間的偏差程度，定義多期VaR風(fēng)險測度平均誤差:

(32)

本文對三個股指在置信水平為95%和99%下各模型測算的多期VaR進(jìn)行了似然比檢驗和條件覆蓋檢驗。由于結(jié)論基本一致，表1只報告了深證綜合指數(shù)VaR回測檢驗與模型選擇結(jié)果，可以概括如下：

(1)波動模型選擇對多期VaR風(fēng)險測度效果存在顯著影響，這一差異效果可以被分位數(shù)回歸“抹平”。對比各測度方法在各期VaR風(fēng)險測度上的表現(xiàn)，波動模型法中同時考慮了峰度和偏度的GARCH_St和GARCH_SGED模型對VaR測度的失敗率與其理論水平接近，優(yōu)于其它波動模型，表明波動模型選擇能夠可以影響到VaR風(fēng)險測度效果，95%與99%置信水平下所得平均誤差的極差分別為：0.47和0.35、1.32和0.57、1.89和0.39。不過，在結(jié)合了分位數(shù)回歸分析方法之后，QRNN+波動模型法所得平均誤差的極差分別為：0.18和0.14、0.15和0.22、0.15和0.10，而SVQR+波動模型法所得平均誤差的極差分別為：0.10和0.14、0.29和0.07、0.18和0.11，明顯地減小了平均誤差的極差。這一結(jié)果表明，分位數(shù)回歸可以減小不同波動模型選擇而引起的偏差，提高VaR風(fēng)險測度的準(zhǔn)度與精度，能夠極大地降低由于波動模型誤設(shè)帶來的風(fēng)險。

(2)基于分位數(shù)回歸的VaR風(fēng)險測度方法具有較強(qiáng)的穩(wěn)健性，特別適合于多期VaR風(fēng)險測度。隨著持有期k的遞增，基于波動模型的VaR風(fēng)險測度效果極不穩(wěn)定，其失敗率往往大幅偏離理論值5%或1%，要么高估、要么低估VaR值，且條件覆蓋檢驗結(jié)果越容易失敗。而基于QRNN+波動模型及SVQR+波動模型給出的多期VaR風(fēng)險測度效果基本不受持有期的影響，其失敗率大致穩(wěn)定在理論值5%或1%左右。特別地，SVQR+GARCH類模型在99%置信水平下對標(biāo)準(zhǔn)普爾指數(shù)500持有期為10、12、15的VaR測度所得失敗率與其理論值1%完全一致。

(3)在多期VaR風(fēng)險測度中，SVQR+波動模型法略優(yōu)于QRNN+波動模型法，并且兩者顯著優(yōu)于波動模型法。無論在95%還是99%置信水平下，QRNN+波動模型、SVQR+波動模型比直接使用波動模型法給出的VaR風(fēng)險測度的平均誤差均要低，有的甚至達(dá)到兩個數(shù)量級。條件覆蓋檢驗結(jié)果絕大多數(shù)都不顯著，只是在少數(shù)的多期(如：k=15)才有部分顯著，表明基于QRNN+波動模型法、SVQR+波動模型法得到的VaR測度效果優(yōu)于波動模型法。此外，大多數(shù)情況下，SVQR+波動模型法所得VaR風(fēng)險測度平均誤差要低于QRNN+波動模型法。就顯著次數(shù)而言，SVQR+波動模型法與QRNN+波動模型法的顯著次數(shù)都為0，明顯少于波動模型法。推薦使用結(jié)果顯示，SVQR+波動模型法推薦9次、QRNN+波動模型法推薦3次、波動模型法推薦0次。特別地，在99%水平下，SVQR+GARCH_SGED模型對深證綜合指數(shù)多期VaR風(fēng)險測度、SVQR+GARCH_St模型對標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)多期VaR風(fēng)險測度，所得平均誤差都為0，表現(xiàn)優(yōu)異。

5 結(jié)語

研究表明，多期VaR風(fēng)險測度與持有期及單期收益向前一步波動率這兩個變量之間存在復(fù)雜函數(shù)關(guān)系，很難得到RiskMetrics方法提及的“時間方根準(zhǔn)則”。非線性分位數(shù)回歸模型：QRNN與SVQR，無需對函數(shù)形式進(jìn)行具體設(shè)定，就可以揭示解釋變量對響應(yīng)變量整個條件分布的非線性影響關(guān)系，特別適合應(yīng)用于多期VaR風(fēng)險測度。結(jié)合波動模型與非線性分位數(shù)回歸方法，本文給出了多期VaR風(fēng)險測度的三類方案，第一，波動模型法；第二，QRNN+波動模型法；第三，SVQR+波動模型法?？紤]了6種不同形式波動模型，以適應(yīng)金融市場波動聚集、厚尾、非對稱等典型特征要求，得到了18個多期VaR風(fēng)險測度方法。

選取深證綜合指數(shù)、香港恒生指數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)作為研究對象，對18個多期VaR風(fēng)險測度方法的測度效果進(jìn)行了實證比較，實證結(jié)果表明：(1)在多期VaR風(fēng)險測度中，只需提供持有期和單期收益向前一步波動率估計這兩個變量，并且不同的波動率估計方法，影響到多期VaR風(fēng)險測度效果，不過這一差異效果可以被分位數(shù)回歸“抹平”。(2)隨著持有時期k的增加，基于波動模型法給出的VaR風(fēng)險測度失敗率顯著增加，而SVQR+波動模型法、QRNN+波動模型法所得的失敗率基本不變，具有較強(qiáng)的穩(wěn)健性，適合于多期VaR風(fēng)險測度。(3)在各期VaR風(fēng)險測度的整體表現(xiàn)上，就平均誤差而言，SVQR+波動模型法略優(yōu)于QRNN+波動模型法，并且兩者顯著優(yōu)于波動模型法，主要原因在于QRNN模型與SVQR模型對收益數(shù)據(jù)分布特征并無具體要求。由于持有期與波動率對多期VaR既存在線性影響也存在非線性影響，而SVQR模型可以同時考慮線性及非線性影響模式，在多期VaR風(fēng)險測度中，其表現(xiàn)略優(yōu)于QRNN模型。

注：(1)*表示似然比檢驗在5%顯著性水平下顯著；(2)#表示條件覆蓋檢驗在1%顯著性水平下顯著；(3)顯著次數(shù)為在7個持有期(1、3、5、7、10、12、15)中似然比檢驗顯著次數(shù)合計；(4)根據(jù)平均誤差最小和顯著次數(shù)最少，推薦使用多期VaR風(fēng)險測度方法，用“√”表示。

為此，建議金融機(jī)構(gòu)可以按照下面的流程進(jìn)行多期VaR風(fēng)險測度，以期取得滿意的測度結(jié)果。首先，選擇恰當(dāng)?shù)牟▌幽Ｐ?，給出單期收益向前一步波動率估計。其次，以持有期和波動率估計作為輸入，以多期收益作為輸出，建立QRNN模型及SVQR模型，并得到多個多期VaR風(fēng)險測度結(jié)果。最后，將多個多期VaR風(fēng)險測度結(jié)果進(jìn)行綜合集成，提高多期VaR風(fēng)險測度的準(zhǔn)度與精度。

[1] Jorion P. Value at risk: The new benchmark for managing financial risk[M]. New York: McGraw-Hill. 2007.

[2] Morgan J, Riskmetrics: Technical document[R]. Working Paper, Morgan Guaranty Trust Company of New York, 1996.

[3] Koenker R, Bassett G W. Regression quantiles[J]. Econometrica, 1978, 46(1): 33-50.

[4] Taylor J W. Using exponentially weighted quantile regression to estimate value at risk and expected shortfall[J]. Journal of Financial Econometrics, 2008, 6(3): 382-406.

[5] 張瑞鋒, 張世英, 唐勇. 金融市場波動溢出分析及實證研究[J]. 中國管理科學(xué), 2006, 14(5): 14-22.

[6] 史金鳳, 劉維奇, 楊威. 基于分位數(shù)回歸的金融市場穩(wěn)定性檢驗[J]. 中國管理科學(xué), 2011, 19(2): 24-29.

[7] 許啟發(fā), 蔣翠俠. 分位數(shù)局部調(diào)整模型及應(yīng)用[J]. 數(shù)量經(jīng)濟(jì)技術(shù)經(jīng)濟(jì)研究, 2011, 28(8): 115-133.

[8] 陳磊, 曾勇, 杜化宇. 石油期貨收益率的分位數(shù)建模及其影響因素分析[J]. 中國管理科學(xué), 2012, 20(3): 35-40.

[9] Taylor J W. A quantile regression approach to estimating the distribution of multiperiod returns[J]. Journal of Derivatives, 1999, 7(1): 64-78.

[10] Taylor J W. A quantile regression neural network approach to estimating the conditional density of multiperiod returns[J]. Journal of Forecasting, 2000, 19(4): 299-311.

[11] White H. Nonparametric estimation of conditional quantiles using neural networks[M]. New York: Computing Science and Statistics, 1992.

[12] Feng Yijia, Li Runze, Sudjianto A,etal. Robust neural network with applications to credit portfolio data analysis[J]. Statistics and its interface, 2010, 3(4): 437-444.

[13] Cannon A J. Quantile regression neural networks: Implementation in R and application to precipitation downscaling[J]. Computers & Geosciences, 2011, 37(9): 1277-1284.

[14] Cannon A J. Neural networks for probabilistic environmental prediction: Conditional density estimation network creation and evaluation (CaDENCE) in R[J]. Computers & Geosciences, 2012, 41(4): 126-135.

[15] Takeuchi I, Furuhashi T. Non-crossing quantile regressions by SVM[C]. Proceedings of 2004 IEEE International Joint Conference on Neural Networks, Budapest,Hungary,July 25-29,2004.

[16] Li Youjuan, Liu Yufeng, Zhu Ji. Quantile regression in reproducing kernel Hilbert spaces[J]. Journal of the American Statistical Association, 2007, 102(477): 255-268.

[17] Shim J, Kim Y, Lee J, et al. Estimating value at risk with semiparametric support vector quantile regression[J]. Computational Statistics, 2012, 27(4): 685-700.

[18] Bollerslev T. Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity[J]. Journal of Econometrics, 1986, 31(3): 307-327.

[19] Vapnik V N. The nature of statistical learning theory[M]. New York: Springer, 1995.

[20] Huber P J. Robust estimation of a location parameter[J]. Annals of Mathematical Statistics, 1964, 35(1): 73-101.

[21] Yuan Ming. GACV for quantile smoothing splines[J]. Computational Statistics and Data Analysis, 2006, 50(3): 813-829.

[22] Chen Meiyuan, Chen J E. Application of quantile regression to estimation of value at risk[R]. Working Paper, National Chung-Cheng University, 2002.

[23] 王鵬, 魏宇. 中國燃油期貨市場的 VaR 與 ES 風(fēng)險度量[J]. 中國管理科學(xué), 2012, 20(6): 1-8.

[24] Kupiec P. Techniques for verifying the accuracy of risk measurement models[J]. Journal of Derivatives, 1995, 3(2): 73-84.

[25] Christoffersen P F. Evaluating interval forecasts[J]. International Economic Review, 1998, 39(4): 841-862.

Evaluating Multiperiod VaR via Nonlinear Quantile Regression Model

XU Qi-fa1,2, ZHANG Jin-xiu1, JIANG Cui-xia1

(1. School of Management, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China；2. Key Laboratory of Process Optimization and Intelligent Decision-making, Ministry of Education, Hefei 230009, China)

The stylized facts of financial markets，such as volatility clustering, fat tail and asymmetry, make the multiperiod VaR do not comply with simple "rule of time root" in one period VaR measure. Therefore, a more reasonable method is need to seek to evaluate multiperiod VaR accurately. Multiperiod VaR is mainly influenced by two variables, i.e. holding period and volatility. To determine the impact model (linear or nonlinear) of the two variables is essential for evaluating VaR accurately. Nonlinear quantile regression model, overcoming the limitations of the linear quantile regression model in describing linear dependence between multiperiod VaR and its influencing factors, can be used to improve the accuracy of VaR. Three types of methods, volatility model, QRNN+volatility model, and SVQR+volatility model, for evaluating multiperiod VaR has been proposed in this paper based on volatility modeling and nonlinear quantile regression method. For empirical application, three stock price indices are selected: Shenzhen Composite Index, Hang Seng Index and S&P 500 from 19 Jan. 2011 to 28 Sep. 2012. Six different volatility models are considered and two types of nonlinear quantile regression models are combined with them. As a result, the 18 kinds of methods in multiperiod VaR measure are compared together. The empirical results show that volatility model has an influence on the effect of multiperiod VaR measure. In terms of the accuracy of VaR measure, the SVQR+volatility model is slightly better than QRNN+volatility model, and both of them are superior to the volatility model. The good performance of the nonlinear quantile regression models in VaR evaluation comes from the fact that the QRNN and SVQR models belong to nonparametric methods. They have the ability to discover a complex nonlinear relationship among variables without specifying a explicit functional form. This property is very useful for exploring the unknown relation among financial variables.

quantile regression; multiperiod VaR; nonlinear; neural network; support vector machine

2013-06-13；

2014-01-20

國家自然科學(xué)基金資助項目(71071087，70901048)；高等學(xué)校全國優(yōu)秀博士學(xué)位論文作者專項資金資助項目(200982)；教育部人文社會科學(xué)研究規(guī)劃基金項目(14YJA790015)

許啟發(fā)(1975-)，男(漢族)，安徽和縣人，合肥工業(yè)大學(xué)管理學(xué)院，教授，博士，研究方向：金融計量、數(shù)量經(jīng)濟(jì).

1003-207(2015)03-0056-10

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2015.03.007

F224.0

A