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    一類向量似變分不等式問題

    2015-04-24 05:17:22薛建明
    服裝學(xué)報(bào) 2015年2期
    關(guān)鍵詞:集值廣義單調(diào)

    張 娟,薛建明

    (昆明理工大學(xué)津橋?qū)W院工學(xué)系,云南昆明650106)

    近些年,凸的概念已經(jīng)從很多角度得到了推廣和延伸[1-3]。Karamardian等于1990年證明了函數(shù)的廣義凸與它們的梯度函數(shù)的單調(diào)性是等價(jià)的,并指出廣義單調(diào)在變分不等式問題中的作用與目標(biāo)函數(shù)的廣義凸性在數(shù)學(xué)規(guī)劃中的作用是相同的。

    Ali Farajzadeh等[4]在可度量化的拓?fù)湎蛄靠臻g中建立了向量似變分不等式問題與向量優(yōu)化問題之間的等價(jià)性,但其中所涉及的函數(shù)都是偽-invex的。YANG X M等[5]在空間Rn中給出了函數(shù)的廣義凸與它們的梯度函數(shù)的廣義單調(diào)之間的一系列關(guān)系。

    文中在可度量化的拓?fù)湎蛄靠臻g中給出了Univexity,偽 -univexity及擬 -univexity等一類比invex函數(shù)更廣的函數(shù)的概念,并在偽-univexity的假設(shè)下得到了類似文獻(xiàn)[4]中的結(jié)果。

    1 預(yù)備知識(shí)

    設(shè)X是一可度量化的拓?fù)湎蛄靠臻g。記X上的度量為d,其中d滿足條件:d(x+z,y+z)=d(x,y),d(tx,0)=td(x,0),?x,y,z∈ X,t > 0。

    定義 1[4]稱函數(shù) f:X→ R在 x∈ X附近是M-Lipschitz,若存在一常數(shù) M > 0,使得

    |f(y)- f(z)|≤ Md(y,z),

    其中,y,z為x的某一鄰域的任意點(diǎn)。稱函數(shù)f:X→R在X上是局部Lipschitz的,若它在X的每一點(diǎn)附近都是Lipschitz的。

    定義2[4]如果函數(shù) f:X→ R在 x∈ X附近是Lipschitz的,則函數(shù)f在x∈X沿著方向v∈X的Clarke廣義導(dǎo)數(shù)定義如下:

    定義3[4]函數(shù)f:X→R在x∈X的Clarke廣義梯度定義如下:

    ?f(x)={ξ∈ X*:〈ξ,v〉≤ f°(x;v),?v∈ X}。因此,對?v∈X

    f°(x;v)=max{〈ξ,v〉:ξ∈ ?f(x)}。這些定義和性質(zhì)可以被推廣到局部Lipschitz的向量值函數(shù)f:X→Rp。記fi(i=1,…,p)為f的分量,則f在x∈X點(diǎn)的Clarke廣義梯度是集合

    ?f(x)=?f1(x)× ?f2(x)× … × ?fp(x)。

    下面給出文獻(xiàn)[5-8]中Univexity以及單調(diào)性的推廣。

    定義4 設(shè)X0是X的一非空子集。稱X0在u關(guān)于η:X0×X0→X是invex的,若對任意x∈X及λ∈[0,1],有 u+ λη(x,u)∈ X0。

    稱X0關(guān)于η:X0×X0→X是invex的,若X0在每一點(diǎn)都是invex的。

    定義5 稱非光滑函數(shù)f:X0?X→R

    1)關(guān)于η,φ及k是univex的,若存在函數(shù)η:X0×X0→X,φ:R→R及k:X0×X0→R+,使得

    k(y,x)φ[f(y)- f(x)]≥〈ξ,η(y,x)〉,?x,y ∈ X0,?ξ∈ ?f(x);

    2)關(guān)于η,φ及k是嚴(yán)格univex的,若存在函數(shù)η:X0×X0→X,φ:R→R及k:X0×X0→R+,使得

    k(y,x)φ[f(y)- f(x)] > 〈ξ,η(y,x)〉,?x,y ∈ X0,x ≠ y,?ξ∈ ?f(x);

    3)關(guān)于η,φ及k是 (嚴(yán)格)偽-univex的,若存在函數(shù)η:X0×X0→X,φ:R→R及k:X0×X0→R+,使得

    k(y,x)φ[f(y)- f(x)](≤)< 0?〈ξ,η(y,x)〉< 0,?x,y∈ X0,?ξ∈ ?f(x);

    4)關(guān)于η,φ及k是擬-univex的,若存在函數(shù)η:X0×X0→X,φ:R→R及k:X0×X0→R+,使得

    k(y,x)φ[f(y)- f(x)]≤ 0?〈ξ,η(y,x)〉≤ 0,?x,y∈ X0,?ξ∈ ?f(x);

    5)關(guān)于η,φ及k是強(qiáng)偽-univex的,若存在函數(shù)η:X0×X0→X,φ:R→R,k:X0×X0→R+及常數(shù)α >0,使得

    〈ξ,η(y,x)〉≥0?k(y,x)φ[f(y)- f(x)]≥α‖η(y,x)‖,?x,y∈ X0,?ξ∈ ?f(x)。

    例1[8]Univex函數(shù)是比invex函數(shù)更廣的一類函數(shù),如:

    設(shè) f(y)=y3,?y∈ R,φ(a)=3a,?a ∈ R,

    則f是 univex的,但不是 invex的[4]。這是因?yàn)閷= - 3,x=1,f(y)- f(x)< ▽f(x)η(y,x)。

    例2[8]偽-Univex函數(shù)是比Univex函數(shù)更廣的一類函數(shù),如:

    則f是偽-univex的,但不是univex的。這是因?yàn)閷?/p>

    ▽f(x)η(y,x)> k(y,x)φ[f(y)- f(x)]。

    條件A[7]設(shè)η:X0× X0→X,則對?x,y∈X0及 λ ∈[0,1],

    η(y,y+ λη(x,y))= - λη(x,y),η(x,y+ λη(x,y))=(1 - λ)η(x,y)。

    顯然,由條件A知,有

    η(y+ λη(x,y),y)= λη(x,y)。

    定義6 設(shè)X0是X中關(guān)于η:X0×X0→X的invex集。稱集值映射F:X0→2X0在X0上關(guān)于η是(嚴(yán)格)偽 -invex單調(diào)的,若

    〈F(x),η(y,x)〉≥0?〈F(y),η(y,x)〉(>)≥0,

    ?x,y ∈ X0,x ≠ y。

    定義7 設(shè)X0是X中關(guān)于η:X0×X0→X的invex集。稱集值映射 F:X0→2X0在 X0上關(guān)于 η是擬-invex單調(diào)的,若

    〈F(x),η(y,x)〉> 0?〈F(y),η(y,x)〉≥0,?x,y ∈ X0,x ≠ y。

    定義8 設(shè)X0是X中關(guān)于η:X0×X0→X的invex集。稱集值映射F:X0→2X0在X0上關(guān)于η是強(qiáng)偽-invex單調(diào)的,若存在一常數(shù)β>0,使得

    〈F(x),η(y,x)〉≥ 0?〈F(y),η(y,x)〉≥β‖η(y,x)‖,?x,y ∈ X0,x ≠ y。

    2 非光滑univex函數(shù)的刻畫

    將文獻(xiàn)[9]中得到的結(jié)果推廣至可度量化的拓?fù)湎蛄靠臻g中的非光滑的情形。假設(shè)X0是X中的非空invex集。定理1 假設(shè)

    1)X0是X中關(guān)于η的開invex集;

    2)η滿足條件A;

    4)集值映射 ?f在 X0上關(guān)于 η,φ 及 k是偽-invex單調(diào)的,

    則f在X0上關(guān)于η,φ及k是偽-univex的。證 設(shè) x,y∈ X0,x≠ y使得

    下證 k(x,y)φ[f(x)- f(y)]≥0。

    假設(shè)上述不等式不成立,即

    因?yàn)?f在X0上關(guān)于η是偽-invex單調(diào)的,由式(4)得,對某一∈(0,1),有

    這與式(1)矛盾。因此,f在 X0上關(guān)于 η,φ及是偽-univex的。定理2 假設(shè)

    1)X0是X中關(guān)于η的開invex集;

    2)η滿足條件A;

    4)集值映射?f在X0上關(guān)于η,φ及k是嚴(yán)格偽-invex單調(diào)的,則f在X0上關(guān)于η,φ及k是嚴(yán)格偽 -univex 的。

    證 結(jié)合嚴(yán)格偽-univex的定義及條件1)~4),按照定理1的方法即可證得定理2成立。

    定理3 假設(shè)

    1)X0是X中關(guān)于η的開invex集;

    2)η滿足條件A;

    4)集值映射 ?f在 X0上關(guān)于 η,φ 及 k是擬-invex單調(diào)的,則 f在 X0上關(guān)于 η,φ及 k是擬 -univex 的。

    證 假設(shè)f在X0上關(guān)于η,φ及k不是擬-univex的,則存在 x,y ∈ X0,使得

    由條件A,有

    因?yàn)榧涤成?f在X0上關(guān)于η,φ及k是擬-invex單調(diào)的,由(10),有

    這與式(7)矛盾。因此,f在 X0上關(guān)于η,φ及k是擬 -univex 的。定理4 假設(shè)

    1)X0是X中關(guān)于η的開invex集;

    2)η滿足條件A;

    4)集值映射 ?f在 X0上關(guān)于 η,φ 及 k是強(qiáng)偽-invex單調(diào)的,則 f在 X0上關(guān)于 η,φ及k是強(qiáng)偽-univex的。

    證 設(shè) x,y∈ X0,使得

    由條件A及假設(shè)1),有

    由集值映射?f在X0上關(guān)于η,φ及k是強(qiáng)偽-invex單調(diào)的,存在常數(shù)β>0,使得

    再由假設(shè)3)及k(x,y)>0,有

    因此,f在X0上關(guān)于η,φ及k是強(qiáng)偽-univex的。

    3 向量似變分不等式與向量優(yōu)化問題的關(guān)系

    考慮如下向量優(yōu)化問題:

    (NVOP)Minimize f(x)=(f1(x),…,fp(x))Subject to x∈X0,

    其中fi:X0→R,i=1,…,p為非光滑局部Lipshcitz函數(shù)。

    同時(shí),考慮下面的似變分不等式問題:(GVVLIP)非光滑向量似變分不等式問題就是找到一個(gè)點(diǎn)y∈X0,且對?ξ∈?f(y),不存在x∈X0,使得〈ξ,η(x,y)〉≤0。(GWVVLIP)非光滑弱向量似變分不等式問題就是找到一個(gè)點(diǎn) y∈ X0,且對 ?ξ∈ ?f(y),不存在x∈X0,使得〈ξ,η(x,y)〉< 0。

    在非光滑univextiy的假設(shè)下,文中將推廣文獻(xiàn)[4]中的結(jié)果。定理5 假設(shè)

    1)X0是X中的非空invex集;

    2)f在X0上關(guān)于η,φ及k是非光滑univex的;

    3)φ(a)≤0,當(dāng)且僅當(dāng)a≤0;

    由式(12)及假設(shè)3),有

    k(y,x)φ[fi(y)-fi()]≤0,i=1,…,p。又f關(guān)于η,φ及k是非光滑univex的,因此存在y∈X0,使得

    定理6 假設(shè)

    1)X0是X中的非空invex集;

    2)-f在X0上關(guān)于η,φ及k是嚴(yán)格-univex的;

    3)φ(a)<0,當(dāng)且僅當(dāng)a<0;

    由 -f在X0上關(guān)于η,φ及k是嚴(yán)格-univex的,有

    又由式12)有

    這與假設(shè)(4)矛盾。

    由于(NVOP)的每一個(gè)有效解都是其弱有效解,因此由定理6有如下結(jié)論:推論1 假設(shè)

    1)X0是X中的非空invex集;

    2)-f在X0上關(guān)于η,φ及k是嚴(yán)格-univex的;

    3)φ(a)<0,當(dāng)且僅當(dāng)a<0;

    1)X0是X中的非空invex集;

    反之,若

    3)f在X0上關(guān)于η,φ及k,是嚴(yán)格偽-univex的;

    4)φ(a)≤0,當(dāng)且僅當(dāng)a≤0;

    因此,不存在y∈X0,使得

    再由假設(shè)4),有

    又f=(f1,…,fp)在 X0上關(guān)于 η,φ 及 k是嚴(yán)格偽-univex的,因此存在y∈X0,使得

    定理8 假設(shè)

    1)X0是X中的非空invex集;

    2)f在 X0上關(guān)于 η,φ及 k是非光滑嚴(yán)格偽 -univex 的;

    3)φ(a)≤0,當(dāng)且僅當(dāng)a≤0;

    定理9 假設(shè)

    則所有的臨界點(diǎn)都是有效解,當(dāng)且僅當(dāng)f在X0上是嚴(yán)格偽-univex的。

    因此,

    又由式(13),有

    即不存在y∈X0,使得

    因此,

    再由式(13)知,不存在y∈X0,使得

    因此,f在X0上是嚴(yán)格偽-univex的。推論2 假設(shè)

    1)X0是X中的非空invex集。

    2)f在X0上關(guān)于η,φ及k是嚴(yán)格偽-univex的;

    3)φ(a)<0,當(dāng)且僅當(dāng)a <0;φ(a)≥0,當(dāng)且僅當(dāng)a≥0。

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