離散時間白噪聲信道中的維特比算法在VC中的實現(xiàn)＊

鄧國輝，李金武

(鄭州科技學院信息工程系，河南鄭州450064)

在實際的通信過程中，傳輸信息的信道的失真會引起信息比特間的干擾，如果不采取相應的措施，會產(chǎn)生較高的誤碼率，嚴重影響通信質(zhì)量，這在實際的通信過程是不能允許的。然而，在正常的通信過程中確實存在信息的傳輸信道失真問題，本文以減少由于信道失真引起的接收信號中的碼間串擾(ISI)為目的，具體分析了帶寬受到限制，存在失真且先驗未知以及具有AWGN條件下信道中的離散時間白噪聲信道中的設計問題。首先給出數(shù)學模型—等效離散時間信道模型，在將傳統(tǒng)的維特比(Viterbi)算法加載到信道上，得到上述條件下的維特比(Viterbi)算法具體表現(xiàn)形式。大大補償了存在碼間串擾(ISI)的信道的接收性能，降低了誤碼率。本篇采用離散時間白噪聲信道，即采用雙二進制信號脈沖傳輸四電平(M=4)PAM的等效離散時間信道模型，使用VC6.0對數(shù)學模型進行編程，并根據(jù)程序運行結(jié)果分析其性能。提出的帶寬受限，存在失真且先驗未知以及具有AWGN條件下信道的離散時間白噪聲信道(Viterbi)算法的實現(xiàn)，所得結(jié)論可為工程應用提供相應指導。

1 系統(tǒng)模型

在對于導致碼間串擾(ISI)的帶限信道的處理過程中，比較方便的做法是研究模擬(連續(xù)時間)系統(tǒng)的等效離散時間模型。信道可以建模為一個線性濾波器。即就是通過將表示為具有帶限頻率響應特性的線性濾波器，因為發(fā)送機以速度1/T符號/s發(fā)送離散時間符號，而且接受機中匹配濾波器的抽樣輸出也是離散時間信號，且具有速度為每秒1/T的樣值，因此發(fā)送機的沖擊響應為g(t)的模擬濾波器、沖擊響應為c(t)的信道、接收機的沖擊響應為h*(－t)的匹配濾波器和抽樣器的級聯(lián)結(jié)構(gòu)可以用抽頭增益系數(shù)為{xk}的等效時間離散橫向濾波器來表示。等效離散時間模型如下圖1所示。

圖1 具有碼間串擾的信道的等效離散時間模型

因此，在上圖中，序列{yn}通過數(shù)字濾波器1/F*(1/z*)導致一個輸出序列 vk為［1］［2］:

試中{nk}是一個高斯白噪聲序列，{fk}是傳遞函數(shù)為F(z)的等效離散時間橫向濾波器的一組抽頭系數(shù)，匹配濾波器、抽樣器和噪聲白化濾波器的級聯(lián)稱為白化匹配濾波器［6］［7］(WMF)

為了方便計算，將F(z)的能量歸一化為1，即:

F(z)的最小相位條件意味著，對每一個M值其沖激響應的頭M個樣值的能量最大。

2 離散時間白噪聲濾波器模型的維特比算法(Viterbi)的描述

信息序列{Ik}的MLSE是最容易由白化濾波器輸出端的接收序列{vk}描述的。存在碼間串擾且覆蓋L+1個符號(L個串擾分量)的情況下，MLSE準則等價為一個離散時間有限狀態(tài)機的狀態(tài)估計問題。該有限狀態(tài)機就是上面圖1的離散濾波模型，在k時刻，其狀態(tài)為:

式中k≤0時Ik=0。

既然狀態(tài)數(shù)為ML，因此可采用ML的狀態(tài)網(wǎng)格圖來表示該信道模型的狀態(tài)隨離散時間變化的狀態(tài)轉(zhuǎn)移情況，采用維特比算法可有效地計算出該網(wǎng)格的最大似然路徑，也即可得的最大似然序列的解碼。設通信開始時接收輸出樣值為:

計算ML+1個對數(shù)似然函數(shù)量度［2］:

對(5)式兩邊同時取對數(shù)得到下面的表達式為［2］:

上面之所以式計算ML+1個量度，是因為式中的條件概率的條件為 Ik，Ik－1，…Ik－L的種數(shù)為 ML+1個。

對于{ηk}為獨立高斯白噪聲的情況［4］，對于(1)式［1，2］的對數(shù)似然函數(shù)可表達為大概率密度函數(shù)的指數(shù)部分［1］［2］，利用(1)式有下列表達式:

于是:

3 維特比序列譯碼算法

將IL+1，IL，…I2I1共有ML+1個可能的序列劃分為ML組。這ML個狀態(tài)為IL+1，IL，…I2I1。而每組中序列共有M種可能性，取決于I1的不同。

在ML組中每組的M種可能序列中選擇概率最大者，對應的序列稱為幸存序列的量度為［2］:

舍去每組剩余的M－1個序列，保存幸存序列以及其量度，以便保留下來的幸存序列共ML個。

當接收到下一個新的vL+2時，這ML個幸存序列向后延伸一級，又得到了ML+1種可能的序列。利用前一次的計算的幸存序列量度和由于新收到的vL+2而獲得的新的增量來計算這ML+1種可能的序列的概率。

由于收到新增vL+2而獲得的新的增量為:

將這ML+1種可能的序列按照可能的狀態(tài)劃分為 ML組，每組中 M 個序列，這些序列在I2上不同，在每組中選擇一個最可能的序列作為幸存序列，其量度為［2］:

于是又得到了新的ML個幸存數(shù)列。

在不斷接收到新信號的過程中，每收到一個新的信號值，重復上述選擇幸存序列的過程并計算幸存序列的量度。

一般地，當接收到vL+k時，將ML+1種可能序列分為ML組，在每組中選擇一個幸存序列，并計算幸存序列的量度為［1］［2］:

因此，當接收到vL+k時，維特比算法需要計算下列ML+1個量度:

然后進行幸存序列的選擇。

維特比算法中，在計算第K時刻的幸存路徑(共ML條)時，我們將發(fā)現(xiàn)這些幸存路徑的K－5L以及更早時刻的位置處以概率1趨近于相同，因此，在K時刻對5L及以前的序列可以做判決。也即，維特比算法中，解碼延遲達到5L以后，這種準最佳過程所引起的性能損失可以不考慮。

4 算法仿真及性能分析

為了說明本文的算法，在這里采用采用雙二進制信號脈沖傳輸四電平［5］(M=4)PAM。因此，每一個符號是從集合{－3、－1、1、3}中選出的一個數(shù)，在這個部分響應信號中，假設已接受v1=I1+χ1，v2=I2+I1+ χ2，且{χi}是統(tǒng)計獨立零均值高斯噪聲?，F(xiàn)在可以計算16個度量(前兩層)。PM1=－，I2，I1=1、－1、3、－3。k≤0 時，Ik=0依次類推，將輸入的100個字符，經(jīng)過解碼器后，解出最佳結(jié)果。

維特比算法基本原理:從第二層開始，當I=3的時候，由于χ服從零均值高斯分布，在matlab中［3］，利用 randn(1，100)，產(chǎn)生 100 個零均值方差為1的隨機數(shù)，程序如下:

將其放到y(tǒng)ita的數(shù)組中，然后利用公式將產(chǎn)生的100個的隨機數(shù)分別代入，如當?shù)诙覫=3時候，將第一層中I的四個數(shù)值分別代入公式，然后PM中就會出現(xiàn)關于I1的函數(shù)，這時候共有4種可能性，將隨機數(shù)分別代入后，得到的最大值，所對應的路徑，此時就可以選定了I1的數(shù)值，同理令I2分別等于1、－1、－3，按照相同的方法可以選出I1的值，這樣前兩層的共有16個分支就可以淘汰12條了。

這個時候第一二層的這四個路徑對應了四個PM值，此時選第三層的時候，由于第二層現(xiàn)在有四個分支，每個分支又都是四條路，又是16條路，當I3=3的時候，將前面剩下的四條路分別按照相同的方法在代入(將對應的一個I2的值，所對應的PM值代入，此時共有四組)，選出此時的最大值，對照相應的路徑，就確定了一條路。然后I3分別等于1、－1、－3的時候，又都選定好了路，依次類推，推到第100層(本篇文章輸入的字符是100個，輸入成千上萬個字符一個道理)，這樣就又確定了四條路徑每一輪都是16里面選4個，最后要得到的是一條最佳路徑(即解碼出來的結(jié)果)，之所以每輪都留四條路是為了更加保險。

在VC6.0平臺下的程序運行流程圖如圖2所示。

圖2 程序流程圖

如果不加上噪聲的干擾，那么經(jīng)過解碼器后輸出來的結(jié)果肯定和原來的輸入完全一樣，否則肯定是錯的，在不加噪聲干擾的情況下，輸入字符經(jīng)過解碼器后，輸出的結(jié)果和輸入的完全一樣，見圖3。

圖3 不加噪聲干擾輸出結(jié)果圖

加上噪聲干擾之后，輸出的結(jié)果由于噪聲的存在會存在一定的誤差，這個誤差(即誤碼率)和所加的噪聲的大小有關，此時加入的是均值為0方差為1的隨機產(chǎn)生的100個字符的噪聲，輸出結(jié)果為圖4。

圖4 有噪聲下輸出結(jié)果圖

5 總結(jié)

從仿真結(jié)果來看，Viterbi譯碼算法可以降低檢測器對對系統(tǒng)信道質(zhì)量的要求，而且大大補償了存在碼間串擾(ISI)的信道接收性能，Viterbi譯碼算法對于信道特性無論好壞都是普遍適用的，且從錯誤概率上來看，是一種信道存在碼間串擾(ISI)的接收性能的最佳的補償方法，但是隨著噪聲干擾的增加，系統(tǒng)的性能也開始變差，傳輸能力下降，誤碼率增加。

［1］張力軍等譯.數(shù)字通信(第四版)［M］.北京:電子工業(yè)出版社，2010.

［2］邵玉斌編寫.數(shù)字通信(第四版)講義［M］.云南:昆明理工大學出版社，2005.

［3］邵玉斌.通信系統(tǒng)建模與仿真實例分析［M］.北京:清華大學出版社，2008.

［4］樊昌信，詹道庸，徐炳祥，等.通信原理［M］.北京:國防工業(yè)出版社，2000.

［5］王新梅，肖國鎮(zhèn).糾錯碼原理與方法［M］.西安:西安電子科技大學出版社，2001.

［6］張旭東，陸明泉.離散隨機信號處理［M］.北京:清華大學出版社，2006.

［7］趙樹杰，趙建勛.信號檢測與估計理論［M］.北京:清華大學出版社，2008.