EPDM絕熱層的粘超彈本構(gòu)模型①

張中水，陳 雄，周清春，杜紅英

(1.南京理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，南京 210094；2.晉西工業(yè)集團(tuán)技術(shù)研發(fā)中心，太原 030027)

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EPDM絕熱層的粘超彈本構(gòu)模型①

張中水1，陳 雄1，周清春1，杜紅英2

(1.南京理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，南京 210094；2.晉西工業(yè)集團(tuán)技術(shù)研發(fā)中心，太原 030027)

為了準(zhǔn)確描述固體火箭發(fā)動機(jī)內(nèi)三元乙丙(EPDM)絕熱層在有限變形下的力學(xué)特性，主要通過多步松弛和單軸拉伸2種實驗方法，獲得平衡響應(yīng)曲線和拉伸曲線。分別采用Ogden模型、Mooney-Rivlin模型，對平衡響應(yīng)曲線進(jìn)行擬合，并以此為基礎(chǔ)，引入應(yīng)變率參數(shù)μ來描述EPDM在單軸拉伸實驗中的率相關(guān)特性，從而建立了EPDM在準(zhǔn)靜態(tài)單軸拉伸條件下的本構(gòu)模型。研究結(jié)果表明，本文所建立的模型能很好地描述EPDM在準(zhǔn)靜態(tài)條件下的力學(xué)特性，通過該模型，也可在有限應(yīng)變率范圍內(nèi)預(yù)測EPDM的應(yīng)力響應(yīng)特性。

EPDM絕熱層；粘超彈；單軸拉伸；本構(gòu)模型

0 引言

體火箭發(fā)動機(jī)絕熱層位于殼體與藥柱之間，發(fā)動機(jī)工作時，推進(jìn)劑燃燒，產(chǎn)生大量高溫高壓燃?xì)?，絕熱層通過不斷分解、燒蝕消耗大部分熱量，從而避免了燃?xì)鈱Πl(fā)動機(jī)殼體的侵蝕。此外，絕熱層的熱膨脹系數(shù)介于推進(jìn)劑與殼體的熱膨脹系數(shù)之間，緩解了在生產(chǎn)、貯存和使用過程中，由于溫差較大而引起的殼體與推進(jìn)劑之間的擠壓與摩擦。

目前，國內(nèi)外有多種絕熱層材料，EPDM由于其密度小、比熱大、燒蝕率低、耐腐蝕和耐老化等特點，而得到廣泛應(yīng)用。但由于EPDM橡膠本身極性低、自粘性和互粘性能差，燒蝕和成碳性能有限，一般需要加入一定比例的填料和粘接劑，來提高其耐燒蝕性能和粘接性能。因此，EPDM橡膠作為絕熱層所需要的填料，以及粘接劑成分的選擇和復(fù)合，成為許多當(dāng)代學(xué)者主要研究的課題。張嘉蕙[1]提出，在EPDM中加入樹脂增粘劑，改善其粘接性能，加入玻璃、酚醛、碳等微球體作為填料，則可使EPDM作為絕熱層密度更低、更耐燒蝕。汪建麗等[2]提出在絕熱層中加入三溴化銻作為阻燃劑，促進(jìn)聚合物表面成碳，稀釋或隔斷與氧作用的同時，也可降低聚合物表面的溫度。

為保證固體火箭發(fā)動機(jī)絕熱層在運(yùn)輸、使用過程中，受到撞擊、熱應(yīng)力等外力條件下能保持結(jié)構(gòu)完整，要求絕熱層材料必須具有良好的力學(xué)性能。李冬等[3]對EPDM包覆層拉伸性能影響因素的實驗表明，在適當(dāng)?shù)睦焖俾氏?，材料鏈段運(yùn)動的松弛時間與拉伸速率相適應(yīng)，EPDM表現(xiàn)為一種粘超彈性能。Cheng和Chen[4]對EPDM在準(zhǔn)靜態(tài)條件下的Mullins效應(yīng)進(jìn)行了研究。研究表明，在常溫下，EPDM是一種粘超彈性材料，其率相關(guān)性可采用應(yīng)變率參數(shù)來進(jìn)行描述。目前，在構(gòu)造粘超彈性材料的本構(gòu)模型中，主要可采用以下兩種方法：一種是在超彈性本構(gòu)的基礎(chǔ)上，考慮參數(shù)的率相關(guān)性，從而建立粘超彈本構(gòu)模型[5-7]；另一種是用超彈性元件與粘彈性元件進(jìn)行串并聯(lián)組成的模型，該模型用于描述非填充與顆粒填充橡膠的率相關(guān)性[8-11]。

本文提出了一種新的方法，通過引入一個關(guān)于應(yīng)變率的參數(shù)函數(shù)，建立能夠描述EPDM在單軸拉伸實驗過程中的粘超彈本構(gòu)模型。經(jīng)擬合與計算，得到模型參數(shù)，通過該模型的建立，使得在有限范圍內(nèi)，可預(yù)測出EPDM在任一應(yīng)變率下的應(yīng)力應(yīng)變響應(yīng)。

1 實驗與結(jié)果分析

1.1 實驗材料及其制備

參照標(biāo)準(zhǔn)QJ 924—85，制備了厚度為6 mm的EPDM啞鈴型試件，尺寸如圖1所示(單位：mm)。實驗夾具采用該標(biāo)準(zhǔn)推薦的夾具，如圖2所示。

圖1 試件尺寸示意圖Fig.1 Diagram of specimens sizes

圖2 啞鈴型試件及夾具示意圖Fig.2 Diagram of dumbbell specimens and jig

實驗在微機(jī)控制電子萬能材料試驗機(jī)上完成，實驗環(huán)境溫度為15 ℃，相對濕度為40%。分別進(jìn)行了5組等速單軸拉伸實驗、多步松弛實驗以及驗證實驗。

1.2 實驗方法

在100 mm/min的速率下做多步松弛實驗，將試件每次拉伸2%，應(yīng)變保持600 s，重復(fù)進(jìn)行若干次，直至試件斷裂。將每次松弛后的應(yīng)力看作該應(yīng)變處應(yīng)力的平衡位置。依次連接各平衡應(yīng)力點，即可得到EPDM的平衡響應(yīng)曲線，如圖3所示。由于平衡響應(yīng)曲線是將材料松弛若干次之后得到的，因此可將其看作是EPDM超彈性部分的力學(xué)曲線[12]。

圖3 多步松弛實驗下的力學(xué)曲線Fig.3 Experimental date under multi-step relaxation

分別在應(yīng)變率為3.33×10-4、3.33×10-3、6.67×10-3、3.33×10-2、6.67×10-2s-1下進(jìn)行等速單軸拉伸實驗，得到5組不同應(yīng)變率下的拉伸曲線。其實驗結(jié)果均為5個有效樣本的平均值。將單軸拉伸曲線與平衡響應(yīng)曲線進(jìn)行對照，如圖4所示。

圖4 EPDM不同加載速率下的力學(xué)曲線Fig.4 Experimental data for EPDM under different rates

1.3 實驗結(jié)果分析

如圖4所示，不同應(yīng)變率下拉伸的曲線與平衡響應(yīng)曲線趨勢較為接近，均由彈性上升段、屈服流動段和應(yīng)變軟化段構(gòu)成。相對于其他橡膠材料，EPDM的拉伸強(qiáng)度較高，拉斷伸長率較大，拉伸曲線的率相關(guān)性明顯，隨應(yīng)變率的增加，同一應(yīng)變下的應(yīng)力值隨之增大。因此，可認(rèn)為EPDM是一種粘超彈性材料。根據(jù)李東等[3]對包覆層材料的描述中可看出，在一定范圍內(nèi)，應(yīng)變率越大，材料內(nèi)部所發(fā)生的粘性流動越小。在任一速率下的拉伸曲線均為急速上升后平穩(wěn)下降，這是由于峰值點以后的材料變形主要取決于分子鏈段運(yùn)動，外力促使材料主鏈發(fā)生內(nèi)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動，此運(yùn)動所需外力比直接改變化學(xué)鍵的鍵長和鍵角所需要的外力小，而變形量大。因此，在曲線上表現(xiàn)為應(yīng)力下降狀態(tài)。高分子鏈段在伸展過程中所需力的大小變化不明顯，故曲線的下降段呈現(xiàn)平穩(wěn)趨勢。

2 粘超彈本構(gòu)模型

由于各應(yīng)變率下的單軸拉伸曲線均與平衡響應(yīng)曲線趨勢相近，因此本文采用在超彈性本構(gòu)的基礎(chǔ)上，引入應(yīng)變率參數(shù)來描述其率相關(guān)性，從而建立EPDM在不同應(yīng)變率下的本構(gòu)模型，其表達(dá)式可寫成

(1)

2.1 超彈部分f(ε)

2.1.1 Mooney-Rivlin模型

基于不變量的應(yīng)變能函數(shù)，可表示為W=W(I1,I2,I3)。根據(jù)具體加載條件下的基本關(guān)系，就可導(dǎo)出Piola-Kirchhoff應(yīng)力張量σij和Green-Lagrange應(yīng)變張量εij之間的關(guān)系[13]。

(2)

其中，I1、I2、I3為Green應(yīng)變不變量，其表達(dá)式分別為

I2=(λ1λ2)2+(λ2λ3)2+(λ3λ1)2

I3=(λ1λ2λ3)2

(3)

將式(3)代入式(2)，可得到材料的主應(yīng)力和主伸長比之間的關(guān)系為

(4)

λi=1+εi(i=1,2,3)

(5)

t=σλ

(6)

式中p為靜水壓力，反映其超彈性體不可壓縮的特性，在任何情況下，p都是由應(yīng)力的參比狀態(tài)決定的。

為消去p，可采用逐差法，對主應(yīng)力依次做差可得到

(7)

在不可壓縮條件下，t2=t3=0，再將式(5)、式(6)代入式(7)，可得單軸拉伸下的名義應(yīng)力與名義應(yīng)變之間的關(guān)系為

(8)

Mooney[14]通過物質(zhì)相變理論和大量試驗，探討了不可壓縮各向同性超彈性材料有限變形彈性理論。該模型是基于右Cauchy-Green變形張量的第一和第二不變量的應(yīng)變能函數(shù)，其表達(dá)式為

(9)

Tschoegl[15]認(rèn)為，含高階項的Mooney-Rivlin模型能更好地適應(yīng)填充與非填充橡膠材料。本文采用五項Mooney-Rivlin模型，其應(yīng)變能函數(shù)表達(dá)式為

W=C10(I1-3)+C01(I2-3)+C20(I1-3)2+

C02(I2-3)2+C11(I1-3)(I2-3)

(10)

式中C10、C01、C20、C02、C11為材料的超彈性參數(shù)。

將式(10)代入式(8)，即可得到五項Mooney-Rivlin模型名義應(yīng)力-名義應(yīng)變表達(dá)式為

σ=2[(1+ε)-(1+ε)-2]〈C10+2C20[(1+ε)2+

2(1+ε)-1-3+C11[2(1+ε)+(1+ε)-2-3]+

(1+ε)-1{C01+2C20[2(1+ε)+(1+ε)-2-3]+

C11[(1+ε)2+2(1+ε)-1-3]}〉

(11)

該模型形式簡單、易于實現(xiàn)而被廣泛應(yīng)用，可較好地擬合中等應(yīng)變范圍材料的力學(xué)實驗結(jié)果。

2.1.2Ogden模型

對于基于伸長率的應(yīng)變能函數(shù)，名義應(yīng)力可直接由應(yīng)變能函數(shù)對伸長率求偏導(dǎo)得到。

(12)

由t2=t3=0，可得到

(13)

Ogden[16]為克服采用變形張量不變量導(dǎo)致的關(guān)系式復(fù)雜，提出以主伸長率來表征的應(yīng)變能函數(shù)，其形式為

(14)

式中μn和αn是任意常數(shù)，需用最小二乘法擬合獲得。

級數(shù)的項數(shù)可調(diào)整以擬合實驗數(shù)據(jù)，所以O(shè)gden模型具有更大的靈活性。將式(13)、式(14)代入式(12)，可得到Ogden模型的名義應(yīng)力-名義應(yīng)變表達(dá)式為

(15)

2.1.3 參數(shù)擬合與分析

分別用五項Mooney-Rivlin模型、Ogden(n=2)模型、Ogden(n=3)模型對EPDM超彈性應(yīng)力應(yīng)變曲線進(jìn)行擬合，擬合結(jié)果如圖5和表1所示。

圖5 超彈性力學(xué)曲線的擬合與實驗結(jié)果的對比Fig.5 Comparison between fitted result and experimental data under hyperelastic

表1 超彈本構(gòu)擬合參數(shù)Table 1 Parameters in proposed stress-strain equation

由表1可看出，3種超彈性本構(gòu)模型對實驗結(jié)果的擬合都很好，但由于Ogden模型本身穩(wěn)定性較好，且用伸長率表示的模型比用應(yīng)變不變量表示的更為直觀，當(dāng)n=2時，該模型的模型參數(shù)少，形式簡單，因此選用Ogden(n=2)模型作為超彈性部分f(ε)的本構(gòu)方程。

根據(jù)式(1)提出的本構(gòu)模型，應(yīng)變率參數(shù)的求取應(yīng)采用各應(yīng)變率下，任一應(yīng)變時的應(yīng)力與該應(yīng)變下超彈性部分的應(yīng)力相除得到，即

(16)

圖6 擬合曲線和計算曲線的對比Fig.6 Comparison between fitted result and computed result

表2 線性擬合參數(shù)及相關(guān)系數(shù)Table 2 Linear fitting parameters and the correlation coefficient

由表2可看出，μ與lnε線性相關(guān)性較好，故可得到應(yīng)變率參數(shù)μ的表達(dá)式為

(17)

令

(18)

則有：

(19)

(20)

(21)

擬合結(jié)果如圖7和表3所示?？煽闯觯捎脤?shù)函數(shù)對參數(shù)A、B擬合的擬合結(jié)果較好，故參數(shù)A、B可表示為關(guān)于應(yīng)變率的對數(shù)形式。

圖7 參數(shù)A、B的對數(shù)擬合曲線Fig.7 Logarithmic curve fitting of parameters A and B

表3 參數(shù)擬合結(jié)果Table 3 Parameter fitting results

2.3 粘超彈本構(gòu)模型與實驗數(shù)據(jù)的對比分析

將式(15)～式(21)代入方程(1)，得到粘超彈本構(gòu)方程為

(22)

將表1和表3中的模型參數(shù)代入式(22)，就可得到只關(guān)于應(yīng)變和應(yīng)變率的本構(gòu)方程，即可實現(xiàn)在有限范圍任一應(yīng)變率下的應(yīng)力應(yīng)變響應(yīng)均可由該方程描述。

依次將單軸拉伸實驗中的5個應(yīng)變率值代入式(22)，即得到各應(yīng)變率下的本構(gòu)方程，將得到的預(yù)測曲線與實驗結(jié)果進(jìn)行對比，結(jié)果見圖8。從圖8可看出，該模型對實驗結(jié)果擬合較好，可很好地描述EPDM在準(zhǔn)靜態(tài)單軸拉伸條件下的力學(xué)特性。

圖8 EPDM 不同應(yīng)變率下擬合曲線與實驗結(jié)果的對比Fig.8 Comparison between fitted result and experimental data for EPDM under different rates

2.4 驗證實驗

從圖9可看出，預(yù)測曲線與實驗結(jié)果重合較好，而在獲取應(yīng)變率參數(shù)μ的過程中，并沒有用到該應(yīng)變率下的實驗數(shù)據(jù)，這說明當(dāng)應(yīng)變率介于0.000 3 s-1和0.066 7 s-1之間時，EPDM在準(zhǔn)靜態(tài)單軸拉伸實驗下的應(yīng)力應(yīng)變響應(yīng)均可由該本構(gòu)模型預(yù)測得到。

圖9 1.667×10-3 s-1下擬合曲線與實驗結(jié)果對比Fig.9 Comparison between fitted result and experimental data at the rate of 1.667×10-3 s-1

3 結(jié)論

(1)利用萬能試驗機(jī)，對EPDM在準(zhǔn)靜態(tài)下的力學(xué)性能進(jìn)行實驗。實驗結(jié)果表明，在單軸拉伸過程中，材料的拉伸強(qiáng)度高，拉斷伸長率大，拉伸曲線的率相關(guān)性明顯。因此，可認(rèn)為EPDM屬于粘超彈性材料的范疇。

(2)采用Ogden模型，對多步松弛實驗中材料的平衡響應(yīng)曲線進(jìn)行擬合，得到材料超彈性部分的模型參數(shù)，再依次采用各應(yīng)變率下，任一應(yīng)變時的應(yīng)力與該應(yīng)變下的平衡應(yīng)力之比求取應(yīng)變率參數(shù)函數(shù)，從而建立了能夠描述和預(yù)測EPDM在單軸拉伸下的粘超彈本構(gòu)模型。

(3)本文所建立的粘超彈本構(gòu)模型是以超彈性模型為基礎(chǔ)，引入相關(guān)項來實現(xiàn)的，由于超彈性模型本身的局限性，而導(dǎo)致該本構(gòu)模型不能描述文中所提到的松弛特性，且對實驗的卸載過程也很難說明，需要對該模型進(jìn)一步完善，以解決此類問題。

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(編輯：劉紅利)

A visco-hyperelastic constitutive model for EPDM insulation

ZHANG Zhong-shui1, CHEN Xiong1, ZHOU Qing-chun1, DU Hong-ying2

(1.School of Mechanical Engineering，NUST，Nanjing 210094，China；2.Technology Research and Development Centre，Jinxi Industries Group，Taiyuan 030027，China)

To describe the mechanical property of EPDM insulation of solid rocket motor under finite deformation condition, equilibrium response curve and tensile curves were obtained by multi-step relaxation and uniaxial tensile tests. The article mainly adopts Ogden and Mooney-Rivlin strain energy function to characterize the equilibrium response curve, based on which, the parameterμwas introduced as a function of strain rates and strain which is sufficient to determine the rate effects of EPDM rubber under the uniaxial tension tests. The constitutive model can effectively characterize the mechanical property of EPDM under quasi-static loading. And in this way, the stress-strain behavior of EPDM can be predicted by the constitutive equation as long as the strain rates are in a limited range.

EPDM insulation；visco-hyperelastic；uniaxial tension；constitutive model

2014-03-24；

：2014-07-10。

總裝備部重點預(yù)先研究項目(20101019)。

張中水(1990—)，女，碩士生，研究方向為航空宇航推進(jìn)理論與工程。E-mail:zhongshuizhang@126.com

V258

A

1006-2793(2015)02-0273-05

10.7673/j.issn.1006-2793.2015.02.022