數(shù)形結(jié)合思想

陳紅芳

數(shù)與形是數(shù)學(xué)發(fā)展中兩個(gè)最古老的，也是最基本的研究對(duì)象，它們?cè)谝欢ǖ臈l件下可以相互轉(zhuǎn)化，如某些代數(shù)問(wèn)題、三角問(wèn)題往往都有幾何背景，而借助其背景圖形的性質(zhì)，可使那些抽象的概念、復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系變得直觀具體，以便于探求解題思路或找到問(wèn)題的結(jié)論.可見(jiàn)數(shù)形結(jié)合，不僅是一種重要的解題方法，也是一種重要的思維方法.

數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面，一是以數(shù)解形，這類(lèi)問(wèn)題需要從圖形中充分挖掘信息，并且將這些信息反應(yīng)到代數(shù)式中；二是以形助數(shù)，這是數(shù)形結(jié)合應(yīng)用的主體，借助圖形的直觀性將抽象的代數(shù)問(wèn)題具體化.下面分別舉例說(shuō)明：

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以數(shù)解形

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當(dāng)我們探究幾何問(wèn)題的解題思路受阻，或雖有辦法但很艱難時(shí)，我們常?？紤]能否將其轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，而轉(zhuǎn)化的常用方法是解析法即建立坐標(biāo)系；還可引進(jìn)復(fù)平面用復(fù)數(shù)的有關(guān)知識(shí)解決，綜合使用三角法、向量法等代數(shù)方法，常可得到簡(jiǎn)潔的解法. 其典型代表是在立體幾何與解析幾何中的應(yīng)用.

例1 如圖1，四邊形ABCD內(nèi)接于圓E，E為圓心，AC⊥BD，AC，BD交于點(diǎn)O，G為CD邊上的中點(diǎn)，EF⊥AB，垂足為F，求證：OG=EF.

圖1

思路點(diǎn)撥 本題用幾何的方法證明不易，可考慮用解析法，適當(dāng)建立坐標(biāo)系，將“形”的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“數(shù)”的問(wèn)題. 由于“數(shù)”具有精確性的特征，所以巧妙利用這一性質(zhì)就可以闡明“形”的某些屬性，從而準(zhǔn)確澄清“形”的模糊，使問(wèn)題得以解決.

破解 以兩條對(duì)角線所在直線為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系，如圖2.

設(shè)點(diǎn)A，B，C，D的坐標(biāo)分別為（-a，0），（0，-b），（c，0），（0，d）. 由F，G分別為AB，CD的中點(diǎn)，知F- ，- ，G ， .

圖2

又E同時(shí)在AC，BD的垂直平分線上，所以E ， .

由兩點(diǎn)間的距離公式可得EF=OG= .

例2 如圖3，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是邊長(zhǎng)為4的正方形. 平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5.

（1）求證：AA1⊥平面ABC；

（2）求二面角A1-BC1-B1的余弦值；

（3）證明：在線段BC1存在點(diǎn)D，使得AD⊥A1B，并求 的值.

思路點(diǎn)撥 用空間向量法解立體幾何問(wèn)題的一般步驟：

（1）建立合理的空間直角坐標(biāo)系.

①當(dāng)圖形中有三條兩兩垂直且共點(diǎn)的直線時(shí)，通常分別以這三條直線為坐標(biāo)軸建立坐標(biāo)系.

②當(dāng)圖形中沒(méi)有現(xiàn)成的兩兩垂直的三條直線時(shí)，可根據(jù)實(shí)際情況構(gòu)造出滿足條件的三條直線，如圖形中有直線與平面垂直時(shí)，可選擇這條直線與這個(gè)平面的兩條互相垂直的直線為坐標(biāo)軸.

（2）求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo). 求出圖形中與題目條件和結(jié)論相關(guān)的所有點(diǎn)的坐標(biāo).

（3）求出相關(guān)平面的一個(gè)法向量. 所有與平面相關(guān)的問(wèn)題都是通過(guò)它的一個(gè)法向量來(lái)實(shí)現(xiàn)的.

（4）通過(guò)合理運(yùn)算得到所需結(jié)論.

圖3 圖4

破解 （1）略.

（2）因?yàn)锳B=3，AC=4，BC=5，所以AB⊥AC，所以AB，AC，AA1兩兩垂直. 以A為原點(diǎn)，分別以AC，AB，AA1為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖4）.

由已知得A1（0，0，4），B（0，3，0），C1（4， 0，4），B1（0，3，4）， =（4，0，0）， =（0，3，-4）， =（4，-3，0）， =（0，0，-4）.

易得平面A1BC1的法向量為m=（0，4，3），平面B1BC1的法向量為n=（3，4，0）.

設(shè)二面角A1-BC1-B1的平面角為θ，則有cosθ= = = . 又因?yàn)槎娼茿1-BC1-B1為銳角，所以其余弦值為 .

（3）假設(shè)存在點(diǎn)D，坐標(biāo)為（x，y，z），則 =（x，y-3，z）， =（4，-3，4）.

設(shè) =λ （0≤λ≤1），則可得x=4λ，y-3=-3λz=4λ，，即x=4λ，y=3-3λz=4λ.，所以D（4λ，3-3λ，4λ）， =（4λ，3-3λ，4λ）.

因?yàn)锳D⊥A1B，所以 · =0，即3（3-3λ）-16λ=0，解得λ= ，所以 = .

例3 橢圓C： + =1（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，離心率為 ，過(guò)F1且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長(zhǎng)為1.

（1）求橢圓C的方程；

（2）點(diǎn)P是橢圓C上除長(zhǎng)軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn)，連結(jié)PF1，PF2，設(shè)∠F1PF2的角平分線PM交C的長(zhǎng)軸于點(diǎn)M（m，0），求m的取值范圍.

思路點(diǎn)撥 （1）根據(jù)已知條件建立關(guān)于a，b的方程組求解.

（2）由角平分線的性質(zhì)建立方程，聯(lián)立方程組得出m與x0的關(guān)系，進(jìn)而求得m的取值范圍.

破解 （1） +y2=1.

（2）設(shè)P（x0，y0）（y0≠0），又由（1）可知F1（- ，0），F(xiàn)2（ ，0），由角平分線的性質(zhì)得 = ，把 +y =1代入化簡(jiǎn)得m（4x -16）=3x -12x0. 因?yàn)閤 ≠4，所以m= x0，而x0∈（-2，2），所以m∈- ， .

1.一個(gè)平面封閉區(qū)域內(nèi)任意兩點(diǎn)距離的最大值稱為該區(qū)域的“直徑”，封閉區(qū)域邊界曲線的長(zhǎng)度與區(qū)域直徑之比稱為區(qū)域的“周率”，下面四個(gè)平面區(qū)域（陰影部分）的周率從左到右依次記為τ1，τ2，τ3，τ4，則下列關(guān)系中正確的為（ ）

圖5

A. τ1>τ4>τ3 B. τ3>τ1>τ2

C. τ4>τ2>τ3 D. τ3>τ4>τ1

2. 如圖6，在三棱錐P-ABC中，AB=AC，D為BC的中點(diǎn)，PO⊥平面ABC，垂足O落在線段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2.

圖6

（1）證明：AP⊥BC.

（2）在線段AP上是否存在點(diǎn)M，使得二面角A-MC-B為直二面角？若存在，求出AM的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

3. 如圖7，過(guò)橢圓 + =1的右焦點(diǎn)M任作一條直線l與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)N（2 ，0），連結(jié)AN，BN. 求證：∠ANM=∠BNM.

圖7

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以形解數(shù)

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由于圖形具有生動(dòng)性和直觀性的特點(diǎn)，恰當(dāng)?shù)乩脠D形就能使得復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化，從而使問(wèn)題靈活、簡(jiǎn)潔、準(zhǔn)確地獲解.說(shuō)白了，就是將代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題，將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形結(jié)合起來(lái)，把數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形的性質(zhì)來(lái)研究，思路與方法便在圖形中直觀顯示出來(lái)，不僅可以加深對(duì)數(shù)量關(guān)系的理解，而且還能簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程，起到事半功倍的效果.

1. 利用圖形研究方程或不等式的解

解方程或不等式時(shí)，如果方程或不等式兩邊表達(dá)式有明顯的幾何意義，或通過(guò)某種方式可與圖形建立聯(lián)系，則可設(shè)法構(gòu)造圖形，將方程或不等式所表達(dá)的抽象數(shù)量關(guān)系直接在圖形中得以直觀形象地展現(xiàn). 美國(guó)數(shù)學(xué)家斯蒂恩說(shuō)：“如果一個(gè)特定的問(wèn)題，可以被轉(zhuǎn)化為一個(gè)圖形，那么思想就整體地把握了問(wèn)題，并且能創(chuàng)造性地思索問(wèn)題的解法.”

例4 已知

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

圖8

思路點(diǎn)撥 本題函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的確定，用代數(shù)方法無(wú)法求解，而借助圖象，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，使問(wèn)題變得直觀而且簡(jiǎn)潔.

破解 函數(shù)f（x）= +x-2的零點(diǎn)即為函數(shù)f1（x）= ，f2（x）=2-x圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo). 作出圖象，如圖5，當(dāng)a= 時(shí)，半圓與f2（x）=2-x相切，有兩個(gè)公共點(diǎn)（里面的半圓）；當(dāng)

例5 解關(guān)于x的不等式 ≥a-x.

思路點(diǎn)撥 本題若試圖化無(wú)理不等式為有理不等式，可能會(huì)有很多同學(xué)弄不清分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)；而若能轉(zhuǎn)變思路，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想則可以幫助我們明確分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，從而簡(jiǎn)化討論.

破解 在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)y= 和y=a-x的圖象，即一個(gè)半圓（x-1）2+y2=4（y≥0）和一條直線（如圖9）.

圖9

a為直線在y軸上的截距，直線和半圓相切時(shí)，算得a=1+2 ，根據(jù)直線與半圓的交點(diǎn)情況，結(jié)合a的取值范圍，得

①當(dāng)a≤-1時(shí)，有-1≤x≤3.

②當(dāng)-1

③當(dāng)3

④當(dāng)a>1+2 時(shí)，不等式無(wú)解.

例6 若關(guān)于x的不等式x2<2-x-a至少有一個(gè)負(fù)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.

圖10

思路點(diǎn)撥 很多含有字母的不等式有解、恒成立等問(wèn)題，從代數(shù)的角度求解，過(guò)程往往煩瑣而復(fù)雜，這時(shí)若能夠靈活應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，不僅使問(wèn)題變得直觀，而且過(guò)程更簡(jiǎn)便.

破解 不等式x2<2-x-a至少有一個(gè)負(fù)數(shù)解，即x-a<2-x2有負(fù)數(shù)解，在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=x-a和y=2-x2的圖象，如圖10所示. 當(dāng)y=x-a與y=2-x2相切時(shí)，求得a=- ，將y=x-a右移到圖中位置時(shí)，不等式剛好無(wú)負(fù)數(shù)解，此時(shí)a=2，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是- ，2.

例7 方程x2+ x-1=0的解可視為函數(shù)y=x+ 的圖象與函數(shù)y= 的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo). 若方程x4+ax-4=0的各個(gè)實(shí)根x1，x2，…，xk（k≤4）所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)x1， （i=1，2，…k）均在直線y=x的同側(cè)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.

思路點(diǎn)撥 根據(jù)題中條件自然想到把方程x4+ax-4=0變形為x3+a= ，從而把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=x3+a與函數(shù)y= 的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再利用圖象求解.

圖11

破解 方程x4+ax-4=0的各個(gè)實(shí)根可視為函數(shù)y=x3+a和函數(shù)y= 的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo). 在同一坐標(biāo)系內(nèi)，畫(huà)出y=x，y= ，y=x3+a的圖象，如圖11所示，A（2，2），B（-2，-2）.

當(dāng)y=x3+a的圖象分別過(guò)B，A時(shí)，a等于6和-6. 由圖象上、下平移可知，當(dāng)a<-6或a>6時(shí)交點(diǎn)均在直線y=x的同側(cè).

1. 若定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=f（x），且當(dāng)x∈[0，1]時(shí)， f（x）=x，則函數(shù)y=f（x）-log4x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

2. 函數(shù)y= 的圖象與函數(shù)y=2sinπx（-2≤x≤4）的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于_______.

3. 若關(guān)于x的不等式x2<2-x-a至少有一個(gè)負(fù)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______.

2. 數(shù)形滲透

數(shù)形結(jié)合的思想方法，不僅是幾何問(wèn)題用代數(shù)方法思考，或是代數(shù)（包括三角）問(wèn)題由圖形去思考，而是密切聯(lián)系，相互滲透的統(tǒng)一整體.解題時(shí)尤其是解較為綜合的題目，請(qǐng)注意靈活使用.

例8 若曲線C1：x2+y2-2x=0與曲線C2：y（y-mx-m）=0有四個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ）

A. - ，

B. - ，0∪0，

C. - ，

D. -∞，- ∪ ，+∞

思路點(diǎn)撥 解析幾何本身就是用代數(shù)的方法研究平面圖形的有關(guān)性質(zhì)，因此解決這部分題目，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用應(yīng)該更加普遍.

確解 曲線x2+y2-2x=0表示以（1，0）為圓心，1為半徑的圓，曲線y（y-mx-m）=0可拆分成直線y=0或過(guò)定點(diǎn)（-1，0）的直線y-mx-m=0. y=0與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，故y-mx-m=0也應(yīng)該與圓有兩個(gè)交點(diǎn). 由圖可以知道，臨界情況即是與圓相切的時(shí)候，經(jīng)計(jì)算可得，兩種相切分別對(duì)應(yīng)m= - 和m= ，由圖可知，m的取值范圍應(yīng)是- ，0∪0， ，故選B.

圖12

例9 若實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組x+3y-3≥0，2x-y-3≤0，x-my+1≥0，且x+y的最大值為9，則實(shí)數(shù)m=______.

思路點(diǎn)撥 這是個(gè)線性規(guī)劃問(wèn)題，常規(guī)的方法是通過(guò)畫(huà)出約束條件所表示的幾何圖形來(lái)解決，但是約束條件x-my+1≥0中含有字母m，這就使得其圖象不能準(zhǔn)確地被畫(huà)出，該怎么辦呢？仔細(xì)觀察后我們發(fā)現(xiàn)，直線x-my+1=0必過(guò)定點(diǎn)（-1，0），但是仍無(wú)法確定此直線的傾斜程度，因此確定直線的傾斜程度就成為解決此題的突破口.

破解 不妨設(shè)z=x+y，則y=-x+z， 結(jié)合圖象知，當(dāng)直線x-my+1=0繞著（-1，0）旋轉(zhuǎn)的時(shí)候，只有當(dāng)斜率 ∈（0，2）時(shí)，才能讓函數(shù)y=-x+z的截距能取到最大值，如圖13所示.

我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)y=-x+z經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，z取到最大值9.

聯(lián)立直線y=-x+9，2x-y-3=0，解得A（4，5），代入x-my+1=0中，得m=1.

圖13

1.在△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D是邊BC上一點(diǎn)，DC=2BD，則 · =_______.

2. 已知?jiǎng)狱c(diǎn)P（a，b）在不等式組x+y-2≤0，x-y≥0，y≥0表示的平面區(qū)域內(nèi)部及其邊界上運(yùn)動(dòng)，則w= 的取值范圍是__________.

3. 設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S4≥10，S5≤15，求a4的最大值.

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參考答案

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1 以數(shù)解形

1. 準(zhǔn)確理解區(qū)域“直徑”“周率”概念的含義是求解本題的突破口.

第一個(gè)區(qū)域：先補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方形，如圖14甲所示，設(shè)長(zhǎng)為a，寬為b，則周率τ1= = ≤2 . 第二個(gè)區(qū)域：設(shè)大圓半徑為2，則周率τ2= =π. 第三個(gè)區(qū)域：將原圖補(bǔ)成一個(gè)三角形，如圖14乙所示，設(shè)邊長(zhǎng)為a，則周率τ3= =3. 第四個(gè)區(qū)域：如圖14丙所示，設(shè)此區(qū)域外接正六邊形邊長(zhǎng)為a，則周率τ4= =2 ，故選C.

甲 乙 丙

圖14

2. （1）因?yàn)锳B=AC，D為BC的中點(diǎn)，所以AD⊥BC，又因PO⊥平面ABC，因此PO⊥BC，所以BC⊥平面POA，則AP⊥BC.

（2）不妨以AD所在直線為y軸，OP為z軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖15所示，則由題意得O（0，0，0），A（0，-3，0），D（0，2，0），B（4，2，0），C（-4，2，0），P（0，0，4）. 設(shè) =λ ， =（0，3，4）.

圖15

設(shè)平面AMC的法向量為n1=（x1，y1，z1）， =（-4，5，0）， =（0，3λ，4λ）. 因?yàn)閚1· =0，n1· =0，所以-4x1+5y1=0，3λy1+4λz1=0，則n1=（5，4，-3）.

設(shè)平面BMC的法向量為n2=（x2，y2，z2）， =（8，0，0）， = + =（-4，-5，0）+（0，3λ，4λ）=（-4，-5+3λ，4λ）.

因?yàn)閚2· =0，n2· =0，所以x2=0，-4x2+（-5+3λ）y2+4λz2=0，則可得n2=（0，4λ，5-3λ）. 若二面角A-MC-B為直二面角，則16λ-3（5-3λ）=0，得λ= ，此時(shí)AM=λAP= ×5=3.

3. 易得M（ ，0），所以可設(shè)直線AB的方程為x=ty+ ，A（x1，y1），B（x2，y2），則x1=ty1+ ，x2=ty2+ . 把x=ty+ 代入橢圓方程x2+2y2-4=0可得（t2+2）y2+2 ty-2=0，所以y +y = ，y y = . 所以直線AN的斜率kNA= = ，直線BN的斜率kNB= = ，所以由此得kNA+kNB= + = [2ty y - ·（y +y ）]= ·2t - =0，所以直線AN和BN的傾斜角互補(bǔ)，即∠ANM=∠BNM成立.

2 以形解數(shù)

1. 利用圖形研究方程或不等式的解

1. 偶函數(shù)f（x）的周期為2，且x∈[0，1]時(shí)， f（x）=x，作出函數(shù)f（x）的部分圖象如圖16所示，而函數(shù)y=f（x）-log x的零點(diǎn)即為函數(shù)y=f（x）與y=log x的圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo). 由圖象可知，交點(diǎn)有6個(gè)，故函數(shù)y=f（x）-log x的零點(diǎn)有6個(gè)，故選D.

圖16

2. 由題意知y= = 的圖象是雙曲線，且關(guān)于點(diǎn)（1，0）成中心對(duì)稱. 又y=2sinπx的周期為T(mén)= =2，也關(guān)于點(diǎn)（1，0）成中心對(duì)稱，因此兩圖象的交點(diǎn)也一定關(guān)于點(diǎn)（1，0）成中心對(duì)稱，如圖17所示. 可知兩個(gè)圖象在[-2，4]上有8個(gè)交點(diǎn)，因此8個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和x1+x2+…+x8=2×4=8.

圖17

3. 不等式x2<2-x-a至少有一個(gè)負(fù)數(shù)解，即x-a<2-x2有負(fù)數(shù)解. 在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=x-a和y=2-x2的圖象，如圖18所示. 當(dāng)y=x-a與y=2-x2相切時(shí)，求得a=- ，將y=x-a右移到圖中位置時(shí)，不等式剛好無(wú)負(fù)數(shù)解，此時(shí)a=2，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是- ，2.

圖18

2. 數(shù)形滲透

1. 建立如圖19所示的坐標(biāo)系，則A（0，0），B（-1， ），C（1，0），設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，y），則 =（x+1，y- ）， =（1-x，-y）.

圖19

因?yàn)镈是邊BC上一點(diǎn)，DC=2BD，所以1-x=2x+2，-y=2y-2 ，解得x=- ，y= .

所以 =- ， ， =（2，- ），所以 · =- .

2. w= =1+ =1+k，k為定點(diǎn)（1，2）與可行域上動(dòng)點(diǎn)連線的斜率，由數(shù)形結(jié)合得斜率k的取值范圍為（-∞，-2]∪[2，+∞），所以w的取值范圍是（-∞，-1]∪[3，+∞）.

3. 由題意得2a1+3d≥5，a1+2d≤3，a4=a1+3d，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：已知實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件2x+3y≥5，x+2y≤3，求z=x+3y的最大值.

作出約束條件2x+3y≥5，x+2y≤3對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域（如圖20），將目標(biāo)函數(shù)z=x+3y變形為y=- x+ ，它表示斜率為- ，在y軸上的截距為 的直線. 平移直線y=- x+ ，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，1）時(shí)，直線在y軸上的截距最大，對(duì)應(yīng)的z最大，此時(shí)，zmax=1+3=4，所以a4的最大值為4.

圖20