無線MIMO系統(tǒng)信道容量分析

孫秀英 許鵬飛

（1.淮安信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院計算機與通信工程學(xué)院，江蘇 淮安 223003；2.東南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，江蘇 南京 210096)

1 引言

在信息技術(shù)日益進步的今天，信息傳輸已經(jīng)不再局限于文字，而是向多媒體傳輸方式轉(zhuǎn)變。以往，無線通訊系統(tǒng)的發(fā)射/接收天線的選擇非常有限，這就是所謂的SISO天線系統(tǒng)。SISO天線系統(tǒng)在信道容量上具有一個通信上不可突破的瓶頸--Shannon容量限制[1]。但是，無論實際的編碼策略如何、調(diào)制技術(shù)如何，無線通道始終會給實際通訊帶來一定的限制?，F(xiàn)階段，隨著科技的發(fā)展，人們對數(shù)據(jù)傳輸速度的要求越來越高，因此，無線通信系統(tǒng)的容量亟待增加。而實現(xiàn)無線通信系統(tǒng)擴容的方式有很多種，比較典型的有：1加大系統(tǒng)發(fā)射功率；2拓展帶寬；3架設(shè)更多的基站；4提高頻譜利用率[2]。但是這些方法各有利弊，例如：加大系統(tǒng)發(fā)射功率會大大危害人們的健康，并且這對系統(tǒng)硬件的要求非常高，設(shè)計的復(fù)雜度也非常高。此外，發(fā)射功率在提高的同時，功率的能耗會大大增加，這是移動終端用戶非常關(guān)注的問題之一。而增加基站需要密集地設(shè)置新的基站，這種方式需要投入的成本非常巨大，在萬不得已時不會使用此法。在當前，無線應(yīng)用市場使用最為廣泛的是：UMTS（2GHz）、WLAN（2～5GHz），這兩者都屬于典型的微波頻帶[3]。而如果使用加大寬帶的方式會帶來嚴重的系統(tǒng)兼容沖突，這使得運營商的成本開支會大幅提升，所以，引入高頻段的方式在近期內(nèi)是不太可行的。

目前在眾多的信號處理技術(shù)中，最受人們青睞的是多輸入多輸出技術(shù)（英文簡稱：MIMO），相關(guān)研究結(jié)果顯示，在多徑傳播下無需提升帶寬和發(fā)射功率，僅僅引入MIMO系統(tǒng)便可以大幅增加頻譜效率，最終達到提升容量的目的。正是由于MIMO技術(shù)提高信道容量的這種特性，使得信息傳輸質(zhì)量大幅提升，也博得了學(xué)術(shù)界的關(guān)注。其在3G與4G當中的應(yīng)用前景都非常廣泛[4]。如果平坦瑞利衰落信道呈現(xiàn)出獨立同分布的特性，那么信道容量與天線數(shù)量會逐漸呈現(xiàn)出正向相關(guān)的關(guān)系。但在實際情況中，由于天線間距不夠大、空間散射體不夠豐富等原因，MIMO系統(tǒng)子信道間具有相關(guān)性，導(dǎo)致信道容量會有所下降。為了確定MIMO技術(shù)的實際性能，本文通過仿真的方式來研究天線數(shù)量和信道等變量與系統(tǒng)容量之間的關(guān)系。

2 理論基礎(chǔ)

2.1 多輸入多輸出系統(tǒng)信道相關(guān)模型

按照發(fā)射端和接收端信道系數(shù)的相關(guān)性，我們把MIMO信道劃分為不相關(guān)、半相關(guān)和全相關(guān)衰落信道[5]。

(1)不相關(guān)衰落信道：在這種信道當中，接收端和發(fā)射端都存在很多散射體，例如：城市微小區(qū)信道。但是兩端的角度擴展度非常高，使得信道系數(shù)的聯(lián)系非常微弱。在沒有直射分量的情況下：

則信道可以表示可以為∶

式中HW指代在理想的情況下，瑞利分布MIMO信道矩陣；

hmn∈CN(0,1)指代符合獨立同分布高斯隨機變量的信道系數(shù)；

(2)半相關(guān)衰落信道：在這種信道當中，散射體僅僅存在于發(fā)射或者接收的一端，這種情況使得二者之間的角度擴展大大降低。此種類型的信道大多在基站空間或數(shù)量充足的情況下出現(xiàn)，天線之間沒有相關(guān)性，且移動臺周邊存在很多建筑。此時，有：

則信道矩陣為：

(3)全相關(guān)衰落信道：在這種信道當中，在發(fā)射與接收端的遠區(qū)場存在很多散射體，比較典型的例子就是：MIMO信道。此時：

則信道矩陣為：

圖1向我們展示的是MIMO衰落信道。在瑞利分布中，我們引入一個等距線性矩陣（ULA），這個矩陣由nr根全相接收天線構(gòu)成，天線之間的間隔是d，散射體存在于天線周圍[6]。

圖1 MIMO衰落信道的傳播模型

圖2向我們展示了天線陣列模型。其中包含的天線數(shù)量為nt個，由天線發(fā)出的信號會被反射體反射。為了更清楚地分析該模型，把接收端天線陣列模型單獨表示[7]。

圖2 天線陣列模型

現(xiàn)假定信號到達角的均值是θ，相關(guān)的概率分布密度函數(shù)是ρ(θi)，而角度擴展的取值是2Δ。

則對于θi方向的來波，間隔為dm,n＝(m-n)d的天線元素m、n之間的波程差為(m-n)dsinθi，由此帶來的接收信號相位差為exp[-j2π(m-n)dsinθi]，因此其相關(guān)系數(shù)可以表示為：

不難看出，空域相關(guān)性與ρ(θi)函數(shù)之間的關(guān)系非常密切，但學(xué)者Lee認為ρ(θi)應(yīng)當符合余弦分布的特點，學(xué)者Aszetly指出ρ(θi)應(yīng)當符合高斯分布的各類特征，學(xué)者Salz則認為ρ(θi)應(yīng)當滿足均勻分布，而Pedersen卻認為就DCS1800系統(tǒng)而言，拉普拉斯分布顯得更為合理[8]。

在本文中，我們以ρ(θi)服從均勻分布為例，其概率密度函數(shù)為：ρ(θi)=12Δ，定性地研究d,θ,Δ與r的關(guān)系。

2.2 多輸入多輸出系統(tǒng)信道容量

現(xiàn)假設(shè)發(fā)射端天線并不了解信道的實際情況。那么這個時候可以通過均值來計算天線的功率，即Es/nt，此時，發(fā)射功率和接收功率的總?cè)≈迪嘁恢?。在AWGN的影響下，天線會接收到一定程度的噪聲，相應(yīng)的信噪比是：ξ=Es/σ2。再假設(shè)信號帶寬非常窄，那么便可以將信道頻率響應(yīng)視作平坦的[9]。

倘若編碼長度非常長，并且可以足夠多地處理信道衰落狀態(tài)。也就是說，信道衰落的各種狀態(tài)都會在編碼長度范圍內(nèi)出現(xiàn)，那么這個時候的香農(nóng)容量便可以視作不同信道下的平均信息概率取值，通常也被叫做各態(tài)歷經(jīng)容量。所以，這一容量是長時統(tǒng)計下的衰落信道容量的平均值。

換句話說，時變信道的信道情況實際上是典型的隨機變量，但是該變量的各類取值均能視為確定信道，所以每個取值就會對應(yīng)相應(yīng)的容量值，那么時變信道的瞬時容量也能夠視為隨機變量[10]。將這里的瞬時容量求和，然后除以總數(shù)量便可得到各態(tài)歷經(jīng)容量，其具體情況見下圖：

圖3 時變信道容量示意圖

信道各態(tài)歷經(jīng)容量為：

3 仿真與分析

3.1 典型MIMO系統(tǒng)的信道容量分析

在前文分析的基礎(chǔ)上，我們對SISO、MISO、SIMO、MIMO的容量進行仿真和分析。以瑞利衰落信道為例，假設(shè)發(fā)射天線和接收天線均不相關(guān)，采用Monte-Carol方法和Matlab環(huán)境分別經(jīng)過1000次迭代[11]，SISO與SIMO,MISO的比較仿真結(jié)果如圖4和5所示。

圖4 SISO與SIMO,MISO的比較

圖5 SISO與SIMO,MISO的比較

通過仿真我們可以得出以下結(jié)論：

(1)假設(shè)信噪比相同，那么SIMO(1×2)的容量明顯優(yōu)于SISO的容量，且前者容量比后者高出接近60%。而SIMO(1×4)的容量相比SISO高出接近140%，這一仿真結(jié)果與理論結(jié)果是相同的。信道容量之所以會增加，原因在于空間分集降低了衰落作用的效果，而天線的合并使得信噪比大幅上升，SIMO能夠收集到nr個信號的副本，因此，在天線增加的過程中，信道容量會相應(yīng)地增加。

(2)假設(shè)信噪比相同，那么MISO的容量和SISO相比相差無幾，出現(xiàn)這一現(xiàn)象的原因在于：n個天線雖然能夠產(chǎn)生n個峰值增益，但發(fā)射天線對信道情況并不了解，那么使得自適應(yīng)分配發(fā)射功率與波束形成技術(shù)很難在多元天線當中發(fā)揮作用，發(fā)射總功率會被n均分，這就意味著天線的發(fā)射功率均值會略微降低，如果存在那么這個時候，MISO與SISO二者的容量取值會大致相同。

(3)假設(shè)nt=nr=4或nt=nr=2，那么MIMO的容量與SISO相比，前者幾乎是后者的4倍或2倍，原因在于MIMO借助空間復(fù)用形成了n條可同時發(fā)揮作用的子信道，這些子信道的容量和就是信道的總體容量，因而其取值會大幅上升。

3.2 相關(guān)性對信道容量的影響

為了直觀地研究角度擴展對相關(guān)系數(shù)r和信道容量的影響，圖6和圖7給出了θ=0ο，Δ 分別為10ο,30ο,60ο,90ο時，相鄰天線的相關(guān)系數(shù)、各態(tài)歷經(jīng)容量等和天線之間的距離d的關(guān)聯(lián)度。

同樣地，為了研究平均到達角對相關(guān)系數(shù)r和信道容量的影響，圖8和圖9給出了θ=0ο，Δ 分別為10ο,30ο,60ο,90ο時,2×2MIMO信道各態(tài)歷經(jīng)容量、等距天線等于角度擴展之間的關(guān)聯(lián)度。

圖6 角度擴展與系數(shù)的關(guān)系

圖7 角度擴展與各態(tài)歷經(jīng)容量的關(guān)系

可以得出：(1)不斷增加天線間距d，信道間相關(guān)系數(shù)r不斷變小，直至趨于穩(wěn)定，信道各態(tài)歷經(jīng)容量越大；(2)對于相同的天線間距d，不斷增加角度Δ，信道相關(guān)性r減小，信道各態(tài)歷經(jīng)容量越大。

圖8 平均到達角與系數(shù)的關(guān)系

圖9 平均到達角與各態(tài)歷經(jīng)容量的關(guān)系

由此得出：當天線間距d一定時，平均到達角越趨向于與陣列平行方向，信道相關(guān)性越大，信道各態(tài)歷經(jīng)容量越小。假定定義為相關(guān)系數(shù)[9]。則：圖10表示的是，發(fā)射端子信道相互獨立情況下，α變動時，信噪比和各態(tài)歷經(jīng)容量之間的相關(guān)性曲線。

圖10 相關(guān)系數(shù)與容量的關(guān)系

圖11 衰落因子與各態(tài)歷經(jīng)容量的關(guān)系

不難看到：(1)空域相關(guān)系數(shù)取值很小時，各態(tài)歷經(jīng)容量的取值會相應(yīng)增加；(2)當相關(guān)系數(shù)取值很小時，信道容量變化非常微弱，反之，信道容量會大幅減小。

圖11給出了對于萊斯衰落信道，隨著衰落因子的變化，各態(tài)歷經(jīng)容量的曲線。數(shù)據(jù)表明：信道容量的取值會隨著衰落因子數(shù)量的上漲而不斷下降。由于衰落因子表示直射分量與散射分量的比值，即散射分量越小，信道容量越小。

4 結(jié)論

本文主要對MIMO系統(tǒng)信道容量進行了相應(yīng)的分析，并得到如下結(jié)論：如果瑞利衰落信道獨立且平坦，那么天線數(shù)量在增多的同時，信道的容量也會相應(yīng)增加，但是在實際應(yīng)用的時候會發(fā)現(xiàn)，信道容量并不會隨著天線的增多而一直增加，而是在達到一定值之后趨于恒定。此外，本文分析了相關(guān)性與MIMO信道容量之間的關(guān)系，在進行仿真分析之后得出如下結(jié)論：(1)各天線之間的間隔變大，來波角增加的時候，到達角均值和陣列的垂直度就越高；系統(tǒng)的相關(guān)系數(shù)越小，信道容量越大。(2)倘若相關(guān)系數(shù)不足0.3，那么其對信道容量的影響非常微弱，而如果相關(guān)系數(shù)超過0.7，那么其對信道容量的影響就非常大。(3)在萊斯衰落當中，如果衰落因素量上升，那么信道容量就會相應(yīng)下降。這也很好地說明了MIMO系統(tǒng)正是由于利用了多徑散射來達到增大容量的目的。

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