內(nèi)嚙合齒輪泵內(nèi)齒輪的徑向微振動的研究

， ， ， 楊勇(.浙江大學(xué) 流體動力與機(jī)電系統(tǒng)國家重點實驗室， 浙江 杭州 3007；.中國船舶重工集團(tuán)公司 第七〇七研究所， 江西 九江 33007)

引言

容積式液壓泵是液壓傳動系統(tǒng)中的核心動力元件，其性能優(yōu)劣直接影響到液壓系統(tǒng)性能的高低。內(nèi)嚙合齒輪泵以其結(jié)構(gòu)緊湊、容積效率高、噪聲水平低和可靠性高等突出優(yōu)點，廣泛地應(yīng)用于重視控制精度、節(jié)能、環(huán)境噪聲和可靠性的工業(yè)領(lǐng)域或者某些要求結(jié)構(gòu)緊湊噪聲很低的場合。對于漸開線內(nèi)嚙合齒輪泵，由于漸開線內(nèi)嚙合齒輪副旋向相同，相對滑動速度小，重合度大，從而使得齒輪副磨損輕微，使用壽命長，流量脈動遠(yuǎn)小，高速自吸性能好[1]。目前，應(yīng)液壓系統(tǒng)的要求，內(nèi)嚙合齒輪泵正向高壓力、高轉(zhuǎn)速方向發(fā)展[2]。

對于容積式液壓泵，其工作原理決定必定有運動部件與靜止部件形成摩擦副，摩擦副的設(shè)計與性能優(yōu)化直接影響到該元件所能承受的最高壓力及最長使用壽命。內(nèi)嚙合齒輪泵的內(nèi)齒輪與殼體之間的摩擦副是該元件的關(guān)鍵摩擦副[3]。內(nèi)嚙合齒輪泵可分為軸向排油和徑向排油兩種。對于軸向排油的情況，一般都采用靜壓支承的設(shè)計方法(阻尼管型靜壓支承)，即以阻尼管引高壓油液至內(nèi)齒輪與殼體之間，通過阻尼管的固定阻尼與內(nèi)齒輪與殼體之間可變油膜厚度所形成的可變阻尼用來起到壓力調(diào)節(jié)反饋作用，近似計算摩擦副之間油膜的支承力[4]。

對于徑向排油，由于高壓出油口就在內(nèi)齒輪與殼體之間充當(dāng)壓力不變的高壓油室，內(nèi)齒輪與殼體之間不應(yīng)再按照阻尼管型靜壓支承進(jìn)行設(shè)計計算。內(nèi)齒輪受到的徑向不平衡力，會使得內(nèi)齒輪與殼體中心不完全重合，而是被偏心的壓向一側(cè)。從而，內(nèi)齒輪與殼體之間會形成楔形油膜，由流體力學(xué)動壓潤滑相關(guān)理論可知，兩物體之間的楔形油膜由于相對運動會產(chǎn)生附加的壓力場，從而改變內(nèi)齒輪與殼體之間油膜的壓力場分布[5]。

目前國內(nèi)對內(nèi)齒輪受到的油膜力多采用靜壓支承方式，采用公式進(jìn)行推導(dǎo)。美國的普渡大學(xué)Andrea V.教授對外嚙合齒輪泵的油膜特性進(jìn)行了建模分析和試驗驗證，研究了外嚙合齒輪泵浮動側(cè)邊與齒輪端面之間、滑動軸承等摩擦副的油膜特性。

本研究采用數(shù)值編程方法，首先對齒輪泵的核心元件內(nèi)嚙合齒輪副進(jìn)行基于數(shù)值建模的壓力區(qū)域劃分，求解內(nèi)齒輪收到的周期性變化的徑向不平衡力。基于一維雷諾方程對內(nèi)齒輪與殼體之間的楔形油膜壓力場進(jìn)行數(shù)值離散求解，最后對內(nèi)齒輪受到的合力與徑向位置的微變動進(jìn)行研究。

1 內(nèi)齒輪的受力情況分析

內(nèi)齒輪受到的力主要包括三部分，分別是齒輪腔內(nèi)壓力油液對齒面的液壓力、齒輪副嚙合的嚙合力和內(nèi)齒輪與殼體之間高壓油液及油膜所產(chǎn)生的支承力。

基于漸開線內(nèi)嚙合齒輪副的嚙合方程，按照二次展成法求解嚙合齒輪齒廓，可利用MATLAB工具對內(nèi)嚙合齒輪副進(jìn)行參數(shù)化建模[6]。MATLAB的建模模型如圖1所示。

圖1 內(nèi)嚙合齒輪副MATLAB建模圖形

在圖1中，可以把內(nèi)嚙合齒輪泵的嚙合齒輪副、月牙塊等關(guān)鍵部件全部用MATLAB進(jìn)行數(shù)值化，從而得齒輪副的嚙合點、齒輪副與月牙塊的交點等一系列關(guān)鍵點，從而為對內(nèi)齒輪進(jìn)行數(shù)值化壓力分區(qū)做好準(zhǔn)備。

1.1 內(nèi)齒輪壓力分區(qū)

如圖2所示，齒輪副在嚙合過程中最新出現(xiàn)的嚙合點被定義為高低壓區(qū)分界點，即圖中P點；內(nèi)齒輪與月牙塊小端的交點被定義為高壓區(qū)向過渡區(qū)的分界點，即圖中H2點；內(nèi)齒輪與月牙塊大端的交點被定義為過渡區(qū)與低壓區(qū)的分界點，即圖中C2點；內(nèi)齒輪的中心點為O2點。以上四個關(guān)鍵點把內(nèi)齒輪劃分成高壓腔、過渡腔和低壓腔三部分[7]，每一個腔所對應(yīng)的扇形角為其相應(yīng)的壓力包角，從而可以求得其內(nèi)齒輪和外齒輪的高壓包角和過渡包角，即∠H2O2P為高壓包角，∠H2O2C2為過渡包角。低壓包角由于對應(yīng)的壓力很低，作用不大，在此不作討論。

圖2 內(nèi)嚙合齒輪泵壓力區(qū)域劃分

內(nèi)齒輪齒面所受到的液壓力與齒面所處的區(qū)域有關(guān)。如圖3所示當(dāng)齒面處于高壓腔，齒面受到的壓力均為泵的出口壓力po； 當(dāng)齒面處于過渡腔時， 齒面受到的壓力為過渡壓力pf。 通過FLUENT的仿真分析，過渡區(qū)域，同一個齒槽內(nèi)所包油液壓力相等，相鄰齒槽之間油液壓力成線性梯狀下降。設(shè)過渡區(qū)跨過齒槽數(shù)為n，則相鄰齒槽之間的壓差為：

圖3 內(nèi)嚙合齒輪泵壓力分布示意圖

(1)

式中，pi為泵進(jìn)口壓力。

1.2 單個齒槽的受力分析

由于嚙合點在齒面上，導(dǎo)致嚙合點所處的齒槽只有部分齒面受力；并且在過渡區(qū)域，不同的齒槽的壓力不一樣，為了更準(zhǔn)確地計算內(nèi)齒輪受到的液壓力，并不能采用簡單的圓柱形等效的方法，在此對單個齒槽的受力進(jìn)行了分析。

如圖4所示，為內(nèi)齒輪一個齒槽的受力示意圖。在齒面上任取一點A，該點的受力方向為齒面的法線方向，由由漸開線的基本性質(zhì)知道，從漸開線上的任何一點出發(fā)，作其法線均與基圓相切。取漸開線上某一點，其漸開線的發(fā)生角為θ，壓力角為αk，對應(yīng)的發(fā)生線長度為sk。

圖4 內(nèi)齒輪一個齒槽的受力分析示意圖

令齒面上選定點為A，其法線與基圓相切與B，OB與y軸所成的角度為β，則有：

(2)

由漸開線的性質(zhì)可知：

(3)

從圖中的幾何關(guān)系可得角度關(guān)系：

β=θ-δ=tanαk-δ

(4)

整理得到：

(5)

如果對于一個齒槽，由于兩個齒面受到關(guān)于y軸對稱的力，由對稱線可知x方向合力為0，即：

(6)

式中，αk0為齒根圓處的壓力角；αk1為齒頂圓處的壓力角。

1.3 內(nèi)齒輪的嚙合力分析

液壓力分別產(chǎn)生M1和M2兩個扭矩作用在齒輪軸和內(nèi)齒輪上。其中，扭矩M1通過液壓力所作用的齒面直接傳遞給齒輪軸，即在齒輪軸上所產(chǎn)生的徑向力已經(jīng)包含在液壓徑向力中；而扭矩M2通過液壓力所作用的齒面作用在內(nèi)齒輪上，內(nèi)齒輪又通過嚙合點將此扭矩傳遞給齒輪軸。所以，可以根據(jù)扭矩M2求出內(nèi)嚙合齒輪副的嚙合徑向力。

圖5 內(nèi)嚙合齒輪副嚙合徑向力

根據(jù)漸開線齒輪的性質(zhì)，扭矩M2所引起的嚙合力Ft是一對兩個大小相等、方向相反的相互作用力，其作用方向與漸開線嚙合軌跡重合，分別作用在齒輪軸和內(nèi)齒輪上，如圖5所示。嚙合力Ft的大小為[8]：

(7)

1.4 內(nèi)齒輪的支承力分析

如圖6所示為內(nèi)齒輪與殼體配合截面圖，ABCD四點為密封帶始末位置。AD弧為密封區(qū)域；內(nèi)齒輪受到的支承力主要分為兩部分，中間高壓油室的壓力所產(chǎn)生的支承力和油室四周的密封帶的油膜所產(chǎn)生的支承力。BC弧為高壓出油槽，其包角為β。AB段密封帶的包角為α1，CD段的密封帶包角為α2。

圖6 內(nèi)齒輪與殼體配合截面圖

把這一段展開，對應(yīng)的圖及其位置如圖7所示。密封區(qū)域展開呈矩形密封，中間黃色填充為高壓油室，壓力為po；邊界區(qū)域為低壓區(qū)域，等于進(jìn)油口壓力pi；中間過渡帶為密封帶。高壓油室壓力po沿z軸遞減到進(jìn)油口壓力pi，由于油膜厚度沿著z軸不變，所以可以認(rèn)為壓力線性遞減。而油膜厚度沿著y軸是改變的，呈現(xiàn)為楔形油膜。

圖7 密封帶展開圖

示意圖如圖8所示為z值為某一常數(shù)的情況下的楔形油膜示意圖； 內(nèi)齒輪外圓與殼體內(nèi)圓是間隙配合關(guān)系。假設(shè)在某一時刻，內(nèi)齒輪外圓相對殼體內(nèi)圓偏心距離為e，最小油膜厚度hmin出現(xiàn)在與x正半軸成θ的位置處。由于BC段壓力為高壓油室壓力或者是高壓油室壓力沿z軸線性遞降的壓力，壓力z值為某一常數(shù)時保持不變。因此，應(yīng)把B、C點處的油膜厚度作為等效最小油膜厚度。

圖8 楔形油膜示意圖

令C點與x軸正半軸所成的夾角為ε2，根據(jù)幾何關(guān)系可以得到C點處的油膜厚度，即等效最小油膜厚度為：

h2=R-r-ecos(ε2-θ)

(8)

在CD段密封帶中，取一小段微元dα2；與x軸正半軸所成角度為ε，根據(jù)一位形式雷諾方程，

(9)

式中，dr表示的是微元的周向長度，即：

dr=r·dα2

(10)

式中，μ表示的是油液運動黏度；

v為相對運動線速度；即：

v=2πnr

(11)

式中，h為小微元的油膜厚度，即：

h=R-r-ecos(ε-θ)

(12)

整理得到：

(13)

將α2一段平均分為m份，則：

(14)

將上式進(jìn)行離散化，則得到：

(15)

初始迭代式為：

(16)

利用上面兩式進(jìn)行數(shù)值迭代，即可得到密封帶楔形油膜處每一點的油膜壓力，從而求得楔形油膜的支承力。

2 內(nèi)齒輪的受力與徑向位置的耦合關(guān)系

以上已經(jīng)討論了內(nèi)齒輪的受力情況，從上面分析可知，內(nèi)齒輪受到的液壓力與嚙合力合力，(稱為徑向不平衡力)，是把內(nèi)齒輪“壓向”殼體；而內(nèi)齒輪受到的高壓油室和油膜的支承力則是將內(nèi)齒輪“推離”殼體。為了順利完成泵壓力的建立，避免泄漏過大，需要內(nèi)齒輪與殼體之間保持緊緊的接觸以保證密封的需要，這就要求徑向不平衡力要大于支承力，使得內(nèi)齒輪不管在什么情況下，在泵的工作壓力范圍內(nèi)，都能保持良好的密封性及潤滑性[9]。

為求解內(nèi)齒輪的受力與位置的耦合關(guān)系，需要對這對耦合關(guān)系進(jìn)行數(shù)值求解，其原理為：對于某一工況下，內(nèi)齒輪在一個周期內(nèi)的每一個時間點受到的徑向不平衡力均不同。對應(yīng)于某一時間點，徑向不平衡力是一定的。內(nèi)齒輪在不同的偏心距ei及與x正半軸所成的偏心角θj下，齒輪受到的壓向殼體的總的合力Fij也不同，在Fij的調(diào)整作用下，存在一個最優(yōu)的偏心距eii及偏心角θjj，使得Fij值最小。

(17)

基于MATLAB數(shù)值計算仿真的流程圖如圖9所示。

圖9 仿真程序流程圖

3 內(nèi)齒輪的徑向位置特征

3.1 仿真參數(shù)的輸入

仿真分析主要的參數(shù)如表1所示。

表1 仿真分析主要參數(shù)

3.2 仿真結(jié)果分析

把仿真參數(shù)輸入程序，最后把得到的結(jié)果整理得到的結(jié)果圖線如圖10～12所示。

圖10 內(nèi)齒輪徑向不平衡力及合力

圖11 內(nèi)齒輪位置變化圖線

從上面的結(jié)果圖線可知，內(nèi)齒輪受到的徑向不平衡力在65～68 kN之間變化，在轉(zhuǎn)過10°和20°時均有一個下沖， 這兩個下沖均是由于高壓包角瞬間變小的原因。前者是由于側(cè)板上的一個流孔的遮蓋作用導(dǎo)致高壓包角瞬間變??；后者是由于第二對嚙合輪齒發(fā)生嚙合，導(dǎo)致嚙合點的位置從往回跳了一個齒的位置。前者導(dǎo)致的包角瞬間變化較小，因此受力跳變不大，后者導(dǎo)致的包角瞬間變化較大，因此受力跳變較大。

圖12 油膜厚度變化圖

從0～20°的位置，內(nèi)齒輪的受力沒有出現(xiàn)大的跳變，與此相對的是，內(nèi)齒輪的位置變化也相對穩(wěn)定，都是保持在偏心距為10 μm，偏心角為-30°附近。在20°的時候，內(nèi)齒輪受力突然有一個較大的下沖，內(nèi)齒輪位置會產(chǎn)生較大的跳動，跳到了偏心角為7 μm，但是偏心角不變。這主要是由于不平衡力突然下降，使得支承力往上推動內(nèi)齒輪使得偏心距減小。

由于內(nèi)齒輪的位置隨著支承力變動，可見內(nèi)齒輪受到的合力與徑向不平衡力有很好的跟隨性，使得壓緊系數(shù)保持在1.1～1.25不變，不會導(dǎo)致剩余壓緊力過大而造成過度磨損。

油膜高度的變化最小值保證在10 μm，油膜的最大值不超過30 μm。內(nèi)齒輪外圓和殼體內(nèi)圓的表面粗糙度均可達(dá)到1.6 μm，油膜高度的最小值比兩者之和的兩倍還要大，保證了內(nèi)齒輪與殼體之間能處于油膜潤滑狀態(tài)，油膜高度的最大值出現(xiàn)在密封帶的邊緣處，保證了油膜的密封性和潤滑性。

4 結(jié)論

(1) 對內(nèi)嚙合齒輪泵內(nèi)齒輪的受力情況作了細(xì)致的分析，基于MATLAB對齒輪嚙合過程進(jìn)行數(shù)值建模，求解嚙合點、臨界點等關(guān)鍵點，并對齒面所受的液壓力進(jìn)行基于漸開線性質(zhì)的積分計算，較準(zhǔn)確地求解了內(nèi)齒輪受到的液壓力及嚙合力；

(2) 基于一維雷諾方程搭建了楔形油膜模型，將油膜動壓效應(yīng)引入油膜模型，求解油膜支承力與徑向不平衡力之間的關(guān)系，為對內(nèi)齒輪與殼體之間的油膜的動態(tài)性研究提出了一種新的思路。

(3) 通過動態(tài)求解內(nèi)齒輪徑向受力與位置的耦合關(guān)系，求得了油膜的厚度場，并且通過厚度場的求解，比較準(zhǔn)確地定位了內(nèi)齒輪的偏心距與偏心角，得到了內(nèi)齒輪在工作過程中沿著徑向微振動的運動規(guī)律。

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