PAM仿生肘關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解建模及驗(yàn)證

　， ， ， 　， (東北大學(xué) 機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院， 遼寧 沈陽(yáng)　110819)

引言

氣動(dòng)人工肌肉(Pneumatic Artificial Muscle，簡(jiǎn)稱PAM)，由于其柔性特性，故其較傳統(tǒng)的氣動(dòng)執(zhí)行機(jī)構(gòu)具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、輸出力重量比大、能量轉(zhuǎn)換效率高、仿生性能好等優(yōu)點(diǎn)[1]。用其作為仿人機(jī)械手臂的驅(qū)動(dòng)器，能夠降低成本，提高機(jī)構(gòu)的柔順性能。目前國(guó)內(nèi)外不斷對(duì)氣動(dòng)肌肉仿生機(jī)械臂的結(jié)構(gòu)進(jìn)行研究與開發(fā)，并取得了許多矚目的成果[2-4]。

然而，在對(duì)仿生機(jī)械臂結(jié)構(gòu)的研究過(guò)程中，建立機(jī)構(gòu)精確的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型是首要問(wèn)題，它是對(duì)機(jī)構(gòu)力學(xué)、誤差及控制等問(wèn)題進(jìn)行研究分析的基礎(chǔ)和保障。氣動(dòng)肌肉仿生機(jī)械臂作為一種柔性機(jī)構(gòu)，目前對(duì)其運(yùn)動(dòng)學(xué)的建模方法包括有限元法、幾何分析法、偽剛體模型法等。其中有限元法由于對(duì)初始條件要求苛刻，很難作為柔性機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析的有效方法[5-7]；幾何分析方法主要針對(duì)具有分布柔度的全柔性機(jī)構(gòu)，但目前該方法并沒(méi)有統(tǒng)一的步驟，只能根據(jù)具體結(jié)構(gòu)確定適宜的算法，不具備通用性[8]；偽剛體模型法，于1986年由I.Her首次提出[9]，其適用于部分柔性機(jī)構(gòu)以及集中式全柔性機(jī)構(gòu)，對(duì)于具有分布柔度的全柔性機(jī)構(gòu)則存在很大缺陷[10-12]。

本研究針對(duì)一種三自由度氣動(dòng)肌肉仿生肘關(guān)節(jié)，首先根據(jù)機(jī)構(gòu)特點(diǎn)，建立其偽剛體模型，并以此求得仿生肘關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解方程；其次，根據(jù)所建方程，在不同運(yùn)動(dòng)軌跡條件下，對(duì)氣動(dòng)肌肉長(zhǎng)度變化進(jìn)行仿真分析；最后，根據(jù)偽剛體模型，構(gòu)建機(jī)構(gòu)的虛擬樣機(jī)，搭建氣動(dòng)肌肉仿生肘關(guān)節(jié)的仿真系統(tǒng)模型，從而對(duì)所建運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解模型的準(zhǔn)確性進(jìn)行驗(yàn)證。

1　機(jī)構(gòu)描述

3-DOF 氣動(dòng)肌肉仿生肘關(guān)節(jié)模型如圖1所示，該仿生肘關(guān)節(jié)由前臂圓盤1、上臂圓盤2、虎克鉸3、氣動(dòng)肌肉4及支撐桿5等組成。7個(gè)虎克鉸分別安裝在前臂圓盤及上臂圓盤上，其中1個(gè)虎克鉸安放在前臂圓盤的中心點(diǎn)處，其余按圓盤內(nèi)接正三角形分別安放在前臂圓盤及上臂圓盤上；3根氣動(dòng)肌肉分別通過(guò)虎克鉸與前臂圓盤及上臂圓盤相連，且與虎克鉸之間存在軸向轉(zhuǎn)動(dòng)；支撐桿上端通過(guò)虎克鉸與前臂圓盤中心點(diǎn)相連，并與虎克鉸之間存在軸向轉(zhuǎn)動(dòng)，下端通過(guò)螺紋與上臂圓盤中心點(diǎn)固連。通過(guò)驅(qū)動(dòng)3根氣動(dòng)肌肉，控制其內(nèi)部壓力及流量，從而實(shí)現(xiàn)前臂圓盤的旋轉(zhuǎn)。

圖1　氣動(dòng)肌肉仿生肘關(guān)節(jié)模型

2　機(jī)構(gòu)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的建立

由于氣動(dòng)肌肉為柔性件，則氣動(dòng)肌肉仿生肘關(guān)節(jié)為剛-柔混合機(jī)構(gòu)，故可利用“偽剛體模型法”建立氣動(dòng)肌肉仿生肘關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，將氣動(dòng)肌肉視為圓柱副，由2個(gè)構(gòu)件組成，其偽剛體模型如圖1所示。由于支撐桿與上臂圓盤固連在一起，故視為一個(gè)構(gòu)件，則，該仿生肘關(guān)節(jié)擁有8個(gè)構(gòu)件，10個(gè)運(yùn)動(dòng)副，其中7個(gè)萬(wàn)向副，3個(gè)圓柱副，1個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副，根據(jù)Kutzbach Grubler公式可求得機(jī)構(gòu)的自由度為：

=6(8-10-1)+2×7+2×3+1

=3

(1)

建立如圖1所示的空間坐標(biāo)系。首先，在上臂圓盤中心點(diǎn)處建立固定坐標(biāo)系OB-XB、YB、ZB，其中XB軸過(guò)上臂圓盤鉸鏈點(diǎn)B3，YB軸與邊B1B3相交且與邊B1B2平行，ZB軸垂直于上臂圓盤向上；然后，在前臂圓盤中心點(diǎn)處建立運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系Op-Xp、Yp、Zp，同固定坐標(biāo)系，其XP軸過(guò)前臂平臺(tái)鉸鏈點(diǎn)b3，YP軸與邊b1b3相交且與邊b1b2平行，ZP軸垂直于前臂圓盤向上。l1、l2、l3分別為三根氣動(dòng)肌肉B3b3、B2b2、B1b1的長(zhǎng)度。將固定坐標(biāo)系OB-XB、YB、ZB作為參考坐標(biāo)系，設(shè)機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)動(dòng)順序?yàn)閆p-Yp-Xp，則運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系Op-Xp、Yp、Zp相對(duì)其的旋轉(zhuǎn)矩陣R為：

(2)

式中，(ψ、θ、φ)分別為前臂圓盤相對(duì)固定坐標(biāo)系XB、YB、ZB軸的轉(zhuǎn)角。為方便計(jì)算，將式(2)的旋轉(zhuǎn)矩陣描述為：

(3)

由于前臂圓盤與上臂圓盤半徑相等，即rP=rB=r，則虎克鉸bi、Bi(i=1,2,3)在其各自坐標(biāo)系中的位置坐標(biāo)為 ：

(4)

(5)

運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系Op-Xp、Yp、Zp原點(diǎn)相對(duì)于固定坐標(biāo)系OB-XB、YB、ZB的位置坐標(biāo)可表示為P=(0，0，z)T，則兩圓盤相應(yīng)鉸鏈點(diǎn)之間的連桿矢量為：

liei=P+Rbi-Bi(i=1,2,3)

(6)

將虎克鉸bi、Bi的坐標(biāo)代入式(6)，并取矢量模，則有桿長(zhǎng)的標(biāo)量方程式。將式(5)平方展開后，消去ei，則可得到各根氣動(dòng)肌肉的長(zhǎng)度為：

2Bix(bixxl+biyxm)-2Biy(bixyl+biyym)+

2bixzzl+2biyzzm+z2(i=1,2,3)

(7)

根據(jù)旋轉(zhuǎn)矩陣正交性，即RRT=E，則式(7)可化為：

2Biy(bixyl+biyym)+2bixzzl+

2biyzzm+z2(i=1,2,3)

(8)

將式(4)及式(5)代入式(8)中，并對(duì)其開平方，則可得到3根氣動(dòng)肌肉長(zhǎng)度變化方程為:

(9)

方程組(9)即為該氣動(dòng)肌肉仿生肘關(guān)節(jié)的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。

對(duì)方程組(9)兩端求導(dǎo)即可得到機(jī)構(gòu)速度逆解方程，即：

vl=J-1vp

(10)

式中,vl=(vl1,vl2,vl3)T，vP=(ωψr,ωθr,ωφr)T，J-1為vp的系數(shù)矩陣，即該機(jī)構(gòu)的Jacobian矩陣逆矩陣。

對(duì)式(10)兩端再次進(jìn)行求導(dǎo)，則可得到機(jī)構(gòu)的加速度方程，即：

(11)

3　運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解數(shù)值算例

設(shè)機(jī)構(gòu)上臂圓盤及前臂圓盤的半徑均為38.5 mm，運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系Op-Xp、Yp、Zp原點(diǎn)相對(duì)于固定坐標(biāo)系OB-XB、YB、ZB的位置坐標(biāo)為P=(0，0，250)T，根據(jù)式(9)，對(duì)氣動(dòng)肌肉仿生肘關(guān)節(jié)在不同運(yùn)動(dòng)軌跡下的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行仿真，其結(jié)果如圖2所示。

當(dāng)前臂圓盤相對(duì)XB軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，與XB軸對(duì)稱的兩根氣動(dòng)肌肉，在長(zhǎng)度變化上亦呈現(xiàn)出對(duì)稱性，而另外一根垂直相交于XB軸的氣動(dòng)肌肉長(zhǎng)度則沒(méi)有發(fā)生改變(如圖2a所示)； 當(dāng)前臂圓盤相對(duì)YB軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，與XB軸對(duì)稱的兩根氣動(dòng)肌肉，其長(zhǎng)度變化曲線相同，而另外一根氣動(dòng)肌肉長(zhǎng)度變化曲線的幅值大于其他兩根，且相位與其相差180°(如圖2b所示)；當(dāng)前臂圓盤相對(duì)ZB軸旋轉(zhuǎn)時(shí)， 三根氣動(dòng)肌肉的長(zhǎng)度變化曲線相同(如圖2c所示)； 當(dāng)前臂圓盤相做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)， 三根氣動(dòng)肌肉長(zhǎng)度變化曲線的相位彼此之間相差120°(如圖2d所示)；由圖3可以看出，盡管參考點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡不同，但三根氣動(dòng)肌肉長(zhǎng)度的變化均是連續(xù)的，平穩(wěn)的，且沒(méi)有突變，說(shuō)明機(jī)構(gòu)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，具有良好的平滑性。

圖2　氣動(dòng)肌肉長(zhǎng)度變化曲線

4　逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的驗(yàn)證

為了進(jìn)一步驗(yàn)證所求氣動(dòng)肌肉仿生肘關(guān)節(jié)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的準(zhǔn)確性，根據(jù)機(jī)構(gòu)偽剛體模型，在MATLAB/Simulink 中建立關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)虛擬樣機(jī)及其仿真系統(tǒng)模型，如圖3所示。

根據(jù)式(9)，計(jì)算得到氣動(dòng)肌肉理論長(zhǎng)度，并將其與實(shí)際長(zhǎng)度的差值作為PID控制器的輸入，通過(guò)調(diào)節(jié)PID參數(shù)，得到機(jī)構(gòu)前臂圓盤轉(zhuǎn)角軌跡曲線，并與期望軌跡進(jìn)行對(duì)比，其結(jié)果如圖4所示。

由圖4可以看出，通過(guò)調(diào)節(jié)PID模塊，前臂圓盤轉(zhuǎn)角軌跡曲線與期望軌跡曲線基本吻合，其誤差變化如圖4b、圖4d所示，從而驗(yàn)證了所建機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解數(shù)學(xué)模型的準(zhǔn)確性。

5　結(jié)論

本研究針對(duì)三自由度PAM仿生肘關(guān)節(jié)，首先建立機(jī)構(gòu)的偽剛體模型，并根據(jù)模型求得機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解方程；其次，根據(jù)所的方程完成對(duì)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解數(shù)值仿真分析；最后，根據(jù)偽剛體模型構(gòu)建氣動(dòng)肌肉仿生肘關(guān)節(jié)的虛擬樣機(jī)，搭建仿真系統(tǒng)模型，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解方程，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)虛擬樣機(jī)的PID控制，進(jìn)而驗(yàn)證逆解方程的準(zhǔn)確性。

仿真結(jié)果表明，在設(shè)計(jì)工作空間內(nèi)，三根氣動(dòng)肌肉的長(zhǎng)度變化連續(xù)、平穩(wěn)且沒(méi)有突變，說(shuō)明機(jī)構(gòu)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，具有良好的平滑性。此外，通過(guò)調(diào)節(jié)PID控制器參數(shù)， 氣動(dòng)肌肉仿生肘關(guān)節(jié)前臂圓盤轉(zhuǎn)角軌跡曲線與期望軌跡曲線重合度較高，從而實(shí)現(xiàn)了對(duì)逆解方程準(zhǔn)確性的驗(yàn)證，增強(qiáng)了仿真結(jié)果的可靠性，為機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)性能、力學(xué)性能等方面的分析奠定了基礎(chǔ)。

圖3　氣動(dòng)肌肉仿生肘關(guān)節(jié)虛擬樣機(jī)及仿真系統(tǒng)模型

圖4　控制仿真結(jié)果

參考文獻(xiàn)：

[1]Kawamura K,Peters II R A,Beget S,et al.Intelligent Robotic Systems in Service of the Disabled[J].IEEE Transactions on Rehabilitation Engineering,1995,3(1):14-21.

[2]C Tommasino P,Caligiore D,Sperati V,et al.A McKibben Muscle Arm Learning Equilibrium Postures[C].4th IEEE RAS & EMBS International Conference on Biomedical Robotics and Biomechatronics (BioRob), IEEE,2012:1229-1234.

[3]Tanaka D,Kamo D,Watanabe T,et al. Development of a 7-DOF Manipulator Actuated by Straight-fiber-type Pneumatic Artificial Muscle[C].2013 IEEE/ASME International Conference on Advanced Intelligent Mechatronics (AIM),IEEE,2013: 300-306.

[4]應(yīng)申舜,秦現(xiàn)生,任振國(guó),等. 基于人工肌肉的機(jī)器人驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)設(shè)計(jì)與研究[J]. 機(jī)器人,2008,30(2):142-146.

[5]楊毅,丁希侖,呂勝男,等. 基于有限元的平面變胞機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)研究[J]. 航空學(xué)報(bào),2010,1(12): 2425- 2434.

[6]R Avile′s,A Herna′ndez,E Amezua,et al. Kinematic Analysis of Linkages Based in Finite Elements and the Geometric Stiness Matrix[J]. Mechanism and Machine Theory,2008,43(8): 964-983.

[7]Satoko HIRABAYASHI,Tomonari TSUCHIDA,Eiichi TANAKA,et al. Simulation Study on Mechanisms of Hip Fractures in Backward Falls[J]. Journal of Biomechanical Science and Engineering,2013,8(4): 328-243.

[8]胡海燕,王鵬飛,孫立宇,等. 線驅(qū)動(dòng)連續(xù)型機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析與仿真[J]. 機(jī)械工程學(xué)報(bào),2010,46(19): 1-8.

[9]I Her,A Midha. A Compliance Number Concept for Compliant Mechanisms,and Type Synthesis[J]. Journal of Mechanical Design,1987,109(3): 348-355.

[10]邱麗芳,翁海珊,柳林,等. 全柔性四桿機(jī)構(gòu)偽剛體模型分析計(jì)算方法的改進(jìn)[J]. 農(nóng)業(yè)機(jī)械學(xué)報(bào),2008,39(5): 142-145.

[11]Dana Vogtmann,Satyandra K Gupta,Sarah Bergbreiter. Modeling and Optimazation of a Miniature Elastomeric Compliant Mechanism Using a 3-Spring Pseudo Rigid Body Model[C]. ASME 2013 International Design Engineering Technical Conferences and Computers and Information in Engineering Conference. Portland,2013.

[12]Kuber. Development of a Methodology for Pseudo-rigid-body Models of Compliant Segments with Inserts,and Experimental Validation[D]. Missouri: Missouri University of Science and Technology,2013.