模擬壓縮采樣技術(shù)研究

裴志軍，王曉敏，韓　蕾（天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)電子工程學(xué)院，天津　300222）

模擬壓縮采樣技術(shù)研究

裴志軍，王曉敏，韓蕾
（天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)電子工程學(xué)院，天津300222）

摘要：高帶寬信號的應(yīng)用對傳統(tǒng)的香農(nóng)-奈奎斯特采樣提出了苛刻挑戰(zhàn)，因此，基于壓縮感知理論，對模擬信號的亞奈奎斯特采樣技術(shù)進(jìn)行研究。將壓縮感知概念從離散域推廣到模擬信號域，采用壓縮采樣算子對模擬信號輸入帶寬進(jìn)行壓縮，實現(xiàn)模擬壓縮采樣。在模擬壓縮采樣算子設(shè)計中，基于信號結(jié)構(gòu)選擇能夠與信號稀疏有效結(jié)合成單一硬件結(jié)構(gòu)的感知矩陣，使在壓縮帶寬的同時不損失任何重要信息。在壓縮采樣的數(shù)字處理中，應(yīng)用非線性探測方法從低速率壓縮采樣序列中探測信號的精確子空間。

關(guān)鍵詞：壓縮感知；模擬信號；亞奈奎斯特采樣；稀疏；頻譜感知

在過去的幾十年中，香農(nóng)-奈奎斯特采樣理論的基本原理幾乎成為所有數(shù)字信號處理應(yīng)用的基礎(chǔ)，如音頻、視頻、無線電接收、無線通信、雷達(dá)應(yīng)用、醫(yī)學(xué)器件、光學(xué)系統(tǒng)等[1]。然而，隨著當(dāng)前信息需求量的日益增加，信號帶寬越來越寬，在信息獲取中對采樣速率和處理速度等提出了越來越高的要求。例如近年來，隨著射頻技術(shù)的進(jìn)步，不斷增長的數(shù)據(jù)要求促進(jìn)了高帶寬信號的應(yīng)用。而對于寬帶信號，香農(nóng)-奈奎斯特采樣定理所要求的奈奎斯特采樣率對捕獲硬件以及隨后的存儲和DSP處理器提出了苛刻的挑戰(zhàn)[2]。為了更有效地采樣，獲得亞奈奎斯特采樣率，應(yīng)當(dāng)探索信號的結(jié)構(gòu)先驗知識，如子空間、稀疏等。壓縮感知（compressive sensing，CS）的研究表明[3]，稀疏或可壓縮的有限長度的離散信號可以從較小數(shù)目的線性非自適應(yīng)隨機(jī)測量中恢復(fù)，信號的采樣速率不再取決于信號的帶寬，而是取決于信息在信號中的結(jié)構(gòu)與內(nèi)容。

由D Donoho、E Candès及T Tao等[4]提出的壓縮感知理論指出了一條將模擬信號轉(zhuǎn)化為數(shù)字形式壓縮信號的有效途徑。在壓縮感知的研究中，最終目標(biāo)是構(gòu)建壓縮采樣捕獲器件，通過探索信號結(jié)構(gòu)獲得亞奈奎斯特率采樣，降低對隨后存儲和DSP的要求。這使得采樣率可以由實際的信息內(nèi)容支配，而不是信號帶寬。壓縮感知相關(guān)文獻(xiàn)大多考慮有限維離散數(shù)字信號的處理[5]，雖然離散數(shù)學(xué)框架能夠很好捕獲降低采樣率的概念，但沒有清晰地表明如何以低采樣率實際捕獲模擬輸入。許多應(yīng)用中所感興趣的往往是物理域信號，因而自然地將其表示為連續(xù)時間模擬函數(shù)，而不是離散量。對于這些真實世界問題，需要將壓縮感知概念從離散域推廣到模擬信號域，獲得最終的模擬壓縮采樣目標(biāo)[6-8]。因此，本文主要對模擬壓縮采樣的相關(guān)技術(shù)進(jìn)行研究和探討。

1　壓縮感知

自科學(xué)革命的先驅(qū)伽利略以來，測量所能測量的已經(jīng)成為科學(xué)發(fā)現(xiàn)的典范。然而面臨當(dāng)今的海量數(shù)據(jù)，測量所應(yīng)測量的也許更為迫切。但問題是往往由于沒有先驗，人們無法得知什么是重要的應(yīng)當(dāng)測量，以及什么不應(yīng)當(dāng)測量。在許多應(yīng)用中，傳感器采集了大量的數(shù)據(jù)，但很多是冗余數(shù)據(jù)。由于儲存能力的限制，需要利用壓縮技術(shù)對這些數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，將大量的冗余數(shù)據(jù)丟掉。以數(shù)字相機(jī)為例，每次捕獲一幅圖像就會獲得百萬量級的測量，隨后應(yīng)用圖像壓縮算法，僅存儲重要部分的數(shù)據(jù)，如圖1所示。

圖1　靜態(tài)圖像中的數(shù)據(jù)冗余

圖1（a）是一張原始照片，在磁盤上存儲需要2 500 KB，而采用圖像壓縮的JPEG標(biāo)準(zhǔn)來壓縮這張照片，僅需要原存儲容量的6%，如圖1（b）所示。一般很難看出這2張圖片的區(qū)別。不僅是靜態(tài)圖像，通常采集的音頻和視頻數(shù)據(jù)也需要壓縮處理。這種收集了大量數(shù)據(jù)卻又要丟掉大量冗余現(xiàn)象的發(fā)生，與基于奈奎斯特采樣的傳統(tǒng)傳感器設(shè)計密切相關(guān)。能否直接從傳感器采集獲得有用信息而不去測量那些需要丟棄的冗余數(shù)據(jù)，這是壓縮感知所研究的核心問題。應(yīng)用壓縮感知概念，信號采集和數(shù)據(jù)壓縮可以同時進(jìn)行，實現(xiàn)測量所應(yīng)測量的，從而能夠設(shè)計出新型的數(shù)據(jù)采集器件。壓縮感知概念如圖2所示。

壓縮感知也稱為壓縮采樣、稀疏采樣和壓縮傳感。作為一個新的采樣理論，通過開發(fā)信號的稀疏特性，在遠(yuǎn)小于奈奎斯特采樣率的條件下，用隨機(jī)采樣獲取信號的離散樣本，然后通過非線性重建算法完美地重建信號。壓縮感知數(shù)學(xué)理論及潛在應(yīng)用已經(jīng)吸引了眾多領(lǐng)域的科學(xué)家對壓縮感知進(jìn)行探索。壓縮感知數(shù)學(xué)理論的核心是利用數(shù)據(jù)的稀疏性及不連續(xù)性，通過凸規(guī)劃以計算有效方式，可以從欠定的線性等式系統(tǒng)精確恢復(fù)一個稀疏的信號。壓縮感知模型如圖3所示?？紤]Ax=y，其中A是一個m×n秩m的矩陣，m＜n。系統(tǒng)通過矩陣A建模測量或感知過程；x∈Cn是感興趣的信號，y∈Cm是測量矢量。由傳統(tǒng)的線性代數(shù)知識可知，測量數(shù)目m必須至少與信號長度一樣大，否則系統(tǒng)欠定，將存在無窮多個解。

圖2　壓縮感知概念

圖3　壓縮感知模型

現(xiàn)在假設(shè)x是稀疏的，如x滿足s∶=‖x‖l0=0，其中的l0范數(shù)表示x的非零元素的個數(shù)，但不知道非零元素的位置。由于x稀疏，可以通過求解如下優(yōu)化問題計算x，即

然而，求解該式是一個非確定多項式（non deterministic polynomial，NP）難問題，可應(yīng)用凸松弛，考慮l1范數(shù)，問題近似為凸問題，利用凸優(yōu)化方法求解，即

上式可以通過線性或二次規(guī)劃技術(shù)有效求解。

在矩陣A和x稀疏滿足一定條件下，上述2式具有同樣的唯一解。相關(guān)理論分析表明，正確選擇矩陣A，則m=s log n個測量足夠唯一從上式恢復(fù)x?？梢姡瑢τ谝粋€稀疏信號，允許以信息率采樣，并采用非自適應(yīng)線性測量。然而，信號通常在空間域是不稀疏的，需要探索稀疏表示的可能性，因而基于稀疏編碼的壓縮感知理論受到廣泛關(guān)注。

設(shè)矢量空間S∈Cm由n個線性無關(guān)的基{φi}張成，則該空間中的任意矢量x都可以表示為基矢量的線性組合，即

式中：ai是x在基矢量φi上的展開系數(shù)。若Ψ∈Rm×n是由基矢量組成的矩陣，每一列對應(yīng)一個基矢量，則上式可寫成矩陣形式，即

若n＞m，則基集合{φi}過完備，而此時相應(yīng)的過完備矩陣稱為字典。信號的過完備表示使信號能夠采用稀疏系數(shù)表示，信號x∈Rm在過完備字典下可表示為：

信號稀疏表示式中，少數(shù)的非零系數(shù)揭示了信號內(nèi)在的結(jié)構(gòu)和本質(zhì)屬性。然而，信號往往在空間域不稀疏，但在特定字典下的分解系數(shù)則可能是稀疏的。

2　模擬信號的壓縮采樣

對于模擬信號的壓縮采樣，根據(jù)壓縮感知理論，一個概念性的途徑是應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)硬件獲得信號的離散奈奎斯特率表示，隨后應(yīng)用壓縮感知減少數(shù)據(jù)維數(shù)，但這與壓縮感知盡可能降低信號采樣率的初衷相矛盾。首先考慮離散情況，信號在給定變換基稀疏x=Ψs的情況下，壓縮感知的測量模型為y=Φx=ΦΨs=As。在一些壓縮感知應(yīng)用中，變換基Ψ=I不失一般性，則Ψ被概念性地吸收到測量矩陣Φ中。壓縮感知測量采用矩陣Φ，而矩陣Ψ僅在重構(gòu)算法中考慮。與離散情況相比，在模擬壓縮感知中，輸入稀疏級的引入將使硬件設(shè)計受益。概念上，模擬壓縮算子P可以看作兩級采樣系統(tǒng)，如圖4所示。首先，由稀疏級產(chǎn)生高速率測量流，其中僅少數(shù)具有非零值；隨后應(yīng)用感知矩陣A測量，并由低速率ADC采樣。雖然，理論上可采用任何感知矩陣，但實際應(yīng)用中應(yīng)選擇一個能夠與稀疏部分結(jié)合成單一硬件結(jié)構(gòu)的感知矩陣，使系統(tǒng)實際上并不需要經(jīng)歷奈奎斯特采樣。因此，一個模擬壓縮感知系統(tǒng)中，壓縮采樣的關(guān)鍵是靈活選擇可以與給定的稀疏級有效結(jié)合的感知矩陣。

圖4　模擬壓縮算子

另一方面，對于離散域壓縮感知，系統(tǒng)復(fù)雜性集中在數(shù)字重構(gòu)上。在模擬壓縮感知系統(tǒng)中，正確選擇模擬壓縮采樣算子P可以有效降低數(shù)字處理的復(fù)雜性，在模擬和數(shù)字復(fù)雜性間合理平衡。因此，壓縮算子P的設(shè)計應(yīng)當(dāng)基于輸入的模擬信號模型，探索信號的結(jié)構(gòu)，以降低計算負(fù)載。

以認(rèn)知無線電中的頻譜感知為例，本文討論如何將壓縮感知的概念從離散數(shù)字域推廣到連續(xù)模擬域。為了滿足人們對于帶寬日益增長的需求，改善頻譜利用效率，有效地實現(xiàn)頻譜的重用非常重要。認(rèn)知無線電的研究中，有效地利用對于當(dāng)前通信冗余且可以被利用的頻率資源的同時，采用頻譜感知技術(shù)動態(tài)地利用頻譜，可以改善頻譜效率。在認(rèn)知無線電應(yīng)用中，信號模型可以采用稀疏的移不變框架描述。在移不變SI空間，對于序列集合{d1[n]∈l2，1≤l≤N}和周期T，任意一個信號可表示為：

該模型包含了許多用于通信和信號處理中的信號，如帶限函數(shù)、樣條、載波位置已知的多帶信號以及脈沖幅度調(diào)制信號等。因為信號與無限多的系數(shù){d1[n]，1≤l≤N}相關(guān)，信號的子空間具有無限維，這樣信號可以從N/T速率的采樣中恢復(fù)。

為了進(jìn)一步將結(jié)構(gòu)引入一般的SI模型，考慮從N個產(chǎn)生器的有限集合中選取小數(shù)目K個產(chǎn)生器，則稀疏的SI模型為：

如果已知K個激活的產(chǎn)生器，則能夠以K/T速率采樣。這里存在一個問題，即僅知道產(chǎn)生器中K個激活，但事先并不知道具體是哪些。這意味著序列dl[n]中僅K個具有非零能量，即對于d [n]=[d1[n]，…，dN[n]]T，‖d [n]‖0≤K。該模型可能的最低采樣率為2K/T。給定p×N的具有允許稀疏矢量重構(gòu)的感知矩陣A，進(jìn)行壓縮感知采樣，則產(chǎn)生低速率采樣y[n]=[y1[n]，…，yp[n]]T，即

選擇p＜N可獲得低于奈奎斯特率的采樣。

考慮多帶信號的亞奈奎斯特采樣，未知載波的多帶信號可以描述為一個稀疏的SI問題。假設(shè)多帶譜包含最多N個載波fi的頻帶，頻帶最大寬帶B，載波限制到最大頻率fmax。當(dāng)載波頻率固定，信號模型可以描述為一個子空間，每一個頻帶可采用標(biāo)準(zhǔn)的解調(diào)技術(shù)低速率采樣。一個更具挑戰(zhàn)的情況是載波頻率未知，如移動認(rèn)知無線電中的頻譜感知。理論上載波fi∈[0，fmax]，為了應(yīng)用稀疏SI框架，可以將多帶模型考慮為帶通子空間的稀疏SI框架。信號的壓縮采樣采用調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器（modulated wideband converter，MWC）結(jié)構(gòu)，如圖5所示。MWC由m個通道的模擬前端構(gòu)成，每個通道上，輸入信號與周期波形相乘，低通濾波，然后采樣。混頻操作將輸入信號的頻譜混疊，使所有頻帶能量的一部分都能夠在基帶混合。周期性波形函數(shù)pi（t）定義了一個感知矩陣A，原理上任何具有周期T內(nèi)高速轉(zhuǎn)換的周期函數(shù)都可以滿足對感知矩陣的要求。

圖5　調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器結(jié)構(gòu)

模擬壓縮采樣算子壓縮模擬輸入帶寬，提供了可以采用低速率ADC器件的條件。模擬壓縮采樣算子設(shè)計中廣泛探索信號的結(jié)構(gòu)，以便在降低帶寬的同時不損失任何重要信息。而壓縮采樣的數(shù)字處理中，需要首先應(yīng)用非線性探測方法從低速率壓縮采樣中探測信號的精確子空間，這里可應(yīng)用CS算法。隨后的DSP和信號重構(gòu)僅需要考慮信號所屬的精確子空間。

在認(rèn)知無線電頻譜感知中，多帶信號x（t）具有稀疏頻譜，N個載波fi位置未知。壓縮采樣可采用MWC結(jié)構(gòu)，輸入信號x（t）通過m個通道的RF處理前端，在第i通道，x（t）與一個周期T的周期波形pi（t）相乘，由截止頻率1/2T的h（t）低通濾波，然后以速率fs=1/T采樣。參數(shù)設(shè)置為m≥2N，fs=1/T≥B。MWC結(jié)構(gòu)可以減少采樣通道數(shù)目，但需要增加每個通道的采樣率，使系統(tǒng)采樣率mfs保持不變。

因為p（it）是周期的，fp=1/T，其傅里葉展開為：

因此，對于MWC壓縮采樣，在t=nT時刻獲得的采樣矢量滿足欠定系統(tǒng)

式中：C是m×M矩陣；元素是cil；z[n]=[z-L[n]，…，zL[n]]T。周期函數(shù)p（it）的傅里葉系數(shù)cil定義了敏感矩陣C。

可見，概念上MWC將這些采樣子頻帶頻移到原點加權(quán)求和，采用低通濾波器h（t）傳輸fs/2窄帶頻率，亞奈奎斯特采樣獲得輸出序列yi[n]。對于壓縮感知重構(gòu)，理論上可以通過求解稀疏解z[n]，而一個更有效的技術(shù)是進(jìn)一步探索時間內(nèi)的聯(lián)合稀疏性[9]。

3　技術(shù)挑戰(zhàn)

壓縮感知的研究多集中于離散有限維字典稀疏表示的信號，然而實際應(yīng)用中的許多信號，如雷達(dá)、聲納、遙感等，常由連續(xù)域的參數(shù)確定。對于連續(xù)域模擬信號的壓縮采樣，為了使采樣重構(gòu)問題服從壓縮感知框架，一個通常的方法是將連續(xù)域離散。但這將引起柵格誤差或變換基的失配。雖然選擇較小的離散步長可以減小柵格誤差，但增加了相關(guān)性及計算復(fù)雜性。與模擬信號壓縮感知相關(guān)的重要研究工作還包括結(jié)構(gòu)化壓縮感知、有限更新率信號的采樣和重構(gòu)、模擬信息轉(zhuǎn)換等。有限更新率信號（finite rate of innovation，F(xiàn)RI）的研究表明，F(xiàn)RI信號可以從遠(yuǎn)低于奈奎斯特率的更新率采樣中完美重構(gòu)[10]，但有限更新率概念并沒有能夠提出穩(wěn)定的快速算法或可以處理近似稀疏信號的框架。對于連續(xù)域稀疏信號，是否可以開發(fā)一個嚴(yán)格的壓縮感知框架，以適用于寬范圍的類信號，并且盡可能多地保留標(biāo)準(zhǔn)壓縮感知方法簡單有效的數(shù)值算法。這一假設(shè)近年來引起研究者的廣泛關(guān)注，如模擬壓縮感知相關(guān)研究工作中所提出的Xampling[2]，它提供了一個基于子空間聯(lián)合的信號捕獲和處理框架。

壓縮感知的概念推動著新的數(shù)據(jù)采集硬件的開發(fā)。雖然已經(jīng)出現(xiàn)了壓縮感知的各種應(yīng)用，但構(gòu)建基于壓縮感知的硬件還是一個巨大的挑戰(zhàn)。壓縮感知硬件的研究需要理論、算法和硬件設(shè)計等不同領(lǐng)域科學(xué)家之間的合作，通過集成的跨學(xué)科方法進(jìn)行硬件和算法的開發(fā)，以集成的方法來考慮信息、復(fù)雜度、硬件和算法。

4　結(jié)束語

傳統(tǒng)的信號采樣基于奈奎斯特采樣定理，而壓縮感知理論研究表明可以在遠(yuǎn)低于奈奎斯特采樣率的條件下對信號進(jìn)行采樣，并通過數(shù)值優(yōu)化的方法重構(gòu)原始信號。壓縮感知的研究基于欠定性系統(tǒng)，理論上采用感知矩陣代替采樣算子，但模擬信號的壓縮采樣不能概念性地直接將感知矩陣應(yīng)用于輸入信號的奈奎斯特率采樣，這與壓縮感知降低采樣率的初衷相矛盾。將壓縮感知技術(shù)延伸到模擬信號亞奈奎斯特采樣，可采用模擬壓縮算子壓縮模擬輸入信號帶寬，進(jìn)而可以采用低速率商用ADC器件采樣。壓縮算子的設(shè)計應(yīng)基于信號的結(jié)構(gòu)，選擇一個能夠與給定稀疏組合成單一硬件結(jié)構(gòu)的感知矩陣，如可用于認(rèn)知無線電頻譜感知的MWC系統(tǒng)中的周期性混頻，使系統(tǒng)實際上并不需要經(jīng)歷奈奎斯特采樣。將壓縮感知思想從離散域推廣到實際的模擬域，為模擬信號轉(zhuǎn)化為數(shù)字形式的壓縮信號提供了有效途徑，這使得信號的采樣與處理都能以較低的速率進(jìn)行，顯著降低系統(tǒng)功耗、數(shù)據(jù)存儲和傳輸代價以及信號處理計算成本，從而使采樣器件、存儲器件及DSP器件能夠滿足實際應(yīng)用的苛刻要求。模擬壓縮采樣的研究面臨著各種機(jī)遇與挑戰(zhàn)，需要跨學(xué)科以集成的方法考慮硬件和軟件的開發(fā)。

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Analog compressed sampling technology

PEI Zhi-jun，WANG Xiao-min，HAN Lei
（School of Electronic Engineering，Tianjin University of Technology and Education，Tianjin 300222，China）

Abstract：A variety of applications of signals with large bandwidth have imposed increasing rigorous demanding challenges on the traditional Shannon-Nyquist sampling method. Based on compressed sensing theory，the technology of sub-Nyquist sampling of analog signals is discussed in the paper. With the extension of compressed sensing ideas to analog domain，analog compressed sampling operator narrows down the analog input bandwidth. The design of analog compression operator should first consider the input signal structure model，and then chose an appropriate sensing matrix which can be combined with the signal sparse to a single hardware，in order that no import information is lost when analog band is compressed. For the digital processsing of the compressed samples，using no-linear method，the accurate signal subspce can be found from the sampled sequences at low rate.

Key words：compressed sensing；analog signal；sub-Nyquist sampling；sparse；spectrum sensing

作者簡介：裴志軍（1967—），男，教授，碩士生導(dǎo)師，研究方向為信息獲取與處理、專用集成電路設(shè)計.

基金項目：天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)科研發(fā)展基金項目（KJY1312）.

收稿日期：2015-06-03

中圖分類號：TN391.41

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：2095－0926（2015）03－0048－05