有色噪聲條件下的子空間辨識(shí)改進(jìn)方法及應(yīng)用

羅小鎖 ，陳學(xué)昌 ，曹保山

1.重慶電子工程職業(yè)學(xué)院，重慶 401331

2.重慶大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，重慶 400044

1 引言

傳統(tǒng)的工業(yè)控制模型都是采用輸入輸出模型，包括參數(shù)模型和非參數(shù)模型。但是為了進(jìn)一步提高控制性能和控制精度，學(xué)術(shù)界和工業(yè)界普遍認(rèn)為應(yīng)該采用狀態(tài)空間模型，這樣近些年所發(fā)展起來的現(xiàn)代濾波理論和控制器設(shè)計(jì)方法就可以發(fā)揮作用[1]。子空間辨識(shí)方法是一類狀態(tài)空間模型的系統(tǒng)辨識(shí)方法，該方法徹底將控制工作者從繁瑣的機(jī)理建模中解脫出來，只要具有足夠多的過程輸入輸出數(shù)據(jù)就可以通過辨識(shí)方法得到過程的狀態(tài)空間模型[2-3]。子空間辨識(shí)方法綜合了系統(tǒng)理論、線性代數(shù)和統(tǒng)計(jì)學(xué)三方面的思想，相比于傳統(tǒng)的辨識(shí)方法，諸如預(yù)報(bào)誤差法和輔助變量法，它有如下優(yōu)點(diǎn)：（1）不需要參數(shù)化；（2）不需要迭代優(yōu)化；（3）算法實(shí)現(xiàn)僅依賴于一些簡(jiǎn)單可靠的線性代數(shù)工具，如QR分解、SVD分解等；（4）直接估計(jì)狀態(tài)空間模型，適用于多變量系統(tǒng)辨識(shí)[4]。

工業(yè)生產(chǎn)過程中普遍存在著噪聲情況，且基本上都是有色噪聲[5]。傳統(tǒng)的子空間辨識(shí)方法解決的是白噪聲問題，導(dǎo)致辨識(shí)模型誤差較大，控制效果不佳[6]。文獻(xiàn)[7]提出一種利用加權(quán)頻域子空間辨識(shí)方法來解決噪聲問題，但僅考慮了白噪聲問題。文獻(xiàn)[8]提出一種閉環(huán)有色噪聲系統(tǒng)的子空間辨識(shí)方法，但有色噪聲僅局限于零均值、穩(wěn)態(tài)、高斯有色噪聲，本文所選有色噪聲更為廣義。文獻(xiàn)[9]提出一種基于輔助變量的子空間辨識(shí)方法來處理有色噪聲，將系統(tǒng)分解為確定性部分和隨機(jī)性部分，推導(dǎo)過程比較復(fù)雜，而且由于眾多參數(shù)的影響會(huì)導(dǎo)致辨識(shí)精度下降。

基于此，本文在文獻(xiàn)[10]基礎(chǔ)上提出一種有色噪聲條件下的子空間辨識(shí)改進(jìn)方法，通過變換系統(tǒng)模型形式將有色噪聲轉(zhuǎn)變成白噪聲，克服了有色噪聲對(duì)系統(tǒng)的影響。將此方法應(yīng)用于CSTR的過程辨識(shí)，獲得了良好的辨識(shí)效果。

2 狀態(tài)空間模型描述

系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型方程有多種形式，其中在工業(yè)過程中最常用的為隨機(jī)性形式：

其中u(k)∈m為系統(tǒng)的輸入測(cè)量值，y(k)∈l為系統(tǒng)的輸出測(cè)量值，x(k)∈n為系統(tǒng)的過程狀態(tài)。w(k)∈n為系統(tǒng)的過程噪聲，v(k)∈l為輸出的測(cè)量噪聲，兩者均為零均值白噪聲；(A，B，C，D)為相對(duì)應(yīng)維數(shù)的系統(tǒng)矩陣。

3 改進(jìn)前的子空間辨識(shí)方法

假設(shè)k為當(dāng)前時(shí)刻，f為未來時(shí)刻長(zhǎng)度，對(duì)（1）通過適當(dāng)變換可得：

其中棧向量 yf、uf、wf、vf，廣義可觀測(cè)矩陣 Γf和Toeplitz矩陣 Hf、Gf為：

同樣定義過去時(shí)刻長(zhǎng)度p的棧向量狀態(tài)空間方程：

其中棧向量 yp、up、wp、vp，廣義可觀測(cè)矩陣 Γp和Toeplitz矩陣Hp、Gp定義與前面相似。

將式（2）和（3）寫成Hankel矩陣形式：

為了能夠得到系統(tǒng)矩陣，子空間辨識(shí)方法一般由兩步組成：（1）確定廣義可觀測(cè)矩陣Γf或者估計(jì)出系統(tǒng)的狀態(tài)序列；（2）計(jì)算系統(tǒng)矩陣。

需要注意的是，從式（2）可知系統(tǒng)模型階次將和f成正比，f選擇過大，會(huì)導(dǎo)致高階系統(tǒng)，而高階系統(tǒng)會(huì)導(dǎo)致計(jì)算的復(fù)雜度增加，為此采用奇異值分解法來求解系統(tǒng)的最優(yōu)模型階次，根據(jù)系統(tǒng)奇異值信息的范圍來確定模型階次，具體方法可參考文獻(xiàn)[11-12]。

3.1 確定 Γf或者

考慮矩陣等式（4），采用正交投影方法，利用線性代數(shù)工具QR分解、SVD分解等，獲取等式的ΓfXf部分。

將Yf行子空間投影到Uf行子空間的正交補(bǔ)子空間：

根據(jù)噪聲與輸入不相關(guān)且由投影定理可得到：

在投影左右兩邊分別加入加權(quán)矩陣W1和W2并引入中間矩陣οf，通過合適變換可得：

對(duì)上式進(jìn)行SVD分解得：

對(duì)于合適的加權(quán)矩陣W1，廣義可觀測(cè)矩陣滿足：

對(duì)于合適的加權(quán)矩陣W2，矩陣滿足：

可以作為狀態(tài)序列Xf的估計(jì)值，而且對(duì)于特定的加權(quán)矩陣W2，矩陣為 Xf的Kalman估計(jì)。

3.2 計(jì)算系統(tǒng)矩陣

根據(jù)式（1），可得到如下關(guān)系式：

其中 ρw和 ρv為殘差矩陣，使用最小二乘法，得到：

其中‖‖·F指矩陣的Frobenius范數(shù)。這樣系統(tǒng)的狀態(tài)空間矩陣(A，B，C，D)就被估計(jì)出來。

4 有色噪聲的處理方法

在實(shí)際的工業(yè)過程中，噪聲往往是有色噪聲，所謂有色噪聲是指噪聲序列中每一時(shí)刻的噪聲和另一時(shí)刻的噪聲相關(guān)。給定一個(gè)高斯白噪聲信號(hào)e(k)，則有色噪聲ξ(k)可表示為：

給定如下的帶有色噪聲系統(tǒng)狀態(tài)空間方程：

其中wns(k)和vns(k)為有色噪聲序列。

將式（15）中狀態(tài)空間模型變換得到：

由式（14）可知：

所以可將式（16）寫成：

其中w(k)和v(k)均為零均值白噪聲序列。定義新的狀態(tài)空間方程狀態(tài)變量xˉ、輸入變量uˉ、輸出變量yˉ：

變換后的系統(tǒng)狀態(tài)空間方程為：

這樣就達(dá)到了通過變換系統(tǒng)模型形式來處理有色噪聲的目的，主要是讓系統(tǒng)噪聲變?yōu)橐粋€(gè)零均值白噪聲，雖然不能徹底消除噪聲，卻大大降低了噪聲對(duì)系統(tǒng)的影響。然后，在辨識(shí)時(shí)直接利用變換系統(tǒng)模型后的數(shù)據(jù)得到系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。

5 系統(tǒng)仿真

CSTR即連續(xù)攪拌反應(yīng)釜，是過程控制中經(jīng)常用到的系統(tǒng)模型，其原理為：兩種不同的化學(xué)物質(zhì)在反應(yīng)釜中攪拌形成一種濃度為Ca的化合物A，其反應(yīng)釜溫度為T[13-14]。因?yàn)楦獌?nèi)是放熱反應(yīng)，反應(yīng)速度會(huì)受到影響，因此必須通過引入流量為Qc的冷卻劑，用來冷卻釜內(nèi)溫度，保證產(chǎn)品的濃度得以控制。CSTR系統(tǒng)如圖1所示。

圖1 CSTR系統(tǒng)圖

CSTR為一個(gè)單輸入兩輸出系統(tǒng)，輸入為冷卻劑流量Qc，輸出為產(chǎn)品的濃度Ca和混合溫度T。系統(tǒng)用非線性微分方程組可表示為：

其中q為進(jìn)料流量，Caf為進(jìn)料濃度，Tf和Tcf分別為進(jìn)料溫度和冷卻劑溫度，k0、E R、V、k0、ρ、ρc、Cp、Cpc和hA為化學(xué)反應(yīng)系數(shù)，具體參數(shù)見表1。

表1 CSTR參數(shù)表

為了驗(yàn)證算法，直接采用CSTR工業(yè)對(duì)象辨識(shí)得到的數(shù)據(jù)[15]，取前1 000個(gè)數(shù)據(jù)用于模型辨識(shí)及驗(yàn)證。其中輸入Qc的數(shù)據(jù)如圖2所示。

圖2 辨識(shí)數(shù)據(jù)圖

通過子空間辨識(shí)獲得系統(tǒng)模型，改進(jìn)前的系統(tǒng)與模型輸出如圖3所示，其中p和f均為10，采樣時(shí)間為10－1min，采樣數(shù)N為1 000。從圖2和圖3可以看出，CSTR辨識(shí)數(shù)據(jù)中包含著較強(qiáng)的有色噪聲序列。

圖3 改進(jìn)前CSTR系統(tǒng)數(shù)據(jù)（實(shí)）和預(yù)測(cè)輸出（虛）匹配驗(yàn)證

為了克服有色噪聲數(shù)據(jù)對(duì)系統(tǒng)辨識(shí)的影響，引入第4章節(jié)中處理有色噪聲的方法，通過變換系統(tǒng)模型形式將有色噪聲轉(zhuǎn)變?yōu)榘自肼?，?0.2，使用 和 的數(shù)據(jù)進(jìn)行辨識(shí)，改進(jìn)后的系統(tǒng)與模型輸出如圖4所示。

圖4 改進(jìn)后CSTR系統(tǒng)數(shù)據(jù)（實(shí)）和預(yù)測(cè)輸出（虛）匹配驗(yàn)證

為了進(jìn)一步驗(yàn)證改進(jìn)前和改進(jìn)后子空間辨識(shí)方法的辨識(shí)精度，引入預(yù)測(cè)誤差ε：

其中N為采樣數(shù)，j代表第j個(gè)系統(tǒng)輸出，yij和分別表示系統(tǒng)和模型的第j個(gè)系統(tǒng)輸出在第i時(shí)刻的值。改進(jìn)前、改進(jìn)后及利用文獻(xiàn)[9]方法得到的預(yù)測(cè)誤差見表2。

表2 改進(jìn)前、改進(jìn)后及文獻(xiàn)[9]方法的預(yù)測(cè)誤差比較

從表2中可以看出，相比改進(jìn)前和文[9]方法得到的預(yù)測(cè)誤差，改進(jìn)后的模型匹配誤差較小，辨識(shí)模型對(duì)系統(tǒng)輸出有著良好的預(yù)測(cè)能力。

6 結(jié)論

以CSTR系統(tǒng)為研究對(duì)象，以變換系統(tǒng)模型形式為基礎(chǔ)，提出了一種有色噪聲條件下的子空間辨識(shí)改進(jìn)方法。該方法有效地克服了有色噪聲對(duì)系統(tǒng)的影響，減小了預(yù)測(cè)誤差。仿真結(jié)果表明，本文方法顯著提高了CSTR的辨識(shí)精度。

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