基于空間距離的快速模糊C均值聚類算法

王軍玲 ，王士同 ，包 芳 ，周建林

1.江南大學(xué) 數(shù)字媒體學(xué)院，江蘇 無(wú)錫 214122

2.江蘇省信息融合軟件工程技術(shù)研發(fā)中心，江蘇 江陰 214405

3.江蘇省江陰職業(yè)技術(shù)學(xué)院 計(jì)算機(jī)科學(xué)系，江蘇 江陰 214405

1 引言

圖像分割被廣泛應(yīng)用于諸多領(lǐng)域，例如機(jī)器視覺(jué)、目標(biāo)識(shí)別、地理和醫(yī)學(xué)圖像等。一般說(shuō)來(lái)圖像分割是根據(jù)灰度或者紋理信息等特征將圖像分割成一些連續(xù)不重疊區(qū)域的過(guò)程。模糊C均值聚類算法就是經(jīng)典的圖像分割算法之一[1-4]，相對(duì)于硬性聚類[5]它的優(yōu)點(diǎn)在于對(duì)每個(gè)像素引入了一個(gè)歸屬隸屬度，使得分割結(jié)果更符合現(xiàn)實(shí)狀況。但是在模糊C均值聚類算法中，它采用的是考察像素到聚類中心的歐幾里德距離，即它不考慮圖像紋理等任何臨近空間信息，使得算法對(duì)噪聲、孤立點(diǎn)很敏感。也有很多學(xué)者將考察像素臨近空間信息引入原始的FCM算法來(lái)改進(jìn)分割性能[5-7]，Tolia和Panas提出了一個(gè)基于規(guī)則系統(tǒng)的Sugeno-type的FCM算法[6]以改進(jìn)模糊分割結(jié)果。Pham[8]通過(guò)在隸屬度上引入一個(gè)空間懲罰機(jī)制，并且允許采用空間光滑隸屬度函數(shù)進(jìn)行估計(jì)從而產(chǎn)生了類似于原始FCM的迭代算法。Ahmed[9]等人修正了FCM的目標(biāo)函數(shù)用來(lái)彌補(bǔ)灰度分布不均衡并且將臨近元素的影響代入計(jì)算，即產(chǎn)生了FCM_S算法。由于FCM_S算法每次迭代的過(guò)程中臨近像素的信息都要參與運(yùn)算無(wú)形中增加了時(shí)耗，陳宋燦[10]等提出了在進(jìn)行迭代之前先計(jì)算出對(duì)應(yīng)的均值濾波圖像或是中值濾波圖像以加快聚類速度，提出了FCM_S1、FCM_S2算法，兩種算法在一定程度上提高了算法的聚類性能。但是這幾種算法中都含有一個(gè)重要的參數(shù)a，參數(shù)的確定需要依據(jù)噪聲類型經(jīng)過(guò)大量的實(shí)驗(yàn)經(jīng)驗(yàn)來(lái)選擇，并且算法耗時(shí)隨著圖像變大而不斷增加。2007年，劉一光[11]等人提出的K-NS分類器在分類過(guò)程中，采用了空間距離公式使得分類器相對(duì)于經(jīng)典的KNN算法[12]表現(xiàn)出了更好的性能。

針對(duì)以上的經(jīng)典算法中所出現(xiàn)的問(wèn)題，本文提出了基于空間距離的快速模糊C均值聚類算法，借鑒劉一光[11]等人的空間距離公式，使得臨近像素的灰度與位置信息同時(shí)參與考察像素與臨近像素間的相似度Sij的計(jì)算，利用該相似度得出臨近像素制約圖像，并對(duì)臨近信息制約圖像進(jìn)行灰度統(tǒng)計(jì)后再聚類[13]，從而有效減少了聚類耗時(shí)，體現(xiàn)出了良好的分割性能。

2 FCM算法原理及其優(yōu)化

FCM算法核心思想是首先將一個(gè)數(shù)據(jù)集X分為c個(gè)模糊組，然后求每組的聚類中心，當(dāng)相似性指標(biāo)的目標(biāo)函數(shù)Jm達(dá)到最小時(shí)，元素就將被劃分給隸屬度最大的那個(gè)分組。FCM算法的目標(biāo)函數(shù)如下所示[14]：

（1）設(shè)置c，m和ε的初始值。

（2）初始化模糊隸屬度矩陣U(0)。

（3）設(shè)置循環(huán)計(jì)算器b的值。

（4）使用U(b)更新這c個(gè)分組的中心：

（5）更新隸屬度矩陣U(b+1)：

（6）如果 {U(b)-U(b+1)}＜ε則停止計(jì)算；否則設(shè)置b=b+1，轉(zhuǎn)到（4）。

若算法應(yīng)用于圖像分割則參與運(yùn)算的是像素的灰度，可以看出該算法沒(méi)有考慮考察像素臨近像素的信息，圖像會(huì)受時(shí)間、光照及白噪聲的影響，從而導(dǎo)致這些受噪聲影響的像素被誤分類，即對(duì)孤立點(diǎn)敏感。

為了克服對(duì)孤立點(diǎn)敏感這一缺陷，也有學(xué)者將臨近像素的灰度信息引入目標(biāo)公式，但是每次迭代都要計(jì)算考察像素的鄰近信息，具有代表性的如FCM_S算法，導(dǎo)致算法耗時(shí)量大。進(jìn)一步優(yōu)化的FCM_S1算法在算法開始迭代之前得到濾波圖像，然后原圖像和相應(yīng)的均值濾波圖像同時(shí)參與算法的計(jì)算，不僅減少了運(yùn)行時(shí)間并且增強(qiáng)了算法對(duì)高斯噪聲的抗干擾能力。然而，F(xiàn)CM_S1算法對(duì)受脈沖噪聲影響的圖像分割效果不太理想，F(xiàn)CM_S2算法使用中值濾波圖像來(lái)代替FCM_S1算法中的均值濾波圖像很好的解決了這個(gè)問(wèn)題，但該算法對(duì)較強(qiáng)均勻噪聲的抵抗性較弱。綜上，由經(jīng)典的FCM算法改進(jìn)而來(lái)的FCM_S、FCM_S1和FCM_S2算法的共同點(diǎn)是都考慮了臨近像素的灰度信息，并采用參數(shù)a來(lái)控制其對(duì)考察像素的影響程度，這樣每個(gè)考察像素的臨近像素對(duì)其影響程度是一致的，都由a來(lái)決定，算法一定程度上減弱了噪聲點(diǎn)對(duì)分割結(jié)果的影響，但是現(xiàn)實(shí)中噪聲點(diǎn)分布狀況是隨機(jī)的，臨近像素對(duì)考察像素的影響也應(yīng)因是否受噪聲干擾和位置差異而有所不同，所以算法對(duì)受不同噪聲干擾圖像分割的魯棒性還有待進(jìn)一步提高。在這些經(jīng)典的算法當(dāng)中采用的都是歐幾里德距離，而歐幾里德距離對(duì)球體數(shù)據(jù)聚類具有較好的效果。劉一光學(xué)者提出的空間距離公式[11]在KNN算法中獲得了很好的分類效果，本文嘗試通過(guò)空間距離公式將臨近像素信息引入標(biāo)準(zhǔn)的FCM算法，從而來(lái)彌補(bǔ)噪聲分布不均勻等位置因素所帶來(lái)的缺陷，并且在對(duì)臨近制約圖像灰度統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)上進(jìn)行聚類，以適用于大圖像的分割。

3 空間距離公式

在FCM算法中都是單純的采用歐幾里德距離，通過(guò)不斷的迭代，使得聚在一類里面的像素灰度與中心像素灰度差別最小，而獲得最優(yōu)結(jié)果。致使考察像素臨近像素信息無(wú)法包含在內(nèi)，如果圖像受到噪聲干擾，將導(dǎo)致該像素誤分類。嘗試引入考察像素與臨近像素的相似度，將臨近像素的制約信息也代入目標(biāo)公式以提高算法的抗干擾性能，要提出的新算法中相似度的計(jì)算采用了劉一光[11]等人提出的空間距離公式，不僅包含臨近像素的灰度信息并且包含了位置信息?？臻g距離公式[11]的原理如下所示。

3.1 空間距離

若把一條線或一個(gè)曲面看作流型拓?fù)淇臻g，真實(shí)空間中相互獨(dú)立的若干元素通過(guò)一個(gè)具有足夠高階數(shù)的函數(shù)可以轉(zhuǎn)換到一個(gè)流型拓?fù)淇臻g。依據(jù)給定的一組訓(xùn)練樣本，可以得到多個(gè)拓?fù)淇臻g同時(shí)包含這些點(diǎn)。

設(shè)sq為考察元素i的向量，Ni為任意k個(gè)向量元素組成的數(shù)據(jù)集；Mi是由Ni中的元素通過(guò)轉(zhuǎn)換函數(shù)得到的某個(gè)拓?fù)淇臻g；Si是Ni中元素的分布空間；xij表示元素i的臨近數(shù)據(jù)集Ni中的第j個(gè)元素向量；數(shù)據(jù)集Ni與Mi之間的關(guān)系如圖1所示。

圖1 數(shù)據(jù)集Ni及其所形成的拓?fù)淇臻gMi關(guān)系圖

每個(gè)不同形式的Mi的重合部分幾乎都由空間Si包圍著，在空間Si中每個(gè)點(diǎn)都可以被近似看作是數(shù)據(jù)集 Ni中的一個(gè)元素，則在圖1中dsq→Ni是從sq到空間Si的距離。首先建立一個(gè)以Ni中元素向量為邊的一個(gè)超平面體，當(dāng)Ni是列滿秩時(shí)，超平面體的容量是[]：

VNi和之間的關(guān)系如圖2中例子所示：

由公式（4）～（6）推出：

圖2 考察元素點(diǎn)向量sq到空間Mi距離的幾何展示

雖然的求解具有對(duì)稱性，但是它不滿足三角不等式[11，16]，因此不能作為樣本集合距離度量標(biāo)準(zhǔn)，需在核函數(shù)的作用下核化將空間距離公式轉(zhuǎn)化為可以使用的量度標(biāo)準(zhǔn)。

其中μ是用來(lái)量化正則化的程度；I是對(duì)應(yīng)的單位矩陣。

3.2 空間距離公式的核化

從函數(shù)的角度分析，公式（8）在核函數(shù) ker(x，y)(x，y∈Rn)的作用下可以滿足量度空間的要求：

其中 ker(x，y)是由φ(x)和φ(y)兩個(gè)映射確定的隱函數(shù)。對(duì)sq、x間的歐幾里德距離進(jìn)行核化得：

空間距離核化時(shí)分別用φ(sq)和φ(Ni)代替公式（8）中的sq和x可以轉(zhuǎn)化為：

用公式（11）代替公式（8），Tikhonov正則化項(xiàng)μI用于避免核矩陣ker(Ni，Ni)線性相關(guān)，確保公式計(jì)算的穩(wěn)定性。

4 SFGFCM算法

4.1 相似度Sij的計(jì)算

一些學(xué)者在2007年提出了相似度的計(jì)算，根據(jù)考察像素i與臨近像素j的灰度差與落在臨近窗口內(nèi)所有臨近像素與考察像素灰度差的平均比值作為相似性度量來(lái)計(jì)算Sij，并且將其采用指數(shù)函數(shù)進(jìn)行歸一化，則其定義為如下形式：

若將σ看作考察像素點(diǎn)到臨近像素點(diǎn)所形成曲面流型體的距離，采用上文提到的核化的空間距離公式將空間信息包含進(jìn)來(lái)，即將臨近像素的位置信息也包含在內(nèi)，進(jìn)一步對(duì)相似性度量Sij進(jìn)行優(yōu)化，則可變化成如下形式：

4.2 SFGFCM算法

在引入臨近像素相似度Sij后可以得到一幅同時(shí)包含臨近像素空間灰度信息的臨近信息制約圖像ξ，圖像上像素點(diǎn)i的灰度值計(jì)算方式如下[18]：

表示像素i的臨近像素中的灰度最大值，ξi∈[0，255]表示臨近信息制約圖像中像素i的灰度值（顯然大于零），它同時(shí)包含原圖像中像素i的臨近像素灰度與空間信息。將臨近信息制約圖像的灰度級(jí)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，并對(duì)處于同一灰度級(jí)的像素賦予相同的隸屬度，聚類的目標(biāo)函數(shù)就變成了如下形式[19]：

SFGFCM算法的求解過(guò)程如下：

（1）初始化聚類中心數(shù)目c，模糊指數(shù)m和停止迭代最小差值條件ε；

（2）隨機(jī)初始化模糊劃分矩陣；

（3）設(shè)置迭代次數(shù)b=0；

（4）通過(guò)公式（16）更新聚類中心點(diǎn)灰度；

（5）通過(guò)公式（17）更新劃分隸屬度矩陣；

（6）當(dāng){U(b)-U(b+1)}＜ε算法收斂停止計(jì)算，否則，令b=b+1并且轉(zhuǎn)向（4）。

改進(jìn)后的迭代算法類似于原始的FCM算法，但是參與聚類的灰度值包含了更多臨近像素空間及灰度信息，可以根據(jù)每個(gè)臨近像素的灰度及位置信息而計(jì)算出相似度Sij而無(wú)需過(guò)多的考慮平衡二者的關(guān)系問(wèn)題。加之是對(duì)鄰近信息制約圖像的灰度統(tǒng)計(jì)后進(jìn)行聚類，使得算法的聚類時(shí)間取決于鄰近信息制約圖像的灰度級(jí)數(shù)，而不是圖像的像素個(gè)數(shù)，從而該算法適用于大型圖像的分割。因?yàn)橐话愕膱D像灰度是8位二進(jìn)制碼（即256個(gè)灰度級(jí)），而一副圖像的灰度級(jí)數(shù)M遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于圖像的像素個(gè)數(shù)N，執(zhí)行時(shí)間將大大的降低。

5 實(shí)驗(yàn)與性能分析

本章通過(guò)在真實(shí)和合成圖像上的分割性能和分割效率將FCM與文中的SFGFCM算法進(jìn)行比較。實(shí)驗(yàn)運(yùn)行環(huán)境為CPU Inter雙核2.1 GHz，2 GB內(nèi)存，Matlab7.1。

采用分割準(zhǔn)確性SA對(duì)兩種算法的抗噪性能進(jìn)行比較，這里的SA指被正確分割的像素點(diǎn)個(gè)數(shù)占參加圖像分割的像素點(diǎn)總數(shù)的比例[13]：

式中c是聚類數(shù)，Ai代表的是由算法劃分到第i組的像素集，Ci代表在涉及到的分割圖像中屬于第i組的像素集。

表1 被8%高斯噪聲干擾的syn圖像采用SFGFCM算法分割結(jié)果 （%）

圖3 被8%高斯噪聲干擾的syn圖像采用SFGFCM算法分割結(jié)果

表2 被8%均勻噪聲干擾的syn圖像采用SFGFCM算法分割結(jié)果 （%）

圖4 被8%均勻噪聲干擾的syn圖像采用SFGFCM算法分割結(jié)果

表3 被8%椒鹽噪聲干擾的syn圖像采用SFGFCM算法分割結(jié)果 （%）

圖5 被8%椒鹽噪聲干擾的syn圖像采用SFGFCM算法分割結(jié)果

實(shí)驗(yàn)1首先用該算法對(duì)受不同性質(zhì)（高斯噪聲，均勻噪聲和椒鹽噪聲）不同程度噪聲干擾的合成圖像syn進(jìn)行分割，其中設(shè)置c=2。圖6顯示了被20%的高斯噪聲干擾的合成圖像syn，以及FCM、SFGFCM算法分割的效果?？梢杂^察到，F(xiàn)CM算法受到噪聲干擾較嚴(yán)重，SFGFCM算法幾乎可以不受噪聲影響，并且很好地保留了邊緣信息，體現(xiàn)出了其魯棒性。通過(guò)對(duì)SA%的計(jì)算（表4）更進(jìn)一步說(shuō)明了該優(yōu)勢(shì)。

圖6 對(duì)合成圖像的分割效果

表4給出了兩種算法在合成圖像syn受到不同程度噪聲干擾的情況下的分割精度，每個(gè)實(shí)驗(yàn)都采用了五組隨機(jī)初始化值，取其平均值作為實(shí)驗(yàn)結(jié)果，數(shù)據(jù)很清楚的顯示出SFGFCM算法比FCM算法有較好的魯棒性。

表4 兩種算法在合成圖像上的分割精度（%）

實(shí)驗(yàn)2從公式（13）可以看出，對(duì)噪聲和孤立點(diǎn)的抵抗性主要依賴于Sij的定義，在沒(méi)有噪聲的先驗(yàn)知識(shí)的情況下，Sij是自動(dòng)確定的而不是人工設(shè)定，被噪聲干擾的Sij應(yīng)該是盡量的小，從而噪聲的干擾可以忽略。在SFGFCM算法中Sij對(duì)于不同的臨近像素可以自適應(yīng)的改變，從而體現(xiàn)出較強(qiáng)的抗干擾性。孤立點(diǎn)和噪聲的出現(xiàn)主要有下兩種情況：

（1）考察像素不是噪聲點(diǎn)，而落在考察像素臨近窗口內(nèi)的某些像素一定程度上受到了噪聲的干擾，那么受到噪聲干擾的像素灰度值和其他像素的灰度值差異性較大，根據(jù)公式（13）可知，相應(yīng)的Sij值也應(yīng)該小。因此計(jì)算出的加權(quán)和也會(huì)受到噪聲點(diǎn)的影響較小，體現(xiàn)出來(lái)的也就是對(duì)噪聲點(diǎn)和孤立點(diǎn)有較強(qiáng)的魯棒性。圖7是某像素3×3臨近窗口及對(duì)應(yīng)像素的相似度，清晰地說(shuō)明了這個(gè)問(wèn)題，例如圖中第一個(gè)灰度值為100的像素在右邊框中對(duì)應(yīng)的相似度Sij為0.123 1。

圖7 一個(gè)3×3的被噪聲干擾的窗口及對(duì)應(yīng)的相似度

（2）當(dāng)考察像素是一個(gè)噪聲點(diǎn)，而落在臨近窗口內(nèi)的其他像素都是相似的，這樣的情況下由于考察像素到臨近像素點(diǎn)所形成流型空間的距離較大，從而導(dǎo)致臨近像素對(duì)應(yīng)的Sij都較小且?guī)缀跏窍嗤?，因此?jì)算出來(lái)的ξi受到的考察像素的影響較小，如圖8所示。

圖8 一個(gè)3×3的被噪聲干擾的窗口及對(duì)應(yīng)的相似度

以上兩個(gè)例子驗(yàn)證了新算法的魯棒性。

實(shí)驗(yàn)3用兩種算法分別對(duì)受到30%椒鹽噪聲干擾的圖像進(jìn)行圖像分割，最后的聚類分割效果如圖9、10所示。eight圖像分割過(guò)程中c=3；wheel圖像分割過(guò)程中c=4。從最后的實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，F(xiàn)CM算法的分割效果很大程度上受到了椒鹽噪聲的影響，而本文提出的SFGFCM算法顯現(xiàn)出一定的抗干擾性。

圖9 兩種算法在圖像eight上的分割結(jié)果圖

圖10 兩種算法在圖像wheel上的分割結(jié)果圖

另外，采用這兩種算法對(duì)圖6～圖11中涉及到的圖像進(jìn)行了分割。在實(shí)驗(yàn)之前對(duì)這些圖像使用不同程度（8%、10%、15%）的高斯、均勻和椒鹽噪聲進(jìn)行干擾，按照以下方法得出計(jì)算分?jǐn)?shù)[13]：

其中c是聚類分組數(shù)，Ai代表的是受噪聲干擾圖像通過(guò)算法計(jì)算劃分到第i組的像素集合，Ci代表的是原圖像通過(guò)算法劃分到第i組的像素集合，r相當(dāng)于是一個(gè)模糊相似度衡量，表明了Ai和Ci相等的程度，r越大越好。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表5所示。

表5 兩種算法在各種圖像上的計(jì)算分?jǐn)?shù)（%）

在表5中每個(gè)實(shí)驗(yàn)都采用了五組不同的隨機(jī)初始值，被同類型噪聲干擾的圖像的計(jì)算分?jǐn)?shù)取平均值，作為最后結(jié)果。

實(shí)驗(yàn)4圖11則展示了本文所提算法在一些自然圖像上的分割效果，每組圖片中左邊是原圖，右邊顯示的是分割后的效果圖，每組圖片都隨機(jī)采用了五組不同的初始值，每次分割后效果都是一樣的。

實(shí)驗(yàn)5最后在對(duì)各種算法進(jìn)行相同的優(yōu)化之后，圖12顯示了兩種算法的對(duì)不同大小圖像的平均耗時(shí)，每個(gè)大小的圖片都用采用五種不同的圖片和隨機(jī)的初始值，聚類的數(shù)目從2到5。從圖中可以看出文中的兩種算法隨圖像大小的耗時(shí)變化。

圖11 SFGFCM算法在自然圖像上的聚類分割結(jié)果

圖12 兩種算法對(duì)不同大小圖像的耗時(shí)

耗時(shí)除了受編程風(fēng)格的影響，起決定性的還是算法的思想，F(xiàn)CM算法的時(shí)間復(fù)雜度是O(NcI1)（其中N是一幅圖像中像素的個(gè)數(shù)，c是聚類數(shù)目，I1是每次分割的迭代次數(shù)）；本文算法SFGFCM的算法復(fù)雜度是O(McI2)（其中M是一幅圖像中出現(xiàn)的灰度等級(jí)數(shù)，c是聚類數(shù)目，I2是每次分割的迭代次數(shù)）。同一幅圖像中，灰度等級(jí)最多是256，在一般規(guī)模的圖像中灰度等級(jí)數(shù)是遠(yuǎn)小于像素的個(gè)數(shù)的，并且由于灰度的范圍都在[0，255]之間，從而采用不同的算法分割圖像最終的迭代次數(shù)不會(huì)有太大的差別（實(shí)驗(yàn)顯示迭代次數(shù)只相差一兩次），因此算法的耗時(shí)就取決于N、M的大小，由此SFGFCM算法在保證了算法分割性能的同時(shí)，減少了時(shí)間損耗。

6 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了一個(gè)基于空間距離的快速FCM算法（即SFGFCM），該算法采用空間距離計(jì)算出考察像素與其臨近像素的相似度Sij，使得在迭代計(jì)算的過(guò)程中不僅引入了臨近像素的灰度信息而且還隱含了臨近元素的位置信息，并且使得灰度與位置等空間信息得到了很好的平衡；在得到鄰近信息制約圖像之后對(duì)其灰度級(jí)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)之后進(jìn)行聚類，從而使得聚類耗時(shí)大大減少。與傳統(tǒng)算法相比，不僅保證了圖像分割的性能，并且還減少了耗時(shí)；通過(guò)對(duì)一系列的合成和自然圖像進(jìn)行分割實(shí)驗(yàn)，與經(jīng)典的FCM 算法相比，增強(qiáng)了對(duì)外界噪聲的抗干擾能力，具有更強(qiáng)的魯棒性，且該算法更適用于大幅圖像聚類。

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