K－D 估計(jì)及其優(yōu)良性研究①

楊 影，王志福，周一美，劉佳瑞，田俊杰

(渤海大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，遼寧 錦州121013)

0 引 言

考慮線性模型［1］Y = Xβ +ε，E(ε)= 0，Cov(ε)=σ2I，設(shè)K=diag(k1，k2，k3，…，kp)，D=diag(d1，d2，d3，…，dp)，其中0 ＜di＜ki＜1，i=1，2，…，r，1 ≤r ≤p，稱~β(K，D)= Φ1(Λ1+Kr)-1(Λ1+Dr)Φ1′^β 為K-D 估計(jì).

設(shè)X′X 的順序特征根為λ1，λ2，…，λp，對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量為φ1，φ2，…，φp，Φ =(φ1，φ2，…，φp)為p×p 標(biāo)準(zhǔn)正交陣Φ′Φ=I.

K－D 估計(jì)有如下性質(zhì):

(2)E［~β(K，D)］ = Φ1(Λ1+ Kr)-1(Λ1+Dr)Φ1′β，對(duì)于r ＜p，且0 ＜di＜ki＜1，K－D 估計(jì)是一個(gè)有偏估計(jì).

(2)

由 于，K = diag(k1，k2，k3，…，kp) D =diag(d1，d2，d3，…，dp)，0 ＜di＜ki＜1，Φ1(Λ1+Kr)-1(Λ1+Dr)Φ1′β，~β(K，D)是有偏估計(jì).

(3)

1 K－D 估計(jì)優(yōu)于LS 估計(jì)

定理: 若0 ＜di＜ki＜1，則K－D 估計(jì)在均方誤差矩陣意義優(yōu)于LS 估計(jì)的充要條件為

證明:LS 估計(jì)的均方誤差矩陣為

則

K－D 估計(jì)的均方誤差矩陣為

其中Sr(K)=Λ1+Kr，Sr(D)=Λ1+Dr

所以

2 K－D 估計(jì)的可容許性

可知

則

又因?yàn)棣?≥λ2≥…≥λp，則即，由于K=diag(k1，k2，k3，…，kp)，D = diag(d1，d2，d3，…，dp)，其中0 ＜di＜ki＜1，i=1，2，…，r，1 ≤r ≤p，稱)是β 的可容許估計(jì).

3 K－D 估計(jì)的優(yōu)良性推廣

對(duì)于以上證明，對(duì)估計(jì)適當(dāng)變換，還可以得到K-D 估計(jì)在均方誤差矩陣下優(yōu)于幾類常見的有偏估計(jì)的充要條件.

(1)當(dāng)0 ＜di＜ki＜1，K-D 計(jì)在均方誤差矩陣下優(yōu)于主成分估計(jì)的充要條件為Φ1′β=0.

(2)當(dāng)0 ＜di＜ki＜1，K-D 計(jì)在均方誤差矩陣下優(yōu)于Liu 估計(jì)的充要條件為Φ2′β=0.

［1］ 陳希孺，王松桂，近代回歸分析［M］.合肥:安徽教育出版社，1986.

［2］ 王松桂，吳密霞，賈忠貞.矩陣不等式［M］.北京:科學(xué)出版社，2006.

［3］ 王松桂，線性模型的理論及應(yīng)用［M］.合肥:安徽教育出版社，1987.

［4］ 陳德英.線性模型中的LIU 型估計(jì)［D］.北京:北京交通大學(xué)，2008.

［5］ 鄔吉波.線性模型參數(shù)估計(jì)若干性質(zhì)研究［D］.重慶:重慶大學(xué)2013.

［6］ LIIU K.A NewClass of Biased Estimate in Linear Regression［J］.Commun Stat Theory Methods，1993，22:393－402.