用數(shù)學(xué)的思維方式教數(shù)學(xué)

如何使數(shù)學(xué)比較好學(xué)？如何在數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力？

數(shù)學(xué)的概念和定理比較多，而且比較抽象，數(shù)學(xué)的證明要進(jìn)行邏輯推理，做數(shù)學(xué)題需要掌握概念、定理和方法，這些使得不少學(xué)生感到數(shù)學(xué)比較難學(xué)。通常的數(shù)學(xué)教學(xué)一開始給出數(shù)學(xué)概念的定義，接著寫出有關(guān)的定理，然后對(duì)定理進(jìn)行證明。這種教學(xué)方式可以讓學(xué)生學(xué)到數(shù)學(xué)的概念和定理，可以訓(xùn)練學(xué)生的邏輯推理能力。但是學(xué)生不知道概念是怎么提出來的，不知道定理是怎么發(fā)現(xiàn)的，因此培養(yǎng)不出學(xué)生的創(chuàng)新能力。本人根據(jù)四十多年的教學(xué)和科研工作的經(jīng)驗(yàn)，用數(shù)學(xué)的思維方式教數(shù)學(xué)就可以既使數(shù)學(xué)比較好學(xué)，又可以在教學(xué)的過程中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。

數(shù)學(xué)的思維方式是一個(gè)全過程：觀察客觀現(xiàn)象，抓住主要特征，抽象出概念；提出要研究的問題，運(yùn)用“解剖麻雀”、直覺、歸納、類比、聯(lián)想和邏輯推理等進(jìn)行探索，猜測(cè)可能有的規(guī)律；經(jīng)過深入分析，只使用公理、定義和已經(jīng)證明了的定理進(jìn)行邏輯推理來嚴(yán)密論證，揭示出事物的內(nèi)在規(guī)律，從而使紛繁復(fù)雜的現(xiàn)象變得井然有序。

用數(shù)學(xué)的思維方式教數(shù)學(xué)，我們的主要做法有以下幾點(diǎn)。

1. 觀察客觀現(xiàn)象自然而然地引出概念，講清楚為什么要引進(jìn)這些概念

線性空間的概念是高等代數(shù)中最重要的概念之一。我們讓學(xué)生觀察幾何空間（以定點(diǎn)O為起點(diǎn)的所有向量組成的集合）中有加法和數(shù)量乘法運(yùn)算，并且滿足8條運(yùn)算法則；向量的坐標(biāo)是3元有序?qū)崝?shù)組，為了用坐標(biāo)來做向量的加法和數(shù)量乘法運(yùn)算，很自然地在所有3元有序?qū)崝?shù)組組成的集合R^3中引進(jìn)加法和數(shù)量乘法運(yùn)算，并且也滿足8條運(yùn)算法則。幾何空間是3維空間，時(shí)—空空間是4維空間。有沒有維數(shù)大于4的空間？為了對(duì)數(shù)域K上的n元線性方程組直接從系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)判斷它有沒有解和有多少解，從矩陣的初等行變換把線性方程組的增廣矩陣化成階梯形矩陣可以判斷線性方程組的解的情況受到啟發(fā)，很自然地在所有n元有序數(shù)組組成的集合K^n中引進(jìn)加法和數(shù)量乘法運(yùn)算，并且也滿足8條運(yùn)算法則。K^n就是一個(gè)n維空間。我們抓住幾何空間，R^3，K^n的共同的主要特征：“有加法和數(shù)量乘法運(yùn)算，并且滿足8條運(yùn)算法則”，便自然而然地引出了線性空間的概念。為了使線性空間為數(shù)學(xué)、自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)的研究提供廣闊天地，需要把線性空間的結(jié)構(gòu)搞清楚。

幾何空間的結(jié)構(gòu)是，任意取定3個(gè)不共面的向量，空間中任一向量都可以由它們線性表出，并且表示方式唯一。由此受到啟發(fā)，對(duì)于線性空間V，如果有一族向量S使得V中每一個(gè)向量都可以由S中有限多個(gè)向量線性表出，并且S是線性無關(guān)的（這保證了表法唯一），那么稱S是V的一個(gè)基?；茄芯烤€性空間的結(jié)構(gòu)的第一條途徑。

幾何空間中給了過定O的一個(gè)平面π和過定點(diǎn)O與π相交的一條直線l。在π上取兩個(gè)不共線的向量d_1，d_2，在l上取一個(gè)非零向量d_3，則d_1，d_2，d_3是幾何空間的一個(gè)基。于是幾何空間的每一個(gè)向量可以唯一地表示成π上的一個(gè)向量與l上的一個(gè)向量的和。由此引出了線性空間V的子空間的直和的概念；猜測(cè)并且證明了線性空間V等于它的若干個(gè)子空間V_1，… ，V_m的直和當(dāng)且僅當(dāng)V_1的一個(gè)基，…， V_m的一個(gè)基合起來是V的一個(gè)基。直和分解是研究線性空間的結(jié)構(gòu)的第二條途徑。

幾何空間的每一個(gè)向量對(duì)應(yīng)于它在給定的一個(gè)基下的坐標(biāo)是幾何空間到R^3的一個(gè)雙射，并且它保持加法和數(shù)量乘法運(yùn)算。由此受到啟發(fā)，引出了線性空間的同構(gòu)的概念；猜測(cè)并且證明了數(shù)域K上的n維線性空間都與K^n同構(gòu)。線性空間的同構(gòu)是研究線性空間的結(jié)構(gòu)的第三條途徑。

幾何空間J中給了過定點(diǎn)O的一個(gè)平面0，則與0平行或重合的所有平面給出了幾何空間J的一個(gè)劃分。由此受到啟發(fā)，數(shù)域K上的線性空間V中，給了一個(gè)子空間W，在V上建立一個(gè)二元關(guān)系：β～α當(dāng)且僅當(dāng)β-α∈W。容易證明這是V上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系。于是所有等價(jià)類組成的集合就給出了V的一個(gè)劃分，這個(gè)集合也稱為V對(duì)于W的商集，記作V/W。在V/W中可以規(guī)定加法和數(shù)量乘法運(yùn)算，并且滿足8條運(yùn)算法則，從而V/W成為數(shù)域K上的一個(gè)線性空間，稱它為V對(duì)于W的商空間。幾何空間J中與過定點(diǎn)O的平面0平行或重合的所有平面組成的集合是J對(duì)于0的商空間。過點(diǎn)O作與0相交的一條直線l，則把與0平行或重合的每一個(gè)平面對(duì)應(yīng)于這個(gè)平面與l的交點(diǎn)是商空間J/0到直線l的一個(gè)雙射，并且它保持加法和數(shù)量乘法運(yùn)算，從而商空間J/0與直線l同構(gòu)。于是

dim（J/0） = dim l = 1 = 3-2 = dim J - dim0.

由此受到啟發(fā)，我們猜測(cè)并且證明了對(duì)于數(shù)域K上的n維線性空間V有

dim（V/W） = dim V –dim W.

這使得我們可以利用數(shù)學(xué)歸納法證明線性空間中有關(guān)被商空間繼承的性質(zhì)的結(jié)論。

在商空間J/0中取一個(gè)基 +0，令l是過點(diǎn)O且方向?yàn)?的直線，則J=0⊕l。由此受到啟發(fā)，我們猜測(cè)并且證明了對(duì)于數(shù)域K上的線性空間V和它的一個(gè)子空間W，如果商空間V/W有一個(gè)基1+W，…，t+W，令U是由V中的向量組1，…，t生成的子空間，那么V= W⊕U，并且1，…，t是U的一個(gè)基。這表明只要商空間V/W是有限維的，并且知道了商空間V/W的一個(gè)基，那么線性空間V就有一個(gè)直和分解式。

上述兩方面表明商空間是研究線性空間的結(jié)構(gòu)的第四條途徑。

2. 提出要研究的問題，探索并且論證可能有的規(guī)律

高等代數(shù)研究的一個(gè)重要問題是對(duì)于域F上n維線性空間V上的線性變換Α，能不能找到V的一個(gè)基，使得Α在此基下的矩陣具有最簡(jiǎn)單的形式？

我們用類比的方法證明了此時(shí)Α有有理標(biāo)準(zhǔn)形。這樣我們就徹底解決了域F上n維線性空間V上的線性變換Α的最簡(jiǎn)單形式的矩陣表示的問題。

3. 通過“解剖麻雀”，講清楚數(shù)學(xué)的深刻理論是怎么想出來的

伽羅瓦在1829 ～ 1831年間徹底解決了一元n次方程是否可用根式求解的問題。他給出了方程可用根式求解的充分必要條件，創(chuàng)立了深刻的理論（后人稱之為伽羅瓦理論），由此引發(fā)了代數(shù)學(xué)的革命性變化。古典代數(shù)學(xué)以研究方程的根為中心。伽羅瓦理論創(chuàng)立以后，代數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)變?yōu)橐匝芯扛鞣N代數(shù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及其態(tài)射（即保持運(yùn)算的映射）為中心，由此創(chuàng)立了近世代數(shù)學(xué)（也稱為抽象代數(shù)學(xué)）。

伽羅瓦發(fā)現(xiàn)并且證明了這個(gè)結(jié)論，現(xiàn)在稱它為伽羅瓦基本定理（這里沒有寫出伽羅瓦基本定理的其它3個(gè)結(jié)論）。伽羅瓦運(yùn)用這個(gè)基本定理證明了方程根式可解的判別準(zhǔn)則。

4. 抓住主線，全局在胸，科學(xué)地安排講授體系

高等代數(shù)課程的主線是研究線性空間及其態(tài)射（即線性映射）。為了自然而然地引出線性空間的概念，《高等代數(shù)》（丘維聲著，科學(xué)出版社）的第一章講線性方程組的解法和解的情況的判定；第二章講行列式，給出了n個(gè)方程的n元線性方程組有唯一解的充分必要條件；第三章為了對(duì)數(shù)域K上的n元線性方程組直接從系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)判斷它有沒有解和有多少解，在所有n元有序數(shù)組組成的集合K^n中引進(jìn)加法和數(shù)量乘法運(yùn)算，它們滿足8條運(yùn)算法則，我們抓住幾何空間， K^n的共同的主要特征自然而然地引出了線性空間的概念，然后去研究線性空間的結(jié)構(gòu)。講完線性空間之后，一種講法是立即講線性映射。但是研究線性映射一方面是從映射的角度講線性映射的運(yùn)算，線性映射組成的集合的結(jié)構(gòu)，以及線性映射的核與像；另一方面是研究線性映射的矩陣表示，特別是研究線性變換的最簡(jiǎn)單形式的矩陣表示。因此我們?cè)诘谒恼轮v矩陣的運(yùn)算，既為研究線性映射打下基礎(chǔ)，又為信息時(shí)代迅速崛起的離散數(shù)學(xué)中應(yīng)用越來越廣泛的矩陣加強(qiáng)了矩陣的分塊、矩陣的打洞的訓(xùn)練。為了研究線性變換的最簡(jiǎn)單形式的矩陣表示，需要用到一元多項(xiàng)式環(huán)的通用性質(zhì)，因此我們?cè)诘谖逭轮v一元多項(xiàng)式環(huán)的結(jié)構(gòu)及其通用性質(zhì)，并且水到渠成地引出了環(huán)和域的概念。第六章講線性映射（包括線性變換和線性函數(shù)）。為了在線性空間中引進(jìn)度量概念，第七章講雙線性函數(shù)，并且用到研究二次型上。第八章講具有度量的線性空間，以及與度量有關(guān)的變換。第九章講n元多項(xiàng)式環(huán)。

解析幾何課程的主線是研究幾何空間的線性結(jié)構(gòu)和度量結(jié)構(gòu)，在此基礎(chǔ)上并且用變換的觀點(diǎn)研究圖形的性質(zhì)和分類。

近世代數(shù)課程的主線是研究代數(shù)系統(tǒng)（群，環(huán)，域，模）的結(jié)構(gòu)及其態(tài)射（即保持運(yùn)算的映射）。群論的主線是群同態(tài)；環(huán)論的主線是環(huán)的理想；域論的主線是域擴(kuò)張，其目標(biāo)是伽羅瓦理論。

5. 精心設(shè)計(jì)板書，清晰體現(xiàn)思維過程

這樣講課和板書是提出了問題，引導(dǎo)學(xué)生去探索，從幾何空間的例子，猜測(cè)出子空間的維數(shù)公式，然后才去證明。這有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。

以上是我們?cè)趲资甑慕虒W(xué)中用數(shù)學(xué)的思維方式教數(shù)學(xué)的一些做法，與老師們交流。

[責(zé)任編輯：李文玲]