整函數(shù)及其微分多項式權(quán)分擔1 值的唯一性①

甘 媛

(福建船政交通職業(yè)學(xué)院公共教學(xué)部，福建福州350007)

1 引言及主要結(jié)果

定理［1］: 若f，g 為兩個非常數(shù)整函數(shù)，正整數(shù)n，k 滿足n ＞2k+4.如果(fn)(k)與(gn)(k)以1為CM 公共值，則f=c1ecz，g=c2e－cz或f=tg;其中c，c1，c2，t 為滿足(－1)k(c1c2)n(nc)2k=1 及tn=1的常數(shù).

將上述定理中的CM 分擔值用權(quán)分擔的思想，討論了(fn)(k)與(gn)(k)權(quán)分擔1 值問題，得到以下結(jié)果:

定理1.1: 若f，g 為兩個非常數(shù)整函數(shù)，正整數(shù)n，k 滿足如果(fn)(k)與(gn)(k)分擔(1，1)，則f=c1ecz，g=c2e－cz或者f=tg;其中c，c1，c2，t 為滿足(－1)k(c1c2)n(nc)2k=1 及tn=1 的常數(shù).

定理1.2: 若f，g 為兩個非常數(shù)整函數(shù)，正整數(shù)n，k 滿足n ＞3k+4.如果(fn)(k)與(gn)(k)分擔(1，2)，那么定理1.1 的結(jié)論成立.

2 主要引理及其證明

引理2.1: 若兩個整函數(shù)F，G 分擔(1，1)，那么

證明:

同理可證后一個式子.

引理2.2: 若兩個非常數(shù)整函數(shù)F，G 分擔(1，2)，那么

證明: 由N0(r，0;G′)的定義及F，G 分擔(1，2)，有

于是得到:

由Nevanlinna 關(guān)于亞純函數(shù)的第一基本定理及Milloux 定理［2］有

根據(jù)上式及(1)，我們可以證明引理2.2.

引理2.3: 若f，g 為兩個非常數(shù)整函數(shù)，k 為正整數(shù)，如果f(k)與g(k)分擔(1，l)，(i)若l=1，

(ii)若l=2，

Δ2=Θ(0，f)+δk(0，f)+δk+1(0，f)+δk+2(0，g)＞3;

那么f(k)g(k)≡1 或者f ≡g.

情形1:l=1.因此F，G 分擔(1，1).

由引理2.1，

由文獻［3］，(2)變?yōu)?/p>

那么

不妨設(shè)，存在一具有無限測試的集合I 使得T(r，g)≤T(r，f)，當r ∈I.因此:

因此得到H ≡0.

情形2:l=2.那么F，G 分擔(1，2)，于是ˉN(r，1;F|≥2)=ˉN(r，1;G|≥2).

根據(jù)參考文獻［4］和［5］與引理2.2，得到

根據(jù)參考文獻［2］和［3］以及F=f(k)與G=，有

于是

不妨設(shè)，存在一具有無限測試的集合I 使得T(r，g)≤T(r，f)，當r ∈I.因此

當r ∈I 及0 ＜ε ＜Δ2－3.這樣由(7)有{Δ2－3－ε}T(r，f)≤S(r，f)i，e.Δ2≤3，由Δ2＞3 得到矛盾.

因此得到H ≡0.

3 定理的證明

令F=fn，G=gn.

因為

類似地有:

由Nk(r，a;f)的定義知

因此，

類似地有:

以及

由(8)～(13)得到

由于F(k)=(fn)(k)及G(k)=(gn)(k)，根據(jù)定理1.1 的條件知，F(xiàn)(k)，G(k)分擔(1，1)且F，G 滿足引理2.3 的條件，這樣可以得到F(k)G(k)≡1 或者F≡G.

由(8)～(13)，有

由n ＞3k+4 得Δ2＞3

由于F(k)=(fn)(k)及G(k)=(gn)(k)，根據(jù)定理1.2 的條件知，F(xiàn)(k)，G(k)分擔(1，2)且F，G 滿足引理2.3 的條件，這樣可以得到F(k)G(k)≡1 或者F≡G.

［1］ M.L.Fang.Uniqueness and Value－Sharing of Entire Functions［J］.Comput.Math.Appl，2002，44:823－831.

［2］ W.K.Hayman，Meromorphic Functions［M］.Oxford:The Clarendon Press，1964.

［3］ H.X.Yi.C.C.Yang，Uniqueness Theory of Meromorphic Functions［M］.Beijing:Science Press，1995.

［4］ I.Lahiri.Weighted Value Sharing and Uniqueness of Meromorphic Functions［J］.Complex Variables Theory Appl，2001，46:241－253.

［5］ A.Banerjee.Meromorphic Functions Sharing One Value，Int.J.Math.Sci.2005:22(2005):3587－3598.(i)l=1 andl=2 and n ＞3k+4;satisfied，then either f=c1ecz，g=c2e－czwhere c，c1，and c2are three constants satisfying(－1)k(c1c2)n(nc)2k=1 or f(z)=tg(z)for a constant t such that tn=1.