四階幻方的一個(gè)構(gòu)造方法①

智 婕，李旭東

(1.蘭州商學(xué)院信息工程學(xué)院，甘肅 蘭州730000;2.蘭州城市學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院，甘肅 蘭州730070)

0 引 言

幻方，又稱縱橫圖，在n×n 的方格里既不重復(fù)又無(wú)遺漏地添上1，2，3，…，n2這n2個(gè)連續(xù)自然數(shù)，每數(shù)占一格，使每行、每列、每條對(duì)角線上的n 個(gè)數(shù)的和都相等，這樣的數(shù)表稱為n 階幻方.著名的九宮圖即三階幻方.幻方因其趣味性和益智性，引起了古往今來(lái)許多人的迷戀.我國(guó)對(duì)幻方的研究可以追溯到公元前四世紀(jì)，而宋代楊輝、明朝程大位、清朝張潮、保其壽等都做了深入的研究，幻方是我國(guó)豐富的文化遺產(chǎn)之一.國(guó)外著名科學(xué)家歐拉、富蘭克林等也都喜歡研究幻方.近代的科學(xué)研究發(fā)現(xiàn)，幻方同現(xiàn)代數(shù)學(xué)群論、組合分析等有關(guān).隨著電子計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅速發(fā)展，幻方已在程序設(shè)計(jì)、圖論、人工智能、博弈論、組合分析、實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)、工藝美術(shù)等方面得到了新的應(yīng)用.

幻方在數(shù)學(xué)王國(guó)里扮演著一個(gè)神秘的角色，從小學(xué)生的智力測(cè)驗(yàn)題到中學(xué)生的課外思考題，無(wú)處不有幻方的謎影.至今日幻方仍然是一個(gè)古老有趣的問(wèn)題.本文將給出四階幻方的一個(gè)簡(jiǎn)便的構(gòu)造方法.為討論方便，以下將幻方表示成矩陣的形式.

1 主要結(jié)果

定理 任取數(shù)碼1，2，3，4 的一個(gè)4 級(jí)排列放在第4 行，通過(guò)+2 置換得第1 行，取第1 行的倒排列放在第2 行、第4 行的倒排列放在第3 行，這樣便得到一個(gè)4 階方陣A=(aij)4，將A 旋轉(zhuǎn)90 度或－90 度得到方陣B=(bij)4，做方陣A°B=(xij)4，其中xij=4(aij－1)+bij，i，j=1，2，3，4，則A°B 就是一個(gè)幻和為34 的4 階幻方，同理B°A 也是幻和為34的4 階幻方.

2 定理的證明

設(shè)a，b，c，d 是1，2，3，4 的任意一個(gè)4 級(jí)排列，將A 旋轉(zhuǎn)90 度得到方陣記為B，將A 旋轉(zhuǎn)－90 度得到方陣記為D，則需驗(yàn)證A°B，B°A，A°D，D°A 均為幻和是34 的4 階幻方.事實(shí)上，由A，B，D 的構(gòu)造過(guò)程知，

于是，

對(duì)這四個(gè)矩陣，容易驗(yàn)證，每行、每列以及每條長(zhǎng)對(duì)角線上4 個(gè)數(shù)的和均為

即A°B，B°A，A°D，D°A 都是幻和為34 的4 階幻方.

注:對(duì)每一個(gè)4 級(jí)排列，都可得到4 個(gè)4 階幻方，因此運(yùn)用以上方法對(duì)24 個(gè)4 級(jí)排列總共可得24×4=96 個(gè)4 階幻方.

3 舉 例［1］

已知幻方

將A 旋轉(zhuǎn)90 度得到方陣記為B，將A 旋轉(zhuǎn)－90度得到方陣記為D，則

于是

是4 個(gè)幻和為34 的4 階幻方.

又如取4 級(jí)排列為1243，則由定理知

將A 旋轉(zhuǎn)90 度得到方陣記為B，將A 旋轉(zhuǎn)－90度得到方陣記為D，則

于是

又是4 個(gè)幻和為34 的4 階幻方.

［1］ 吳鶴齡.幻方及其他［M］.第2 版.北京:科學(xué)出版社，2004:149－150.

［2］ 唐編著.吳振奎、江常風(fēng)審訂.幻方與數(shù)陣趣談［M］.北京:科學(xué)普及出版社，1985，6.