基于序列徑向基函數(shù)的多目標優(yōu)化方法及其應(yīng)用

陳國棟，卜繼玲

(株洲時代新材料科技股份有限公司，株洲 412007)

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2015185

基于序列徑向基函數(shù)的多目標優(yōu)化方法及其應(yīng)用

陳國棟，卜繼玲

(株洲時代新材料科技股份有限公司，株洲 412007)

針對工程多目標優(yōu)化求解耗時且全局高精度代理模型難以構(gòu)造的問題，提出基于序列徑向基函數(shù)的優(yōu)化方法。該方法在每個迭代步，運用信賴域更新技術(shù)將整個設(shè)計空間分割成一系列信賴域，以降低優(yōu)化問題的復(fù)雜程度。在每個信賴域上建立各個響應(yīng)的代理模型，并采用微型多目標遺傳算法進行優(yōu)化。為避免序列近似優(yōu)化引起的效率降低問題，運用繼承拉丁超立方試驗設(shè)計繼承上一代樣本點，以減少新樣本；同時繼承當前的非支配解，對代理模型局部加密，以減少迭代次數(shù)。在Benchmark測試問題中，與傳統(tǒng)的代理模型方法相比，在實際模型相同調(diào)用次數(shù)情況下，該方法能更好地逼近全局前沿面。最后將該方法應(yīng)用于某轎車車身結(jié)構(gòu)輕量化問題中，驗證了解決實際工程多目標優(yōu)化問題的能力。

車身結(jié)構(gòu)；多目標優(yōu)化；序列徑向基函數(shù)；耐撞性；輕量化

前言

在實際工程優(yōu)化問題中，目標和約束函數(shù)通常不能顯式表達，而采用耗時長的計算模型獲得。優(yōu)化是個迭代的過程，傳統(tǒng)優(yōu)化算法耗費大量的計算機資源，優(yōu)化效率低下甚至失去實際工程意義。為解決效率問題，代理模型[1-3]常用于實際優(yōu)化問題中。考慮到實際工程問題的復(fù)雜性，在整個設(shè)計空間構(gòu)造的代理模型精度較低，導(dǎo)致基于此代理模型的優(yōu)化精度較差[4]。于是一些代理模型管理方法發(fā)展起來，通過在優(yōu)化過程中更新樣本點或設(shè)計變量區(qū)間，重新構(gòu)造代理模型。文獻[5]中研究了智能布點更新代理模型的方法，并將其成功應(yīng)用于車身薄壁構(gòu)件的耐撞性問題。文獻[6]中采用動態(tài)徑向基函數(shù)，逐步更新重點采樣空間并在其內(nèi)部增加樣本點來更新代理模型，該方法成功解決了NASA減速器優(yōu)化設(shè)計問題。文獻[7]中通過不斷修改變量區(qū)間，將序列響應(yīng)面法用于結(jié)構(gòu)件和整車耐撞性的優(yōu)化設(shè)計中，取得了較好的效果。

實際工程設(shè)計通常是個多目標優(yōu)化問題。由于多目標問題的復(fù)雜性和解的不唯一性，缺乏高效的多目標的代理模型管理方法。文獻[8]中根據(jù)代理模型獲得Pareto解的分布情況，按照最小最大距離原則加密樣本空間，該方法可較好地應(yīng)用于無人機機翼結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題中。隨著設(shè)計變量和實際問題復(fù)雜性的增加，這種模型管理方法作用有限。文獻[9]中通過響應(yīng)面結(jié)合信賴域的方法處理多目標問題，在測試函數(shù)中取得了很好的結(jié)果，并成功應(yīng)用于汽車覆蓋件成型中，但該方法須在不同信賴域重新采樣，計算量增加。

鑒于此，本文中提出一種高效的序列徑向基函數(shù)方法(sequential radial basis function, SRBF)。該方法將整個設(shè)計空間上的復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為一系列子空間上的簡單問題，降低了代理模型精度對求解精度的影響。同時采用繼承拉丁超立方(ILHD)試驗設(shè)計和樣本局部加密技術(shù)，避免序列近似多目標優(yōu)化過程引起樣本的增加。該方法在Benchmark測試問題中，相同實際模型調(diào)用次數(shù)下，與代理模型方法相比，體現(xiàn)了更好地逼近全局前沿面的能力。最后該方法成功應(yīng)用于整車耐撞性和輕量化多目標優(yōu)化中，獲得了滿意的結(jié)果。

1 序列徑向基函數(shù)多目標優(yōu)化方法

多目標優(yōu)化問題數(shù)學模型的一般形式為

(1)

式中：f和g分別為優(yōu)化目標和約束，m和p分別為優(yōu)化目標和約束的數(shù)目，且m≥2；x為設(shè)計變量，xl和xu為其上、下邊界。實際工程問題中，f和g通常表達為計算模型，如計算流體力學(CFD)模型和有限元(FEM)模型等。通常這些計算模型求解須耗費大量計算機資源，如單次汽車空氣動力學分析需要幾十小時，單次整車碰撞分析計算需要幾十到上百小時。為提高優(yōu)化效率，代理模型被用來近似表達上述優(yōu)化問題。實際問題是個復(fù)雜的系統(tǒng)，設(shè)計變量和響應(yīng)的關(guān)系復(fù)雜，當前代理模型技術(shù)很難獲得精確近似。于是本文中將式(1)在整個設(shè)計空間上的復(fù)雜問題，轉(zhuǎn)化為式(2)的一系列子空間(信賴域)上的簡單問題。

(2)

在每個信賴域上近似求解，不論問題有多復(fù)雜，通過信賴域的縮放、平移，總能得到與實際模型一致的非支配解集，降低了代理模型精度對多目標求解精度的影響。但序列優(yōu)化須在每個信賴域上重新采樣來重構(gòu)代理模型，降低了優(yōu)化效率。于是采用繼承拉丁超立方試驗設(shè)計，并繼承當前的非支配解對代理模型局部加密，避免序列過程引起樣本的增加。整個優(yōu)化流程如圖1所示。

1.1 試驗設(shè)計方法

本文中采用最優(yōu)拉丁超立方(LHD)和繼承拉丁超立方分別作為初次迭代和后續(xù)迭代的試驗設(shè)計方法。LHD被稱為一種“填充空間的設(shè)計”[10]，采用模擬退火法以最大化最小距離準則，使樣本點在整個設(shè)計空間均勻分布。

當上一代的樣本落在當代信賴域，ILHD可以繼承這些樣本并產(chǎn)生少量新樣本。繼承的樣本和新樣本依然保持拉丁超立方結(jié)構(gòu)[11]，它們作為當代樣本，大大減少了樣本個數(shù)。以圖2某二維設(shè)計空間為例，一次序列可以減少兩個樣本，這對樣本獲得耗時的汽車碰撞等工程問題具有重要意義[12]。

1.2 徑向基函數(shù)代理模型

構(gòu)造代理模型有幾種常見的方法，如響應(yīng)面(RSM)、Kriging(KRG)、徑向基函數(shù)(RBF)等。文獻[2]中研究發(fā)現(xiàn)，在汽車耐撞性方面，RBF比響應(yīng)面能獲得更好的近似。文獻[13]中對4種代理模型進行比較，發(fā)現(xiàn)在考慮精度和魯棒性情況下，RBF最可靠。RBF容易構(gòu)造，是一種插值方法，其數(shù)學模型為

(3)

式中：ns為樣本點個數(shù)；ri為待測點x與第i個樣本點間的歐氏距離；φ為高斯基函數(shù)；wi為權(quán)系數(shù)。根據(jù)ns個樣本點插值條件，計算得到wi，進而可以在整個設(shè)計域上進行近似。

1.3 微型多目標遺傳算法

采用微型多目標遺傳算法(μMOGA)[14]求解式(2)構(gòu)造的多目標問題。μMOGA采用小規(guī)模進化種群，一般為5～8個，從而減少適應(yīng)度計算次數(shù)。

采用重啟動策略和個體擁擠距離比較機制保持進化種群中個體基因多樣性。最優(yōu)個體保存策略避免種群過早地局部收斂。重啟動時加入了一種探測算子在可行域中進行探測性的局部搜索，分別在非支配解分布密集和分布稀疏區(qū)域各產(chǎn)生一個新個體，進一步加快收斂速度。通過大量測試函數(shù)比較，μMOGA能比NSGAⅡ更快地收斂到Pareto前沿，同時解集分布更均勻[14]。

1.4 信賴域更新技術(shù)

信賴域越小，代理模型越能更好地找到此區(qū)域上與實際模型一致的Pareto解。信賴域更新技術(shù)包括縮放和平移：根據(jù)信賴域不斷縮放得到在該局部區(qū)域內(nèi)與實際模型一致的Pareto解；通過信賴域不斷平移得到在整個區(qū)域內(nèi)與實際模型一致的Pareto解。信賴域更新通過更新信賴域半徑和中心實現(xiàn)。

信賴度ρ衡量代理模型與實際模型的一致程度：

(4)

信賴域的縮放通過半徑Δ的調(diào)整來實現(xiàn)，Δ由信賴度ρ來決定。

(5)

與全局優(yōu)化不同，多目標優(yōu)化的信賴域中心是個區(qū)域，不是一個點。它不僅影響下代信賴域的平移還影響下代信賴域的大小。本文中它由信賴度ρ、本代新獲得的Pareto解個數(shù)和系數(shù)Rc決定。信賴域半徑和中心確定后，信賴域區(qū)間由下式表達：

當ρ(k)≤Rc時，

(6)

當ρ(k)>Rc時，

(7)

以二維設(shè)計空間為例[12]，信賴域更新見圖3。

1.5 樣本局部加密技術(shù)

通過試驗設(shè)計獲得的樣本在設(shè)計空間上均勻分布，而RBF是一種插值模型，在樣本點處誤差為零。在某些更有可能是Pateto解的區(qū)域，進行局部樣本加密，可以提高Pateto解區(qū)域模型精度，更好地近似求解，減少迭代次數(shù)。

若當前獲得的通過實際模型驗證過的Pareto解落在下一代信賴域，將這些解添加到樣本空間，在Pareto解處加密。這些加密點已經(jīng)通過實際模型驗證，不會增加計算時間。如果構(gòu)造RBF的樣本聚集，矩陣求解困難會造成代理模型不穩(wěn)定，精度可能急劇減低。采用最小距離最大準則[15]挑選Pareto解作為加密點，保證加密后樣本保持均勻。

(8)

i≤n(Q(k)),j≤ns

(9)

2 序列徑向基函數(shù)優(yōu)化方法的驗證

為了驗證本文中的方法，采用經(jīng)典的多目標測試函數(shù)進行測試。并與ISIGHT優(yōu)化軟件中基于代理模型的多目標優(yōu)化方法進行比較。其中，首先采用LHD采樣，再分別建立RSM，RBF和KRG代理模型，最后采用NSGA-Ⅱ[16]求解(種群數(shù)50，迭代100次)。在不同方法下，采用相同個數(shù)樣本點情況下，比較Pareto解相對實際前沿面的分布情況。

測試函數(shù)1[9]：

(10)

測試函數(shù)2[9]：

(11)

由于基于代理模型方法找到的解集在目標空間的象點是通過代理模型計算的，與實際模型可能會有較大誤差，而最終設(shè)計問題都要轉(zhuǎn)化到實際模型。根據(jù)獲得的近似前沿面分布情況，按照分布原則從中挑選出部分進行實際模型驗證。采用收斂性能參數(shù)Υs和分布性能參數(shù)Δs對各個算法的求解性能進行量化的評價[16]。Υs越小表示求解精度越高，收斂性越好。Δs越小表示獲得的Pareto解集在目標空間中的象點分布越均勻。

測試函數(shù)1，SRBF迭代2次收斂，優(yōu)化過程中調(diào)用實際模型33次，其中包括找到的13個Pareto解。3種傳統(tǒng)的代理模型方法中，均采取20個樣本，再從近似優(yōu)化中按照分布原則選擇13個進行實際模型驗證，并與樣本點進行非支配排序，獲得最終的近似前沿面。全局Pareto前沿面由2部分組成，不同方法找到的解如圖4所示。SRBF，RBF和KRG的近似前沿面都分布在全局Pareto前沿面(解析解)上，如表1所示，收斂性能參數(shù)都小于0.1，但SRBF的分布性能相對更好。RSM的優(yōu)化結(jié)果較差，是因為約束g1的代理模型精度較差，近似獲得的Pareto解集大部分不滿足約束。

測試函數(shù)2，SRBF迭代11次收斂，優(yōu)化過程中調(diào)用實際函數(shù)188次，其中包括38個Pareto解。3種代理模型方法均采樣150個，近似多目標優(yōu)化后挑選38個進行驗證。全局前沿面由4部分組成，不同方法找到的解如圖5所示。SRBF的近似前沿面較均勻地分布在全局前沿面附近。而RSM，RBF和KRG的優(yōu)化結(jié)果都不理想，由于它們近似多目標優(yōu)化的解集在目標空間的象點與實際模型有較大誤差，從而造成非支配解個數(shù)偏少。如表2所示，其他方法的收斂特性也不好，主要原因是函數(shù)f2非線性程度高，特別是包括絕對值的非連續(xù)和三角函數(shù)的振蕩響應(yīng)。

表1 測試函數(shù)1優(yōu)化結(jié)果對比

表2 測試函數(shù)2優(yōu)化結(jié)果對比

通過測試函數(shù)發(fā)現(xiàn)，對于非線性程度一般情況，各種方法在相同計算機耗費(調(diào)用實際模型相同次數(shù))情況下結(jié)果相當。隨著非線性程度增加，如測試函數(shù)1，RSM方法不如RBF，KRG和SRBF。而當非線性程度較高時，如測試函數(shù)2，SRBF體現(xiàn)出明顯的優(yōu)勢。主要是因為SRBF將復(fù)雜非線性設(shè)計空間分割成一系列信賴域，在每個信賴域上近似求解，降低了代理模型精度對求解精度的影響。

3 在轎車車身結(jié)構(gòu)輕量化中的應(yīng)用

以某型三廂轎車為例，綜合考慮車頂準靜態(tài)壓潰、白車身模態(tài)和輕量化，通過結(jié)構(gòu)改進，采用前面介紹的SRBF方法，進行車身結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計。

3.1 車頂準靜態(tài)壓潰分析

發(fā)生滾翻事故時，汽車車頂受沖擊載荷而侵入乘客艙，造成人體損傷。提升車頂耐撞性，使其具備足夠的強度，從而減小車頂?shù)那秩?，對確保乘員生存空間具有重要意義。

按照美國聯(lián)邦機動車輛安全標準FMVSS 216，用762mm×1829mm的剛性墻以側(cè)傾角25°和俯仰角5°對水平放置的某款轎車進行加載，如圖6所示。考慮到顯式動力學求解需要時間較長，采用提高加載速度(223.52mm/s)的方法進行準靜態(tài)模擬。文獻[17]中系統(tǒng)地研究了不同加載速度對車頂壓潰仿真的影響，結(jié)合試驗發(fā)現(xiàn)0.5mph(223.52mm/s)速度下，分析結(jié)果最穩(wěn)定并且精度最高。測量車頂作用力峰值與壓潰位移的關(guān)系，評價車頂耐撞性。峰值越大，耐撞性越好。圖7為車頂作用力與壓潰位移曲線，仿真與試驗曲線變化趨勢吻合[17]，作用力峰值誤差為0.31%。

3.2 白車身模態(tài)

白車身自由模態(tài)分析主要用于獲得振動的固有頻率和振型，不僅反映了車身的整體剛度特性，而且是控制車身振動的關(guān)鍵指標。

在Hypermesh中建立有限元模型，自由邊界。白車身由薄壁沖壓件焊接而成，薄壁構(gòu)件采用殼單元模擬，焊點在實際焊點位置通過rigid單元模擬。殼單元以四邊形單元為主，避免過多的三角形單元引起局部剛性過大。其整體1階扭轉(zhuǎn)模態(tài)為26.4Hz，振型如圖8所示。汽車的激勵主要來自路面、車輪、發(fā)動機等，車身的1階模態(tài)要錯開分量較大的激勵頻率，特別是發(fā)動機怠速激勵頻率，結(jié)合標桿車指標，該白車身的1階扭轉(zhuǎn)模態(tài)應(yīng)高于25Hz。

3.3 多目標優(yōu)化問題的建立

根據(jù)FMVSS 216標準，以車頂作用力峰值最大為目標。若只考慮提升車頂耐撞性，通常會增強車身結(jié)構(gòu)，導(dǎo)致車體質(zhì)量增加，故選擇整車質(zhì)量為另一個目標。由于車身結(jié)構(gòu)參數(shù)多，篩選出對目標影響大的部分，以減少優(yōu)化過程中耗費的計算機資源。采用Sobol法進行全局靈敏度分析[18]以篩選設(shè)計變量。最終選擇了9個部件厚度作為設(shè)計變量，如圖9所示。其中A柱、B柱等4個部件左右對稱，對稱部件可以作為一個設(shè)計變量考慮，于是最終設(shè)計變量為5個。由圖8可見，白車身1階扭轉(zhuǎn)模態(tài)振型發(fā)生在A柱與橫梁交接處，A柱和橫梁厚度的改變會影響到白車身模態(tài)，所以選取1階扭轉(zhuǎn)模態(tài)作為約束，則可以建立以下多目標優(yōu)化模型：

(12)

式中：f1為車頂作用力峰值；f2為整車質(zhì)量；g為白車身整體1階扭轉(zhuǎn)自由模態(tài)；ti為敏感度大的結(jié)構(gòu)部件厚度。

3.4 優(yōu)化結(jié)果與分析

在每個信賴域，試驗設(shè)計樣本個數(shù)ns=15，挑選近似Pareto解個數(shù)na=10。對信賴域進行了局部樣本加密技術(shù)，迭代4次就收斂。采用了ILHD試驗設(shè)計，減少樣本點17個。共調(diào)用有限元模型83次，其中Pareto解30個，如圖10所示[12]。

根據(jù)法規(guī)和設(shè)計要求，從獲得的Pareto解中挑選最終設(shè)計方案。FMVSS 216標準規(guī)定，車頂所能承受的作用力必須大于整車整備質(zhì)量的1.5倍。由圖10可見，30個方案都在FMVSS 216標準之上，都滿足車頂耐撞性要求。若選擇方案1，既通過FMVSS 216標準，又可以達到質(zhì)量減輕4.6kg的效果。若同時考慮耐撞性和輕量化，可選擇方案2，車頂最大作用力還增加0.24kN，并且質(zhì)量減輕0.8kg。由于當前的標準偏低，美國公路安全保險研究所(IIHS)制定了新的規(guī)范，車頂所能承受的作用力提高到整車整備質(zhì)量的2.5倍才能獲得“合格”。根據(jù)新的規(guī)范，選擇方案3，但質(zhì)量增加5kg。

4 結(jié)論

(1) 本文中提出基于序列徑向基函數(shù)的多目標優(yōu)化方法，克服了代理模型在整個設(shè)計區(qū)間精度難以保證的問題，通過序列近似降低了實際工程問題的復(fù)雜程度。通過繼承拉丁超立方試驗設(shè)計和非支配解遺傳局部加密技術(shù)，避免了序列過程引起的效率降低。

(2) 在兩個Benchmark數(shù)學測試問題中，與傳統(tǒng)基于代理模型的方法進行比較，在同等計算機耗費情況下，本文方法獲得的多目標解集更均勻更靠近解析解，驗證了該方法的求解精度。同時表明，隨著優(yōu)化問題非線性程度的增加，更能體現(xiàn)出該方法的優(yōu)勢。

(3) 該方法成功應(yīng)用于汽車車頂壓潰的耐撞性和輕量化多目標優(yōu)化問題中。合理匹配A柱，B柱和橫梁厚度，在滿足白車身模態(tài)約束下獲得大量Pareto解，根據(jù)法規(guī)需要或憑借經(jīng)驗，靈活選擇最終的設(shè)計方案。驗證了解決實際工程多目標優(yōu)化問題的能力，為其它復(fù)雜工程優(yōu)化問題提供借鑒。

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An Multi-objective Optimization Scheme and Its ApplicationBased on Sequential Radial Basis Function

Chen Guodong & Bu Jiling

ZhuzhouTimesNewMaterialTechnologyCo.,Ltd.,Zhuzhou412007

In view of the problem of time-consuming solving and the difficulty in constructing global high-accuracy surrogate models in multi-objective engineering optimization, an optimization scheme based on sequential radial basis function is proposed. In each iteration with the scheme, the entire design space is divided into a series of trust regions by applying trust region update technique to reduce the complexity of optimization problem. Then the surrogate model for each response is built in each trust region and an optimization is conducted with micro multi-objective genetic algorithm. To avoid low efficiency caused by sequential process, the sample points of previous generation is inherited by using inherited Latin hypercube design of experiment for reducing new samples, while with the current non-dominate solution inherited, the mesh of some localities in the surrogate model is densified to reduce the number of iteration. In benchmark testing, compared with traditional surrogate model method, the scheme proposed can better approximate global frontier with the same times the model is called. Finally, the proposed scheme is successfully applied to the body structure lightweight optimization of a car, verifying its capability in solving the practical engineering problem of multi-objective optimization.

car body structure; multi-objective optimization; sequential radial basis function; crashworthiness; lightweighting

原稿收到日期為2013年12月27日，修改稿收到日期為2014年5月7日。