基于區(qū)間分析的汽車制動(dòng)器不確定性優(yōu)化*

呂 輝,于德介

(湖南大學(xué),汽車車身先進(jìn)設(shè)計(jì)制造國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長沙 410082)

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2015140

基于區(qū)間分析的汽車制動(dòng)器不確定性優(yōu)化*

呂 輝,于德介

(湖南大學(xué),汽車車身先進(jìn)設(shè)計(jì)制造國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長沙 410082)

為抑制不確定參數(shù)汽車制動(dòng)器的制動(dòng)噪聲，基于區(qū)間分析理論，將響應(yīng)面法與優(yōu)化技術(shù)相結(jié)合，提出了一種降低系統(tǒng)復(fù)模態(tài)負(fù)阻尼比以提高汽車制動(dòng)器穩(wěn)定性的優(yōu)化方法。該方法采用拉丁超立方試驗(yàn)設(shè)計(jì)在設(shè)計(jì)變量和不確定參數(shù)構(gòu)成的混合空間內(nèi)采樣，建立了包含不確定參數(shù)的制動(dòng)器系統(tǒng)復(fù)模態(tài)負(fù)阻尼比的響應(yīng)面近似模型；以系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)為設(shè)計(jì)變量，以最小化系統(tǒng)復(fù)模態(tài)負(fù)阻尼比為優(yōu)化目標(biāo)，利用基于區(qū)間分析的不確定性優(yōu)化方法對響應(yīng)面近似模型進(jìn)行優(yōu)化。對某型車的浮鉗盤式制動(dòng)器的優(yōu)化結(jié)果表明，采用該方法對汽車制動(dòng)器進(jìn)行優(yōu)化，能在整個(gè)使用周期內(nèi)有效減小制動(dòng)器不穩(wěn)定模態(tài)的負(fù)阻尼比，從而提高制動(dòng)器的穩(wěn)定性。

制動(dòng)噪聲;不確定性;區(qū)間分析;優(yōu)化

前言

汽車制動(dòng)噪聲已成為城市的主要噪聲污染源之一。如果汽車的制動(dòng)器設(shè)計(jì)不合理，制動(dòng)時(shí)就可能引起強(qiáng)烈的振動(dòng)，并產(chǎn)生刺耳的噪聲。由于在設(shè)計(jì)后期，制動(dòng)器產(chǎn)品的結(jié)構(gòu)形狀、尺寸和工藝已確定，修改設(shè)計(jì)空間的自由度已大大減小，因此在早期設(shè)計(jì)中，有必要對制動(dòng)器部件的結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行合理的匹配設(shè)計(jì)，以抑制制動(dòng)噪聲，提高整車NVH性能。

目前被國內(nèi)外大多數(shù)學(xué)者所認(rèn)可的制動(dòng)噪聲機(jī)理為系統(tǒng)自激振動(dòng)理論，根據(jù)該理論，制動(dòng)噪聲是由摩擦耦合和制動(dòng)器各部件模態(tài)參數(shù)匹配不當(dāng)而產(chǎn)生的自激振動(dòng)所引起的[1]，即制動(dòng)噪聲與摩擦材料特性和結(jié)構(gòu)的具體形式有關(guān)。多年來，國內(nèi)外學(xué)者在制動(dòng)噪聲控制方面做了大量研究工作。文獻(xiàn)[2]中在建立制動(dòng)器動(dòng)力學(xué)模型的基礎(chǔ)上，用最優(yōu)化方法對結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行修改，抑制了產(chǎn)生尖叫噪聲的不穩(wěn)定模態(tài)。該研究對制動(dòng)器的設(shè)計(jì)有一定的指導(dǎo)意義，但研究對象僅為制動(dòng)器支撐支架，而單部件優(yōu)化抑制噪聲的方法在應(yīng)用上存在一定的局限性。文獻(xiàn)[3]中建立了盤式制動(dòng)器系統(tǒng)的耦合模型，針對系統(tǒng)幾何參數(shù)和材料特性參數(shù)的一系列取值，分別求解了制動(dòng)器的復(fù)模態(tài)，提出了降低摩擦因數(shù)和修改制動(dòng)片幾何形狀的制動(dòng)噪聲抑制方法。該研究的主要特點(diǎn)是從復(fù)模態(tài)負(fù)阻尼比的角度進(jìn)行分析，各部件參數(shù)獨(dú)立研究，得到的結(jié)果只是一個(gè)噪聲產(chǎn)生傾向的定性說明。實(shí)際上，為充分考慮各部件間的相互耦合關(guān)系，有效控制制動(dòng)噪聲，應(yīng)對整個(gè)制動(dòng)器系統(tǒng)建立優(yōu)化模型，并對多部件參數(shù)同時(shí)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。

國內(nèi)現(xiàn)有的關(guān)于制動(dòng)噪聲的研究，多數(shù)是基于確定性的力學(xué)模型，即將結(jié)構(gòu)參數(shù)和作用載荷視為確定參數(shù)[4]。而汽車制動(dòng)器由于長期承受摩擦力等復(fù)雜載荷的作用，其材料特性、幾何尺寸和作用載荷等參數(shù)往往具有不確定性，尤其是不斷磨損會(huì)引起制動(dòng)片的厚度尺寸變化。為了使設(shè)計(jì)得到的優(yōu)化解能更好地滿足工程實(shí)際要求，應(yīng)在優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)考慮不確定因素的影響。對于不確定性問題，大多采用概率方法，把不確定變量作為隨機(jī)變量處理，但在工程實(shí)際中有時(shí)很難提供充分的概率分布信息來描述這些隨機(jī)變量，因而限制了基于概率的優(yōu)化方法在工程中的應(yīng)用[5-6]?；趨^(qū)間分析的不確定性優(yōu)化方法把不確定參數(shù)看作區(qū)間數(shù)，只須獲得參數(shù)的上下界信息即可，這些信息在工程實(shí)際中也很容易獲得，因此基于區(qū)間分析的優(yōu)化研究在工程中得到了廣泛的應(yīng)用[7]。

本文中針對汽車制動(dòng)噪聲的抑制問題，將響應(yīng)面法與優(yōu)化技術(shù)相結(jié)合，對具有不確定參數(shù)的汽車制動(dòng)器進(jìn)行區(qū)間分析優(yōu)化研究，提出了一種基于區(qū)間分析的汽車制動(dòng)器不確定性優(yōu)化方法。該方法首先采用拉丁超立方試驗(yàn)方法在不確定參數(shù)和設(shè)計(jì)變量所構(gòu)成的混合空間內(nèi)進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計(jì)；再建立包含區(qū)間參數(shù)的制動(dòng)器系統(tǒng)復(fù)模態(tài)負(fù)阻尼比的響應(yīng)面近似模型；最后以結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)為設(shè)計(jì)變量，以減小系統(tǒng)復(fù)模態(tài)負(fù)阻尼比為優(yōu)化目標(biāo)，利用基于區(qū)間分析的不確定性優(yōu)化方法對響應(yīng)面近似模型進(jìn)行優(yōu)化，以提高制動(dòng)器的穩(wěn)定性。對某型車的浮鉗盤式制動(dòng)器的分析和優(yōu)化結(jié)果表明，采用該方法對汽車制動(dòng)器進(jìn)行優(yōu)化，能有效減小制動(dòng)器不穩(wěn)定模態(tài)的負(fù)阻尼比，從而提高了制動(dòng)器的穩(wěn)定性。

1 汽車制動(dòng)器噪聲的預(yù)測原理

文獻(xiàn)[8]的研究表明，制動(dòng)器工作時(shí)，系統(tǒng)引入了摩擦力，導(dǎo)致系統(tǒng)為一個(gè)耦合系統(tǒng)，其運(yùn)動(dòng)方程可以表示為

(1)

式中：M，C，K分別為無摩擦制動(dòng)器系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；μ為摩擦因數(shù)；Kf為摩擦接觸剛度矩陣；D為振動(dòng)位移向量。

由式(1)可知，由于摩擦力的存在導(dǎo)致了系統(tǒng)剛度耦合，系統(tǒng)的剛度矩陣不對稱。從數(shù)學(xué)角度來看，剛度矩陣不對稱意味著特征矩陣不對稱，而不對稱矩陣的特征值在一定條件下是復(fù)數(shù)。

式(1)的特征方程為

det(s2M+sC+K+μKf)=0

(2)

式中s為系統(tǒng)復(fù)特征值，記為

s=a±jb

(3)

式中：a為特征值的實(shí)部，是系統(tǒng)的阻尼系數(shù)；b為特征值的虛部，是系統(tǒng)的自然頻率。由系統(tǒng)控制理論知，一個(gè)系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)的充分必要條件為：系統(tǒng)的特征值具有負(fù)實(shí)部。因此a的正負(fù)決定了一個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)定與否。

定義復(fù)特征值的阻尼比[3]為

(4)

式中ζ為系統(tǒng)復(fù)特征值的阻尼比。如果阻尼比為正，即a<0，則系統(tǒng)是一個(gè)衰減振動(dòng)系統(tǒng)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的；如果阻尼比為負(fù)，即a>0，則系統(tǒng)隨著時(shí)間推移而放大振動(dòng)，系統(tǒng)是一個(gè)不穩(wěn)定系統(tǒng)。因此根據(jù)制動(dòng)器系統(tǒng)復(fù)特征值的阻尼比來判斷其穩(wěn)定性。阻尼比值的大小與系統(tǒng)的穩(wěn)定程度相關(guān)，負(fù)阻尼比絕對值越大則制動(dòng)器系統(tǒng)越不穩(wěn)定，產(chǎn)生噪聲的可能性越大。

因此，在制動(dòng)器摩擦耦合系統(tǒng)中，具有正實(shí)部的特征值對應(yīng)的模態(tài)是不穩(wěn)定模態(tài)，表現(xiàn)為有噪聲傾向的模態(tài)。如果采用有限元分析方法求出制動(dòng)器的復(fù)模態(tài)和對應(yīng)的阻尼比，就能對制動(dòng)噪聲傾向進(jìn)行預(yù)測。本文中以表征系統(tǒng)穩(wěn)定程度的復(fù)模態(tài)的負(fù)阻尼比為目標(biāo)函數(shù)。

2 汽車制動(dòng)器的不確定性近似模型

2.1 汽車制動(dòng)器不確定性因素分析

汽車制動(dòng)器是由多個(gè)部件組成的系統(tǒng)，以盤式制動(dòng)器為研究對象，主要的部件有制動(dòng)盤、制動(dòng)片、支撐背板、絕緣板、卡鉗、分泵和油管等。存在于系統(tǒng)部件中的不確定性因素與制動(dòng)噪聲的產(chǎn)生有著密切的關(guān)系。主要的不確定性因素如下。

(1) 摩擦因數(shù)的不確定性 為了方便，多數(shù)研究都把制動(dòng)盤和制動(dòng)片之間的摩擦因數(shù)簡化成一個(gè)恒定的數(shù)值[4]。雖然目前國內(nèi)外對制動(dòng)噪聲的產(chǎn)生機(jī)理還未能達(dá)成共識(shí)，但研究表明：摩擦因數(shù)-相對滑動(dòng)速度曲線的負(fù)斜率是產(chǎn)生制動(dòng)噪聲的主要因素之一[9]。摩擦因數(shù)在實(shí)際工況中并不是恒定的，受溫度、壓力、濕度和粉塵等因素的影響，摩擦因數(shù)會(huì)在一定范圍內(nèi)波動(dòng)，因此在優(yōu)化設(shè)計(jì)中應(yīng)考慮摩擦因數(shù)不確定性的影響。本文中將摩擦因數(shù)不確定取值區(qū)間定在初始值的±10%范圍之內(nèi)。

(2) 制動(dòng)壓力的不確定性 對于盤式制動(dòng)器，兩個(gè)制動(dòng)片分別裝在制動(dòng)盤的兩側(cè)，分泵的活塞受油管輸送來的液壓作用，推動(dòng)制動(dòng)片擠壓轉(zhuǎn)動(dòng)中的制動(dòng)盤，由此產(chǎn)生摩擦阻力而達(dá)到減速效果。制動(dòng)主缸和油路的變化，制動(dòng)卡鉗所受摩擦力的變動(dòng)以及分泵活塞密封性的變化等都會(huì)引起制動(dòng)壓力在一定范圍的波動(dòng)性。本文中將制動(dòng)壓力不確定取值區(qū)間定在初始值的±10%范圍之內(nèi)。

(3) 制動(dòng)片磨損的不確定性 制動(dòng)片作為制動(dòng)器的主要部件之一，對制動(dòng)器的振動(dòng)和噪聲有著重要影響。相對其它部件，制動(dòng)片是一個(gè)易損件，隨著車輛的使用，制動(dòng)片會(huì)不斷磨損。已有研究表明，隨著制動(dòng)片的磨損，制動(dòng)器系統(tǒng)的耦合摩擦特性會(huì)發(fā)生變化，導(dǎo)致出現(xiàn)一些只在磨損狀態(tài)下產(chǎn)生的振動(dòng)或噪聲。因此在制動(dòng)器的早期設(shè)計(jì)中必須考慮到制動(dòng)片的整個(gè)使用壽命周期，針對其整個(gè)厚度變化過程進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，而不是只針對某一個(gè)確定的厚度值。制動(dòng)片一般磨損到只剩原來厚度的1/3時(shí)進(jìn)行更換，本文中根據(jù)該使用原則及其初始厚度確定其取值范圍。

(4) 制動(dòng)盤磨損的不確定性 制動(dòng)盤相對制動(dòng)片來說其磨損是相當(dāng)微小的，屬于非易損件，故暫不考慮其磨損情況。

2.2 響應(yīng)面近似模型

由于對制動(dòng)器系統(tǒng)模型進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的時(shí)間較長，基于該模型的優(yōu)化計(jì)算，特別是進(jìn)行嵌套優(yōu)化計(jì)算，每次計(jì)算響應(yīng)值都要調(diào)用有限元模型，導(dǎo)致計(jì)算效率低下，阻礙了優(yōu)化算法在制動(dòng)器系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)中的應(yīng)用。用近似模型代替真實(shí)模型的設(shè)計(jì)方法，是目前解決大規(guī)模抽象模型優(yōu)化問題的有效方法，可大幅度提高工程優(yōu)化問題的求解效率。

建立近似模型的基本原理是通過數(shù)理統(tǒng)計(jì)和試驗(yàn)設(shè)計(jì)的方法，建立設(shè)計(jì)變量和響應(yīng)值之間的函數(shù)關(guān)系，用以代替復(fù)雜的真實(shí)模型。本文中選用響應(yīng)面法在指定的采樣空間內(nèi)進(jìn)行有限次數(shù)的試驗(yàn)設(shè)計(jì)，以輸出變量的全局逼近來代替真實(shí)響應(yīng)。

假定系統(tǒng)響應(yīng)與設(shè)計(jì)變量之間滿足函數(shù)關(guān)系：

y=g(x1,x2,…,xn)

(5)

式中：y為系統(tǒng)響應(yīng)；x1,x2,…,xn為n個(gè)設(shè)計(jì)變量。通過試驗(yàn)設(shè)計(jì)，系統(tǒng)響應(yīng)與設(shè)計(jì)變量確定的函數(shù)關(guān)系為

y=f(x1,x2,…,xn)

(6)

式中f(x1,x2,…,xn)是對g(x1,x2,…,xn)的近似，其表示的曲面為響應(yīng)面。

多項(xiàng)式響應(yīng)面是應(yīng)用比較廣泛的一種近似模型，它具有數(shù)學(xué)表達(dá)式較為簡單，且易于實(shí)現(xiàn)等特點(diǎn)。工程中通常采用二次多項(xiàng)式響應(yīng)面近似模型，其基本形式為

(7)

式中：c0，ci，cii和cij為待確定的未知系數(shù)；n為設(shè)計(jì)變量個(gè)數(shù)。

2.3 試驗(yàn)設(shè)計(jì)

為了建立有效的近似模型，須借助試驗(yàn)設(shè)計(jì)的方法，以獲取足夠多且合適的樣本點(diǎn)。采樣點(diǎn)的選擇不當(dāng)會(huì)導(dǎo)致近似模型的精度低、甚至錯(cuò)誤，并且會(huì)提高構(gòu)建近似模型的成本。本文中采用拉丁超立方試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法[10]進(jìn)行抽樣。其采樣點(diǎn)在采樣空間中分布均勻，可以在相對較少的采樣次數(shù)下，獲得充分的信息。因?yàn)榛趨^(qū)間分析的不確定性優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)是設(shè)計(jì)變量和不確定性變量的函數(shù)，所以采樣空間應(yīng)由設(shè)計(jì)變量和不確定性變量組成。

2.4 汽車制動(dòng)器噪聲預(yù)測的不確定性近似模型

為減少計(jì)算量，同時(shí)又能真實(shí)準(zhǔn)確地模擬制動(dòng)器的振動(dòng)特性，利用Altair. Hypermesh軟件建立了某型轎車的制動(dòng)器有限元模型，如圖1所示。

該模型由制動(dòng)盤、制動(dòng)片、支撐背板和絕緣板4部分組成，共有26 125個(gè)實(shí)體單元，37 043個(gè)節(jié)點(diǎn)，其中六面體單元(C3D8)25 041個(gè)，五面體單元(C3D6)1 084個(gè)，制動(dòng)片與制動(dòng)盤之間為摩擦接觸面，整個(gè)系統(tǒng)為一個(gè)摩擦耦合系統(tǒng)，各部件材料特性參數(shù)見表1。該模型的制動(dòng)片前期已經(jīng)過中部開槽和邊緣倒圓角等工藝處理，噪聲傾向性已較小，但還不能完全消除。將定義好邊界條件和工況的有限元模型提交ABQUS/Standard即可求解系統(tǒng)的復(fù)模態(tài)和阻尼比。

表1 制動(dòng)器部件材料參數(shù)

文獻(xiàn)[3]中的研究表明，在盤式制動(dòng)器系統(tǒng)中，摩擦因數(shù)、制動(dòng)壓力、制動(dòng)盤轉(zhuǎn)速、制動(dòng)盤剛度、制動(dòng)片剛度和支撐背板剛度這些設(shè)計(jì)參數(shù)都與系統(tǒng)的不穩(wěn)定模態(tài)有關(guān)，但制動(dòng)盤轉(zhuǎn)速和制動(dòng)壓力對不穩(wěn)定模態(tài)的影響極小，因此選取制動(dòng)盤剛度和制動(dòng)片剛度參數(shù)為設(shè)計(jì)變量，選取摩擦因數(shù)、制動(dòng)壓力和制動(dòng)片剛度參數(shù)為不確定性變量。其中制動(dòng)片、制動(dòng)盤和支撐背板的剛度特性分別通過其幾何厚度參數(shù)間接體現(xiàn)。

根據(jù)制動(dòng)器部件的規(guī)格和不確定特性，制動(dòng)器設(shè)計(jì)變量和不確定參數(shù)的初始值和取值范圍如表2所示。采用拉丁超立方試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法，選取了35組由摩擦因數(shù)μ、制動(dòng)壓力p、制動(dòng)片厚度h1、制動(dòng)盤厚度h2和支撐背板厚度h3組成的樣本點(diǎn)。

將試驗(yàn)設(shè)計(jì)中得到的35組樣本點(diǎn)代入到制動(dòng)器系統(tǒng)有限元模型中進(jìn)行計(jì)算，得出其相應(yīng)的不穩(wěn)定模態(tài)及其負(fù)阻尼比。通過有限元計(jì)算，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)對應(yīng)各組樣本點(diǎn)的第6，7階模態(tài)均為復(fù)模態(tài)，其中第7階模態(tài)的復(fù)特征值實(shí)部大于0，為不穩(wěn)定模態(tài)；

表2 試驗(yàn)設(shè)計(jì)采樣空間

個(gè)別樣本點(diǎn)還在其它階數(shù)上出現(xiàn)復(fù)模態(tài)，但其復(fù)特征值的負(fù)阻尼比值都遠(yuǎn)比第7階模態(tài)的負(fù)阻尼比值?。灰虼吮疚闹兄饕獙Φ?階模態(tài)進(jìn)行研究。初始狀態(tài)下，制動(dòng)器的第6，7階模態(tài)的復(fù)特征值分別為-97.088+1962.2j和97.088+1962.2j。第7階復(fù)模態(tài)的負(fù)阻尼比為-0.015 75，振型圖如圖2所示。

以第7階復(fù)模態(tài)為研究對象，根據(jù)第2.2節(jié)的方法，建立以摩擦因數(shù)μ、制動(dòng)壓力p、制動(dòng)片厚度h1、制動(dòng)盤厚度h2和支撐背板厚度h3為自變量的制動(dòng)器系統(tǒng)負(fù)阻尼比的近似模型。基于2階多項(xiàng)式響應(yīng)面模型建立的負(fù)阻尼比的近似表達(dá)式為

ζ(μ,p,h1,h2,h3)=-0.0463-0.2046μ+

0.0598p+0.0004h1+0.0101h2-0.0138h3-

0.2431μp+0.0038μh1-0.0023μh2+0.0169μh3-

0.0293ph1+0.0159ph2+0.0028ph3-0.0007h1h2+

0.0005h1h3+0.0004h2h3+0.3908μ2+0.0159p2+

(8)

根據(jù)文獻(xiàn)[10]中的方法對上述響應(yīng)面模型進(jìn)行顯著性分析，由F檢驗(yàn)結(jié)果知響應(yīng)面模型的不可靠概率小于1%，與真實(shí)有限元模型的逼近程度高，能夠較好地滿足預(yù)測精度要求。

3 基于區(qū)間分析的不確定優(yōu)化理論

基于區(qū)間分析的系統(tǒng)不確定性優(yōu)化問題，一般可表述為

(9)

式中：f為包含設(shè)計(jì)變量和不確定參數(shù)的目標(biāo)函數(shù)；gi為第i個(gè)不確定約束函數(shù)；k為不確定約束的個(gè)數(shù)；X為n維設(shè)計(jì)向量；U為不確定向量；上標(biāo)L和H表示區(qū)間的下界和上界。

利用區(qū)間數(shù)理論中的區(qū)間序關(guān)系對區(qū)間進(jìn)行比較，則式(9)的不確定優(yōu)化問題可轉(zhuǎn)化為式(10)的多目標(biāo)優(yōu)化問題：

(10)

式中：m(f(X,U))為目標(biāo)函數(shù)區(qū)間的中點(diǎn)；ω(f(X,U))為目標(biāo)函數(shù)區(qū)間的半徑；fL(X)和fH(X)分別由式(11)得出：

(11)

至此，通過區(qū)間序關(guān)系轉(zhuǎn)換，將式(9)的不確定優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為式(10)的多目標(biāo)確定性優(yōu)化問題。為方便后續(xù)求解，采用線性加權(quán)法將式(10)進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為一單目標(biāo)優(yōu)化問題：

β(ω(f(X,U))+λ)/ψ

(12)

式中：fd為單目標(biāo)評價(jià)函數(shù)；β為權(quán)重系數(shù)，其取值范圍為0≤β≤1；λ為保證m(f(X,U))+λ和ω(f(X,U))+λ非負(fù)的常數(shù)；φ和ψ為各目標(biāo)函數(shù)的正則化因子：

(13)

實(shí)際應(yīng)用中，上述兩個(gè)參數(shù)可以根據(jù)具體問題，大致取與各自目標(biāo)同一量級的值即可，以防止“大數(shù)吃小數(shù)”的現(xiàn)象發(fā)生。

本文中采用罰函數(shù)方法來處理不確定優(yōu)化問題的約束條件，使其轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)無約束優(yōu)化問題，式(12)可寫為

β(ω(f(X,U))+λ)/ψ+

(14)

式中：σ為懲罰因子，通常取一個(gè)較大的值，當(dāng)不滿足約束條件時(shí)將受到懲罰，使搜索保持在可行域內(nèi)。

4 基于區(qū)間分析的制動(dòng)器不確定性優(yōu)化

制動(dòng)器系統(tǒng)不確定優(yōu)化的目的是使制動(dòng)器在其整個(gè)使用壽命周期中不穩(wěn)定模態(tài)的負(fù)阻尼比盡可能小，從而提高制動(dòng)器系統(tǒng)的穩(wěn)定性，降低制動(dòng)噪聲產(chǎn)生的可能性。本文中以第2.4節(jié)的盤式制動(dòng)器系統(tǒng)為研究對象，以式(8)表述的不穩(wěn)定模態(tài)的負(fù)阻尼比ζ(μ,p,h1,h2,h3)為目標(biāo)函數(shù)，以設(shè)計(jì)變量取值范圍為約束條件，得到制動(dòng)器系統(tǒng)的不確定優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型：

(15)

在區(qū)間不確定性優(yōu)化方法中，將區(qū)間中點(diǎn)和區(qū)間半徑視為同等重要，則式(14)中權(quán)重系數(shù)β=0.5。取參數(shù)λ=0.1，則式(15)最終可表示為

(16)

其中

(17)

采用隔代遺傳算法對上述目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。隔代遺傳算法是在微型遺傳算法的基礎(chǔ)上加入隔代映射算子。隔代映射算子是用來沿著連續(xù)兩代中最好個(gè)體的方向上，尋找更好的個(gè)體，以代替當(dāng)前代中最差的個(gè)體[11]。隔代遺傳算法不僅繼承了微型遺傳算法種群規(guī)模小、基因多樣性和全局優(yōu)化的特點(diǎn)，而且提高了收斂速率。

首先，外層遺傳算法在制動(dòng)盤厚度h2和支撐背板厚度h3組成的設(shè)計(jì)空間內(nèi)尋優(yōu)，對于每個(gè)所取的設(shè)計(jì)向量進(jìn)入內(nèi)層遺傳算法，在不確定摩擦因數(shù)μ、制動(dòng)壓力p、制動(dòng)片厚度h1組成的不確定參數(shù)空間內(nèi)搜索，通過計(jì)算響應(yīng)面近似模型ζ(μ,p,h1,h2,h3)確定目標(biāo)函數(shù)響應(yīng)的上下界，進(jìn)而得到目標(biāo)函數(shù)響應(yīng)區(qū)間的中點(diǎn)和半徑。把內(nèi)層優(yōu)化結(jié)果反饋給外層優(yōu)化算法，以幫助外層算法繼續(xù)尋優(yōu)，直到滿足停止準(zhǔn)則輸出最后的設(shè)計(jì)變量作為優(yōu)化結(jié)果。整個(gè)優(yōu)化流程如圖3所示。

最后的優(yōu)化結(jié)果為，在不確定參數(shù)作用下，當(dāng)h2=21.8mm，h3=7.5mm時(shí)，制動(dòng)器系統(tǒng)不穩(wěn)定模態(tài)的負(fù)阻尼比區(qū)間為[-0.015 3,-0.003 7]，不確定區(qū)間中心為-0.009 5，區(qū)間半徑為0.005 8。以區(qū)間中點(diǎn)來說，優(yōu)化后的負(fù)阻尼比值比優(yōu)化前降低了39.7%，即使為最不利情況，即負(fù)阻尼比為-0.015 3，也比優(yōu)化前降低了2.9%。

將優(yōu)化后的結(jié)果h2=21.8mm，h3=7.5mm以及不確定參數(shù)的一組初始取值：μ=0.35，p=0.5MPa，h1=11mm代入有限元模型分析計(jì)算，結(jié)果顯示第7階模態(tài)復(fù)特征值為69.736+2029j，負(fù)阻尼比為-0.010945，在優(yōu)化結(jié)果區(qū)間內(nèi)，振型如圖4所示，并且除了第7階模態(tài)外，其余全部均為穩(wěn)定模態(tài)，制動(dòng)器系統(tǒng)整體穩(wěn)定性大幅提高。

5 結(jié)論

(1) 在參數(shù)不確定性的基礎(chǔ)上，結(jié)合區(qū)間分析理論，將響應(yīng)面法與優(yōu)化技術(shù)相結(jié)合，應(yīng)用遺傳算法，對汽車制動(dòng)器系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)化。該方法在對制動(dòng)器系統(tǒng)設(shè)計(jì)參數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)的同時(shí)，還考慮了實(shí)際工況部分參數(shù)的不確定性，從而使設(shè)計(jì)得到的優(yōu)化解能更好地滿足工程實(shí)際要求。

(2) 對某型車的浮鉗盤式制動(dòng)器的分析和優(yōu)化結(jié)果表明：采用該方法對汽車制動(dòng)器進(jìn)行優(yōu)化，能有效提高優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果的穩(wěn)健性，使制動(dòng)器在其整個(gè)使用壽命周期中不穩(wěn)定模態(tài)的負(fù)阻尼比盡可能小，從而提高制動(dòng)器的穩(wěn)定性，減小制動(dòng)噪聲產(chǎn)生的可能性。

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Uncertainty Optimization of Vehicle Brakes Based on Interval Analysis

Lü Hui & Yu Dejie

HunanUniversity,StateKeyLaboratoryofAdvancedDesignandManufacturingforVehicleBody,Changsha410082

To suppress the noise of vehicle brakes with uncertain parameters, an optimization scheme by reducing the negative damping ratio of the complex mode of brake system to improve the brake stability is presented based on the theory of interval analysis and combining response surface method with optimization technique. The scheme adopts the Latin hypercube design of experiment to conduct sampling within the mixed space formed by design variables and uncertain parameters and create a response surface approximation model for the negative damping ratio of the complex mode of brake system with uncertain parameters. With the structural parameters of brake system as design variables and minimizing the negative damping ratio of its complex mode as optimization objective, an optimization is performed on response surface approximation model with an uncertainty optimization scheme based on interval analysis. The results of the optimization on the float caliper disc brake of a vehicle show that the optimization on vehicle brakes using the scheme presented can effectively reduce the negative damping ratio of unstable mode of brake system in entire life cycle, and hence improve the stability of brakes.

brake noise; uncertainty; interval analysis; optimization

*湖南省研究生科研創(chuàng)新項(xiàng)目(CX2013B143)，湖南大學(xué)汽車車身先進(jìn)設(shè)計(jì)制造國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室自主課題(71375004)和長沙市科技計(jì)劃重大專項(xiàng)(K1306007-11-1)資助。

原稿收到日期為2012年9月17日，修改稿收到日期為2015年6月15日。