HRG 四位置諧振子振幅檢測(cè)方法及誤差分析

李 燦， 汪立新， 黃松濤， 田 穎， 陳 偉

(1．第二炮兵工程大學(xué)，西安 710025; 2．中國人民解放軍96401 部隊(duì)537 醫(yī)院，陜西 寶雞 721006)

0 引言

半球諧振陀螺(Hemispherical Resonator Gyro，HRG)是一種基于哥氏效應(yīng)的無轉(zhuǎn)動(dòng)部件陀螺儀。半球諧振陀螺因其具有壽命長、個(gè)體小、功耗低、抗輻射能力強(qiáng)以及可短時(shí)間斷電等諸多優(yōu)點(diǎn)，在空間技術(shù)領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用前景。但是由于裝配工藝的不足，以及陀螺工作環(huán)境的影響，會(huì)導(dǎo)致諧振子與底座不同心，因此，尋求一種新的振幅檢測(cè)方案用來減小諧振子偏心的影響，具有重要意義。

半球諧振陀螺的工作模式包括全角模式和力反饋模式。在全角模式下，通過互成45°的檢測(cè)電容測(cè)得的振幅解算出輸入角;在力反饋模式下，通過主激勵(lì)和反饋激勵(lì)幅值之間的比值解算出輸入角速度。文獻(xiàn)［1 -2］都分析了在全角模式下諧振子偏心的影響，并比較了不同振幅檢測(cè)方案的優(yōu)劣，同時(shí)給出了檢測(cè)信號(hào)的解調(diào)方法和獲取方法。但是在力反饋模式下，諧振子偏心的影響、振動(dòng)方案的改進(jìn)及其所能達(dá)到的效果還沒有相關(guān)的研究。

本文針對(duì)力反饋模式下的半球諧振陀螺，研究了諧振子偏心時(shí)的輸出誤差，然后提出了改進(jìn)的振幅檢測(cè)方案，通過仿真結(jié)果看出，改進(jìn)后的方案極大地提高了陀螺的測(cè)量精度，具有一定的理論價(jià)值和工程應(yīng)用價(jià)值。

1 諧振子徑向運(yùn)動(dòng)方程

1．1 半球諧振陀螺的工作原理

本文主要研究力反饋模式下的半球陀螺，在此，首先介紹力反饋模式下半球諧振陀螺的工作原理。

如圖1 所示，在力反饋模式下，由A 點(diǎn)振幅檢測(cè)電極檢測(cè)諧振子的振幅，將振幅作為反饋值來調(diào)節(jié)A 點(diǎn)激勵(lì)電極的幅值，保證振幅的恒定;B 點(diǎn)振幅檢測(cè)電極檢測(cè)出四波腹振型的進(jìn)動(dòng)趨勢(shì)，將檢測(cè)結(jié)果進(jìn)行反饋，用來調(diào)節(jié)B 點(diǎn)激勵(lì)電極的幅值，使振型不發(fā)生進(jìn)動(dòng)。

圖1 力反饋模式下工作原理Fig．1 Working principle in force-feedback model

1．2 半球諧振子的徑向運(yùn)動(dòng)方程

記A 點(diǎn)激勵(lì)力的幅值為FA，B 點(diǎn)激勵(lì)力的幅值為FB，則A，B 兩點(diǎn)激勵(lì)力的和［3］為

式中:λ 為激勵(lì)力的角頻率;φ 為諧振子開口端的角位置;t 表示時(shí)間。則對(duì)于角位置φ 處，徑向運(yùn)動(dòng)方程為［4 -7］

式中:w 為角位置φ 處的徑向位移;Ω 為輸入角速度;ξ為阻尼系數(shù);η2為一個(gè)常量，且有為楊氏彈性模量，I 為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，ρ 為材料密度，s 為底面橫截面積，R 為諧振子內(nèi)徑。

1．3 陀螺輸出表達(dá)式

將徑向位移w(φ，t)在X 軸和Y 軸上分解［8］，得

式中，p(t)和q(t)分別為徑向位移w(φ，t)在X，Y 軸上的分量。

將式(3)代入式(2)，用sin 2φ 和cos 2φ 做內(nèi)積，得

式中，ω0為諧振子的諧振頻率。由于Ω ＜＜ω0，故可以忽略耦合項(xiàng)的影響，在振幅控制系統(tǒng)的作用下，可以消除阻尼對(duì)振動(dòng)的影響。那么，式(4)的通解可表示為

式中，c，u，d，v 為常值系數(shù)。

將式(5)代入式(4)，并用sin ω0t，cos ω0t 再一次做內(nèi)積，可得

式中，θ 為無反饋?zhàn)饔孟轮C振子的進(jìn)動(dòng)角。在反饋力作用下可使θ=0，則有

可得

2 3 種振幅檢測(cè)方案

2．1 理想情況下振幅檢測(cè)結(jié)果

在理想情況下，諧振子與底座同心，將均勻分布在基座上的電容傳感器分別標(biāo)記為P1～P8，如圖2 所示。

圖2 理想情況下諧振子與電容分布圖Fig．2 Distribution of resonator and capacitors on ideal occasion

記電容P1～P8測(cè)量出的振幅分別為d1～d8，由四波腹振型的對(duì)稱性可知

式中:A 為電容傳感器測(cè)得的最大位移;r 為電容傳感器外徑;R 為諧振子內(nèi)徑。

2．2 偏心情況下各電容檢測(cè)結(jié)果

由四波腹振型的對(duì)稱性可知，本文只需研究0°振幅的檢測(cè)方法，則45°振幅的檢測(cè)方法和分析方法與0°時(shí)相一致。

如圖3 所示，當(dāng)諧振子和底座存在偏心時(shí)，電容傳感器檢測(cè)到的振幅會(huì)存在誤差。則單獨(dú)使用電容傳感器P1，P3，P5，P7時(shí)，測(cè)得的諧振子振幅為

式中，δ1，δ2分別為在橫軸和縱軸上的偏心距。

2．3 3 種振幅檢測(cè)方案

從式(10)可以看出，單獨(dú)使用任何電容傳感器都會(huì)產(chǎn)生較大的測(cè)量誤差。為了減小電容傳感器的測(cè)量結(jié)果對(duì)輸出的影響，本文給出了3 種振動(dòng)檢測(cè)方案，如圖3 ～圖5 所示。圖中:O 為諧振子的中心;O'為基座的中心。

圖3 單點(diǎn)檢測(cè)(方案1)Fig．3 Measured by single point(Scheme 1)

在方案1 中，使用電容傳感器P1輸出的振幅作為0°位置測(cè)量振幅，使用電容傳感器P2輸出的振幅作為45°位置測(cè)量振幅。那么此時(shí)有

圖4 雙點(diǎn)檢測(cè)(方案2)Fig．4 Measured by double points (Scheme 2)

在方案2 中，將電容器P1和P5的輸出使用加法器進(jìn)行綜合，求平均得到0°位置測(cè)量振幅，將電容器P2和P6的輸出使用加法器求和，再求平均得到45°位置測(cè)量振幅。那么

在方案3 中，將電容器P1和P5的測(cè)量結(jié)果使用加法器取平均值d'，再將電容器P3和P7的測(cè)量結(jié)果依靠加法器取平均值d″，把d″取反向后與d'使用加法器取平均可得0°位置測(cè)量振幅。從圖中可類比出45°位置測(cè)量振幅的檢測(cè)方法，那么

圖5 四點(diǎn)檢測(cè)(方案3)Fig．5 Measure by four points (Scheme 3)

3 誤差分析及仿真結(jié)果驗(yàn)證

3．1 振幅誤差及輸出誤差分析

1)方案1 振幅誤差為

從式(14)中可以看出，方案1 的振幅誤差同時(shí)受δ1和δ2的影響，且誤差為兩種誤差之和。

為了使振幅恒定在d0°=A +r -R，需要調(diào)節(jié)A 點(diǎn)激勵(lì)力幅值，由于激勵(lì)力幅值與振幅成正比，則

得激勵(lì)力幅值為)

則陀螺輸出為

2)方案2 振幅誤差式為

從式(18)中可以看出，兩點(diǎn)檢測(cè)時(shí)消除了δ1的影響，比單點(diǎn)檢測(cè)時(shí)誤差小。

激勵(lì)力幅值為

陀螺輸出為

3)方案3 振幅誤差式為

從式(21)中可以看出，四點(diǎn)檢測(cè)時(shí)，δ1與δ2的誤差相互抵消且取了平均，由于加工工藝比較成熟，δ1與δ2相差很小，即有，所以四點(diǎn)檢測(cè)比雙點(diǎn)檢測(cè)時(shí)誤差更小。

激勵(lì)力幅值為

陀螺輸出為

3．2 仿真結(jié)果驗(yàn)證

為了比較3 種檢測(cè)方案的優(yōu)劣，仿真計(jì)算出每種方案的測(cè)量相對(duì)誤差。本文仿真所用陀螺諧振子內(nèi)徑R 為14．575 mm，電容外徑r 為14．425 mm，電容測(cè)得的最大位移A 為5 μm;而且由于加工比較精確，使得偏心距δ1，δ2都是微小量(10-2μm 級(jí))，且δ1與δ2相差不大。仿真結(jié)果如表1 所示，表中，偏心距δ1，δ2的單位均為×10-2μm。

表1 不同方案測(cè)得的輸出相對(duì)誤差Table 1 The output relative error measured by different schemes %

從仿真結(jié)果可以看出，目前所使用的測(cè)量方案1產(chǎn)生的輸出誤差較大，偏心距比較大時(shí)相對(duì)誤差能夠達(dá)到8%左右;測(cè)量方案2 的輸出誤差相對(duì)測(cè)量方案1小了2 ～3 個(gè)數(shù)量級(jí)，但是增加了2 級(jí)加法器，每條數(shù)據(jù)處理路徑都增加了1 級(jí)加法器處理數(shù)據(jù)需要的時(shí)間;測(cè)量方案3 的輸出誤差最小，相對(duì)方案2 大約減小了50%，但是相對(duì)于方案1 卻增加了6 級(jí)加法器，每條振動(dòng)檢測(cè)的路徑都增加了2 級(jí)加法器，所以每條路徑數(shù)據(jù)處理的時(shí)間都要增加2 級(jí)加法器需要的時(shí)間。綜上所述:測(cè)量方案1 精度最差，但數(shù)據(jù)處理最快、實(shí)時(shí)性最好;方案3 精度最高，但數(shù)據(jù)處理周期最長，實(shí)時(shí)性最差;方案2 是折中方案，精度比方案1 好，數(shù)據(jù)處理周期又比方案3 短。

4 結(jié)束語

本文基于諧振子的徑向運(yùn)動(dòng)方程，解出了陀螺輸出表達(dá)式，給出了3 種振幅測(cè)量的方案，分析了在偏心情況下，每種測(cè)量方案的振幅誤差和輸出誤差。通過仿真可以看出，基于四位置的測(cè)量方案具有最高的測(cè)量精度，但是測(cè)量精度的提高是以測(cè)量裝置的復(fù)雜度為代價(jià)的。

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