聯(lián)合模糊圖像建模與復(fù)原算法

李翀倫， 劉 忠， 楊露菁

(海軍工程大學(xué)電子工程學(xué)院，武漢 430033)

0 引言

圖像復(fù)原技術(shù)是圖像處理技術(shù)領(lǐng)域的重要前置技術(shù)，被廣泛應(yīng)用于天文觀測、航空拍攝等諸多領(lǐng)域。近年來隨著航空技術(shù)的發(fā)展，空中載荷平臺運(yùn)動能力獲得了極大提升，光電載荷在觀測目標(biāo)過程中同時(shí)受到載荷平臺振動、氣動光學(xué)效應(yīng)及載荷/目標(biāo)間高速相對運(yùn)動等多種因素影響，所生成圖像受到不同類型的多種模糊共同影響，為確保航拍圖像的目標(biāo)識別與分析效果，需要對特定條件下的模糊圖像進(jìn)行分析。

針對圖像復(fù)原技術(shù)研究人員進(jìn)行了長期研究。1972 年RICHARDSON 首先提出的基于貝葉斯估計(jì)的圖像去模糊RL(Richardson-Lucy)算法［1］，在已知初始模糊核函數(shù)的條件下以觀測圖像為運(yùn)算初值通過迭代估計(jì)對真實(shí)圖像進(jìn)行復(fù)原，該算法針對具有移不變性質(zhì)的模糊圖像復(fù)原效果明顯，但模型未考慮噪聲影響，因此對含噪模糊圖像效果并不理想。為了提升對含噪模糊圖像的處理效果，可以在RL 算法的基礎(chǔ)上通過加入不同正則化項(xiàng)的方式對噪聲加以抑制，其中，文獻(xiàn)［2］于1992年提出ROF(TV)算法用于去除圖像噪聲，該算法由DEY 等人引入RL 算法［3-5］，通過在RL 算法中加入總變分(total variation)正則項(xiàng)提高圖像的復(fù)原效果，但由于RL-TV 算法不能夠有效利用全局信息，因此難以保留圖像中的細(xì)節(jié)信息。近年來，針對RL-TV 算法的不足研究人員也提出了相應(yīng)的改進(jìn)，如文獻(xiàn)［6］改進(jìn)了RL-TV 算法提高了算法效率;文獻(xiàn)［7］提出了積分控制核回歸的RL-TV 算法提高了算法對細(xì)節(jié)信息的復(fù)原能力。隨著非局部均值算法(nonlocal means)的提出，利用圖像冗余信息的方式被應(yīng)用于對含噪圖像的復(fù)原中。2009 年文獻(xiàn)［8］提出了RL-TV/NL 算法對圖像中的相似區(qū)域加以利用以提升復(fù)原效果;2011 年文獻(xiàn)［9］通過BM3D 結(jié)構(gòu)證明了含噪模糊圖像復(fù)原中去噪和去模糊的可分離特性，并建立了迭代方程提高了復(fù)原性能;文獻(xiàn)［10］在RL-TV 的基礎(chǔ)上提出了結(jié)合拉普拉斯算子的全變分模型，也獲得了較好的復(fù)原效果。除了傳統(tǒng)復(fù)原方式，近年來還有許多研究者將小波算法［11］和多通道理論［12-13］用于圖像復(fù)原研究，這些算法主要針對存在移不變性質(zhì)的模糊圖像復(fù)原，因此難以在具有移變性質(zhì)的模糊圖像中獲得應(yīng)用。

為了解決傳統(tǒng)算法在移變模糊圖像中的應(yīng)用問題，研究人員主要針對載荷/目標(biāo)間高速相對運(yùn)動產(chǎn)生的徑向模糊進(jìn)行了相關(guān)研究［14-15］，采用了對原始圖像進(jìn)行坐標(biāo)變換等方式將移變模糊圖像轉(zhuǎn)化為移不變模糊圖像，再通過建立相應(yīng)的模糊核函數(shù)進(jìn)行復(fù)原，如2011 年文獻(xiàn)［16］將RL-TV/NL 算法應(yīng)用于修復(fù)徑向模糊;文獻(xiàn)［17］也在相關(guān)方面進(jìn)行研究，獲得較好的復(fù)原效果。

盡管以上算法在對特定類型的圖像復(fù)原中獲得了一定效果，但在實(shí)測高速航拍圖像中由于圖像退化方式復(fù)雜，其模糊形式不同于傳統(tǒng)模糊類型，因此單一的模糊核函數(shù)不能達(dá)到預(yù)期的復(fù)原效果。

針對這個(gè)問題，本文試圖通過對聯(lián)合模糊形成的原理進(jìn)行分析，建立聯(lián)合模糊核函數(shù)的物理模型;在此基礎(chǔ)上對聯(lián)合模糊圖像的模糊特性進(jìn)行研究，針對圖像不同部分模糊特性的差異，提出通過建立子圖像的方式對抖動模糊核函數(shù)進(jìn)行估計(jì);在RL-TV 算法基礎(chǔ)上通過逐次拉伸模糊核作為遞推初值，對子圖像區(qū)域的遞推估計(jì)最終完成對聯(lián)合模糊圖像的復(fù)原。

1 聯(lián)合模糊圖像的物理建模

設(shè)含噪模糊圖像的基本模型為

式中:g 為觀測圖像函數(shù);H 為模糊核函數(shù);f 為真實(shí)目標(biāo)圖像函數(shù);n 為零均值白噪聲。對真實(shí)圖像的復(fù)原可以看作一個(gè)反卷積問題，即通過觀測圖像g 和模糊核函數(shù)H 對真實(shí)圖像f 進(jìn)行估計(jì)。

首先對徑向模糊圖像模型進(jìn)行如下基本假設(shè)。

假設(shè)1 光電載荷平臺沿直線做勻速運(yùn)動，其速度為v，載荷曝光時(shí)間為T，載荷視角為φmax=2θ，視距為S。

假設(shè)2 光電載荷振動范圍為以rmax為半徑的球形區(qū)域，且在任一時(shí)刻t 抖動向量的狀態(tài)僅與前一時(shí)刻相關(guān)。

假設(shè)3 光電載荷振動不產(chǎn)生圖像原點(diǎn)漂移現(xiàn)象。

基于以上假設(shè)，將聯(lián)合模糊物理模型劃分為運(yùn)動直線平面yoz 和成像平面xoy 分別進(jìn)行討論。

如圖1 所示，運(yùn)動直線平面內(nèi)載荷沿z 軸向點(diǎn)o 運(yùn)動，速度為v，在單位時(shí)間Δt(Δt∈T)內(nèi)載荷沿直線運(yùn)動距離為ΔS=vΔt+Δloz(t)，其中，Δloz(t)表示振動向量在z 軸上的投影。由于在目標(biāo)運(yùn)動路徑上振動距離遠(yuǎn)小于載荷運(yùn)動距離，故Δloz(t)忽略不計(jì)。將運(yùn)動距離記為ΔS≈vΔt，則實(shí)際收縮距離為

圖1 運(yùn)動平面幾何關(guān)系Fig．1 Geometry relationship of motion plane

成像平面中徑向模糊路徑為向量AB，如圖2a 所示，其積分表達(dá)式為t

式中:φ 表示運(yùn)動平面中的視角;s=(vΔt·L)/S，為一個(gè)中間標(biāo)記，表示向量。

式中，φAB，φBC，φAC分別表示向量與x 軸 的夾角。

圖2 成像平面徑向路徑與混合模糊路徑對比Fig．2 Radial path and hybrid fuzzy path in target plane

記直角坐標(biāo)系向極坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換函數(shù)為Fcp，極坐標(biāo)系向直角坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換函數(shù)為Fpc。極坐標(biāo)系下真實(shí)圖像和觀測圖像分別記為Pg= Fcp(g)，Pf= Fcp(f)，式(4)在極坐標(biāo)下可等效為

設(shè)徑向模糊路徑與聯(lián)合模糊路徑間的變換函數(shù)為Frh，則式(6)可表示為

聯(lián)合模糊路徑受到抖動模糊核函數(shù)及對應(yīng)的徑向距離共同影響，依據(jù)式(6)對曝光時(shí)間T 內(nèi)的聯(lián)合模糊路徑進(jìn)行仿真，如圖3 所示。圖中，虛線為單純徑向模糊路徑，實(shí)線為對應(yīng)的聯(lián)合模糊路徑。

圖3 抖動模糊核與聯(lián)合積分路徑Fig．3 Shake blur kernel and hybrid fuzzy path

由已知的抖動模糊核函數(shù)可求得聯(lián)合模糊路徑在不同徑向距離上的聯(lián)合模糊路徑。由圖3 可以看出，聯(lián)合模糊路徑隨徑向距離變化發(fā)生改變，聯(lián)合模糊核函數(shù)與抖動模糊核函數(shù)相似率與徑向距離成反比，當(dāng)徑向距離為0 時(shí)，聯(lián)合模糊路徑與純抖動模糊相同。

2 聯(lián)合模糊圖像的復(fù)原策略

2．1 復(fù)原方式分析

由上節(jié)分析可知，聯(lián)合模糊函數(shù)可由近似抖動模糊函數(shù)及其與徑向距離間的變換函數(shù)計(jì)算得出，其中，徑向距離可通過已知參數(shù)計(jì)算獲得，因此，對圖像進(jìn)行復(fù)原的關(guān)鍵在于獲取獨(dú)立抖動模糊函數(shù)并模擬聯(lián)合模糊核函數(shù)中抖動模糊核與徑向距離的關(guān)系模型。

由圖1 及分析可得，當(dāng)觀測角φ 逐漸減小，徑向距離也隨之縮短，當(dāng)φ=0 時(shí)徑向距離為0，即聯(lián)合模糊核函數(shù)等同于抖動模糊核函數(shù)。在曝光時(shí)間T 內(nèi)當(dāng)抖動模糊距離與徑向模糊距離之比大于常數(shù)rsub/ΔL =ω 時(shí)(其中，rsub表示子圖像的半徑，通常ω≤1)，存在徑向模糊相對于抖動模糊不起主要作用的區(qū)域，如圖4 所示。故可以rsub為半徑建立子圖像，近似估計(jì)抖動模糊核函數(shù)H。

圖4 基本子圖像區(qū)域Fig．4 Basic subimage

在獲得近似抖動模糊核函數(shù)后，需要建立聯(lián)合模糊核函數(shù)中抖動模糊核與徑向距離的關(guān)系，由于關(guān)系函數(shù)難以求解，因此本文采用一種簡易方法進(jìn)行處理。分析抖動模糊核函數(shù)在徑向方向上拉伸所產(chǎn)生的結(jié)構(gòu)變化，如圖5 所示。

圖5 模糊核拉伸效果圖Fig．5 Stretch the hybrid fuzzy path

圖5 分別將兩組徑向距離較小的聯(lián)合模糊路徑(分別為最大徑向距離的90%，50%)進(jìn)行拉伸以模擬最大徑向距離下的聯(lián)合模糊路徑?？梢钥闯?，徑向距離變化幅度為10%時(shí)，拉伸后聯(lián)合模糊路徑與實(shí)際路徑不存在結(jié)構(gòu)性差異;當(dāng)徑向距離變化幅度為50%時(shí)，拉伸后的聯(lián)合模糊路徑與實(shí)際聯(lián)合模糊路徑明顯不同。因此，在徑向距離相近時(shí)(本文中定義為10%)，聯(lián)合模糊路徑能夠通過鄰近徑向距離下的聯(lián)合模糊路徑的拉伸進(jìn)行估計(jì)，即通過對相近徑向距離下的模糊核函數(shù)進(jìn)行拉伸，將拉伸后的核函數(shù)作為迭代初值對實(shí)際該層模糊核函數(shù)進(jìn)行估計(jì)，同時(shí)完成對不同徑向距離對應(yīng)子圖像的修復(fù)。因此本文采取逐次擴(kuò)大去模糊范圍，通過遞推的方法順序估計(jì)模糊核函數(shù)，以達(dá)成對聯(lián)合模糊圖像的復(fù)原。其遞推過程如圖6 所示。

圖6 算法遞推關(guān)系Fig．6 Schematic recurrence relations of algorithm

迭代由基本子圖像sub0開始，通過初始模糊核函數(shù)H0得出相應(yīng)的近似聯(lián)合模糊核函數(shù)H1，通過對子圖像中對應(yīng)模糊核函數(shù)拉伸，以近似估計(jì)徑向距離擴(kuò)展后的子圖像sub1中的聯(lián)合模糊核函數(shù)，并通過迭代復(fù)原子圖像sub1，以此類推，當(dāng)最大徑向距離足夠大時(shí)，子圖像subk即為原模糊圖像。

2．2 抖動模糊核函數(shù)求解

基本子圖像sub0與模糊核函數(shù)已知條件下，對選定區(qū)域圖像的復(fù)原通常采用RL-TV 算法，下面對算法進(jìn)行簡述。

通過反卷積方式進(jìn)行圖像去模糊運(yùn)算通用的算法是RL 算法，RL 算法以貝葉斯估計(jì)為基礎(chǔ)，其遞推公式為式中:k 為RL 算法的迭代次數(shù);* 表示卷積運(yùn)算;?表示相關(guān)運(yùn)算符。由于模糊函數(shù)通常為隨機(jī)模型(如高斯函數(shù)等)，為了使模糊函數(shù)更接近實(shí)際問題，通常需要同時(shí)對模糊函數(shù)進(jìn)行迭代，即RL-IBD 模型，其迭代公式為

式中:i，j 均為內(nèi)循環(huán)迭代次數(shù);k 為RL 算法的外循環(huán)迭代次數(shù)。在存在噪聲的圖像中還應(yīng)加入正則化項(xiàng)，正則化方式主要應(yīng)用于圖像去噪問題。目前常用的正則化算法有全變分(TV)正則化RL 算法以及基于非局部均值思想的TV/NL 正則化RL 算法，通過在基本RL算法中加入正則化項(xiàng)來保護(hù)圖像邊緣防止出現(xiàn)過度平滑。由于載荷高速移動所產(chǎn)生的徑向模糊不具備移不變性質(zhì)，因此本文采用基本TV 正則化RL 算法進(jìn)行處理，其基于梯度的乘性迭代公式為

式中:λ 為正則化參數(shù)，通常由經(jīng)驗(yàn)給定;div，▽分別表示散度和梯度運(yùn)算。

2．3 聯(lián)合模糊核函數(shù)

在獲得近似抖動模糊核函數(shù)后，對聯(lián)合模糊核函數(shù)依據(jù)圖6 算法迭代關(guān)系進(jìn)行迭代求解，在全局圖像中采用式(9)將其中抖動模糊核函數(shù)替換為聯(lián)合模糊核函數(shù)，并進(jìn)行極坐標(biāo)下的迭代計(jì)算，即

式中:fsub，gsub分別表示子區(qū)域估計(jì)圖像與真實(shí)圖像;m為子圖像序號;Hk=H0* Frh，k，i+1為第k 步聯(lián)合模糊核函數(shù)，其中，H0表示由最初子區(qū)域推導(dǎo)的模糊核函數(shù)，F(xiàn)rh，k，i+1表示對應(yīng)的變換矩陣。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

實(shí)驗(yàn)環(huán)境為Matlab2008a，Dual-Core CPU，內(nèi)存4 GByte。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為Lena，設(shè)定試驗(yàn)參數(shù)

3．1 聯(lián)合模糊圖像構(gòu)造與分析

首先依據(jù)1 節(jié)建立的物理模型，采用參數(shù)為0．8的高斯隨機(jī)數(shù)建立模擬抖動模糊，結(jié)合徑向距離及方向，構(gòu)造徑向/抖動聯(lián)合模糊核函數(shù)對原圖像進(jìn)行聯(lián)合模糊。將聯(lián)合模糊圖像與抖動模糊、徑向模糊、疊加模糊及原始圖像進(jìn)行比較，如圖7 所示。

圖7 源圖像與模糊圖像Fig．7 Source image and blurred images

對比圖7b、圖7f，聯(lián)合模糊作為一種組合模糊形式與抖動模糊相比模糊程度隨半徑變化;對比圖7c、圖7f，聯(lián)合模糊圖像與徑向模糊相比圖像全局均存在模糊，且模糊路徑指向性程度下降;對比圖7d ～圖7f，先徑向模糊，徑向-抖動模糊圖像與抖動-徑向模糊圖像盡管在模糊變化規(guī)律上與聯(lián)合模糊圖像相似，都具有徑向程度由邊緣向中央的遞減特性，但在模糊路徑上圖7d、圖7e 更接近于徑向模糊。因此，聯(lián)合模糊不能看作是兩種獨(dú)立模糊形式的簡單疊加。

3．2 聯(lián)合模糊圖像復(fù)原結(jié)果與分析

對3．1 節(jié)構(gòu)造的聯(lián)合模糊圖像分別采用RL-TV 算法，去徑向模糊算法，交替使用去徑向與RL-IBD 算法，以及本文算法(本文算法復(fù)雜度與文獻(xiàn)［5］中RL-IBD算法相同)進(jìn)行去模糊實(shí)驗(yàn)，如圖8 所示，實(shí)驗(yàn)中模糊核函數(shù)參數(shù)均以構(gòu)造參數(shù)存在5%誤差方式進(jìn)行。對實(shí)驗(yàn)結(jié)果采用峰值信噪比(PSNR)和平均結(jié)構(gòu)相似度(MSSIM)兩種評價(jià)指標(biāo)進(jìn)行評價(jià)，如表1 所示。

圖8 仿真圖像復(fù)原結(jié)果對比Fig．8 Results for different method in simulation image

結(jié)合圖8 與表1(模糊系數(shù)0．3 部分)中實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，圖8a 針對移不變模糊的盲復(fù)原算法對聯(lián)合模糊中心區(qū)域復(fù)原效果較好，但無法明顯消除圖像中徑向效應(yīng)，在復(fù)原過程中使局部區(qū)域產(chǎn)生了特殊的紋理效果，對全局則無法有效處理，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)相似性與原始圖像差異較大;直接采用徑向復(fù)原算法時(shí)，由于將抖動模糊所產(chǎn)生的像移直接復(fù)原進(jìn)入對應(yīng)像素造成大量誤差疊加，因而無法達(dá)到復(fù)原效果，加重了模糊形式，如圖8b所示;由式(7)可知，聯(lián)合模糊圖像模糊核函數(shù)由兩組單一的模糊核函數(shù)共同構(gòu)成，在此基礎(chǔ)上采用兩種去模糊方式次序進(jìn)行復(fù)原，其結(jié)果如圖8c 所示，可以看出:兩種去模糊方式交替進(jìn)行，盡管具有兩種方式的優(yōu)勢，但由于單次復(fù)原中存在較大誤差，疊加復(fù)原方式無法抵消誤差，因此順序復(fù)原結(jié)果無法有效降低模糊程度，且由于模糊核本身存在誤差，因此所恢復(fù)的圖像中可能產(chǎn)生了新的模糊。由圖8d 結(jié)合表1 數(shù)據(jù)可以看出，復(fù)原圖像受到模糊核多次估計(jì)的影響，使得復(fù)原過程中存在一定的誤差疊加，相較交替復(fù)原方式存在明顯的響鈴現(xiàn)象，但能夠基本恢復(fù)圖像輪廓，提高圖像的清晰程度，同時(shí)保留圖像細(xì)節(jié)信息，從MSSIM 評價(jià)指標(biāo)上也較其他算法有明顯提升，PSNR 指標(biāo)上也有小幅提升。

表1 圖像復(fù)原結(jié)果比較Table 1 Results for different method

由表1 可以看出，聯(lián)合模糊圖像的復(fù)原效率與徑向距離存在直接聯(lián)系。當(dāng)徑向距離較短時(shí)，移不變模糊受到徑向效應(yīng)影響較小;當(dāng)徑向距離為0 時(shí)，聯(lián)合模糊等同于移不變模糊。因此，本文算法復(fù)原效果提升幅度與徑向距離成反比，當(dāng)徑向距離為0 時(shí)，復(fù)原效果等同于移不變復(fù)原方式，隨徑向距離增大，本文算法優(yōu)于其他復(fù)原算法。

最后針對實(shí)測圖像分別采用單純徑向復(fù)原算法、順序復(fù)原算法及本文算法進(jìn)行復(fù)原，并對實(shí)測結(jié)果的細(xì)節(jié)部分進(jìn)行了放大對比，結(jié)果如圖9 所示。

圖9 實(shí)測圖像復(fù)原結(jié)果對比Fig．9 Results of different method in real image

與仿真圖像類似，單純徑向復(fù)原與順序復(fù)原算法均無法達(dá)到合適的復(fù)原效果，其中，徑向復(fù)原忽略了細(xì)節(jié)區(qū)域1 中的小目標(biāo)，而順序復(fù)原算法則造成了如細(xì)節(jié)區(qū)域2 中的邊界模糊。由圖9 中可以看出，本文算法在核心區(qū)域中復(fù)原效果優(yōu)于對比算法。

4 結(jié)論

1)聯(lián)合模糊核函數(shù)由單純抖動模糊核函數(shù)與徑向模糊函數(shù)共同構(gòu)成，表示為對抖動向量與徑向向量之和在徑向距離上的積分。

2)聯(lián)合模糊圖像徑向模糊現(xiàn)象由邊緣向中心逐級減弱，圖像中心僅存在抖動模糊效應(yīng)。

3)由圖像中心子圖像計(jì)算初始模糊核函數(shù)，通過初始模糊核函數(shù)的拉伸基于RL-TV 遞推計(jì)算對全局圖像逐級復(fù)原，其復(fù)原效果在RSNP 及MSSIM 兩項(xiàng)屬性上優(yōu)于順序復(fù)原等復(fù)原手段。

4)模糊核函數(shù)逐級拉伸與聯(lián)合模糊路徑在不同方向上的差異共同導(dǎo)致在復(fù)原過程中的誤差疊加，這使得聯(lián)合模糊圖像復(fù)原效率與最大徑向模糊距離成反比。

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