解析函數(shù)的物理意義及其應(yīng)用

瑛 瑛

（呼倫貝爾學(xué)院 數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院，內(nèi)蒙古 海拉爾 021008）

解析函數(shù)是復(fù)變函數(shù)論研究的主要對(duì)象，因此，復(fù)變函數(shù)論又稱為解析函數(shù)論.解析函數(shù)不僅具有多種性質(zhì)，也有著廣泛的應(yīng)用.但很多教材中，尤其物理、電信等專業(yè)的《復(fù)變函數(shù)與積分變換》教材中很少涉及到解析函數(shù)的物理意義及應(yīng)用.本文簡(jiǎn)明地介紹了解析函數(shù)的物理意義，并例舉了典型的應(yīng)用例子，從而使解析函數(shù)的概念從抽象到具體，更容易讓學(xué)生理解.

1 復(fù)變函數(shù)的物理意義

物理學(xué)上有很多不同的穩(wěn)定平面場(chǎng)，所謂場(chǎng)就是每點(diǎn)對(duì)應(yīng)有物理量的一個(gè)區(qū)域，可用一個(gè)復(fù)變函數(shù)表示.

例1 平面向量場(chǎng)的復(fù)變函數(shù)表示.

分析：如果一個(gè)向量場(chǎng)E為平面場(chǎng)，則E上所有的向量都平行與某一個(gè)平面S.這樣，向量場(chǎng)E就可以用平面S上的向量場(chǎng)來(lái)表示.在平面S上采用向量的復(fù)數(shù)記法，那么向量場(chǎng)E就唯一地確定一個(gè)復(fù)變函數(shù)

這里，Ex，Ey分別表示向量場(chǎng)E在x軸和y軸上的兩個(gè)分量.反之，已知某一個(gè)復(fù)變函數(shù)w=u(x,y)+iv(x,y)，由此也可以作出一個(gè)對(duì)應(yīng)的平面向量場(chǎng)

2 解析函數(shù)的物理意義

一個(gè)無(wú)源無(wú)旋的平面向量場(chǎng)可用一個(gè)解析函數(shù)表示，則這個(gè)解析函數(shù)是該平面向量場(chǎng)的復(fù)勢(shì)函數(shù).

例2 平面靜電場(chǎng)用解析函數(shù)表示.

分析：選取一個(gè)有代表性的平面作為z平面，設(shè)D是電場(chǎng)中的一個(gè)單連通區(qū)域，如果D內(nèi)每一點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度f(wàn)(z)=u(x,y)+iv(x,y)，由場(chǎng)論知識(shí)，有

由式（1）可知，-vdx+udy是某一個(gè)二元函數(shù)ψ(x,y)的全微分，即有

ψ(x,y)稱為電場(chǎng)的力函數(shù)，其等值線ψ(x,y)=c稱為電力線.

由（2）可知，存在函數(shù) φ(x,y)，使得

φ(x,y)稱為電場(chǎng)的勢(shì)函數(shù)，其等值線φ(x,y)=c稱為等勢(shì)線.

由（2）和（3）得到偏微分方程組

以上方程是C-R方程，因此得到一個(gè)解析函數(shù)

該函數(shù)稱為靜電場(chǎng)的復(fù)勢(shì)函數(shù).顯然，f的復(fù)勢(shì)不是唯一確定的，可以相差一個(gè)常數(shù).

類似地，對(duì)任一既無(wú)源又無(wú)旋的平面向量場(chǎng)總可以構(gòu)造一個(gè)解析函數(shù)，即復(fù)勢(shì)與之對(duì)應(yīng).流體力學(xué)中無(wú)旋流動(dòng)的研究中也經(jīng)常用到解析函數(shù)，利用復(fù)勢(shì)來(lái)刻畫(huà)流動(dòng)比用復(fù)速度方便，因?yàn)橛蓮?fù)勢(shì)求復(fù)速度只用到求導(dǎo)數(shù)，反之則要用積分.另一方面，由復(fù)勢(shì)容易求流線和勢(shì)線，這樣可以了解流動(dòng)的情況.

例3 已知平面流速場(chǎng)的復(fù)勢(shì)f(z)為(z+i)2，求流動(dòng)的速度以及流線和等勢(shì)線方程.

故該流體流動(dòng)的水平及垂直分速分別為2x,2(y+1).

綜上所述，解析函數(shù)具有明確的物理意義和廣泛的應(yīng)用背景.在復(fù)變函數(shù)論的課堂教學(xué)中，把解析函數(shù)及其他的一些概念和定理等的物理意義及應(yīng)用作以介紹，對(duì)提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣及培養(yǎng)他們理論聯(lián)系實(shí)際的能力有很大的幫助.

〔1〕鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)論[M].高等教育出版社,2004.

〔2〕華中科技大學(xué)數(shù)學(xué)系,復(fù)變函數(shù)與積分變換(第三版)[M].高等教育出版社，2008.

〔3〕余家榮.復(fù)變函數(shù)[M].高等教育出版社,2005.

〔4〕張金鋒,等.解析函數(shù)在平面靜電場(chǎng)中的應(yīng)用性研究[J].吉林師范大學(xué)學(xué)報(bào) 2013（2）：84-86.