例談不完全歸納法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

浙江三門縣海游鎮(zhèn)中心小學(xué)（317199） 許紹國

課堂轉(zhuǎn)型最為核心的一句話就是“以學(xué)生的學(xué)習(xí)為中心來組織教學(xué)”，做到讓學(xué)生有足夠的時間和空間經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等活動過程。因此，教師對不完全歸納法的整個推理過程（如素材積累、歸納的方法、特例分析、結(jié)論形成等）都要認(rèn)真研究，做到貼近學(xué)生、引發(fā)學(xué)生思考和提升學(xué)生的思維能力。理想的課堂教學(xué)應(yīng)該是這樣的：圍繞著某個需探討的主題，讓學(xué)生列舉熟悉的例子；通過一般性規(guī)律的揭示，從中得出一個普遍性的結(jié)論；然后通過對特例的分析和解釋，充實(shí)和完善結(jié)論；最后由教師引導(dǎo)，在思維上做一定的拓展，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。

本文將結(jié)合小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的具體實(shí)例，就如何用好不完全歸納法，促進(jìn)課堂向“以學(xué)定教、以生為本”轉(zhuǎn)型抒一己之見，與各位同行商榷。

一、積累豐富素材，經(jīng)歷活動過程

不完全歸納法是從幾個特殊情況歸納推斷出一般性的結(jié)論，這里面“特殊情況”的數(shù)量要保證。盡管都是以偏概全，在條件允許的情況下，例子越多，學(xué)生的感受會越充分，對結(jié)論的接受程度也就越高。例子的來源，有教師提供的和學(xué)生生成的。相比較而言，學(xué)生生成的例子更能反映他們的知識基礎(chǔ)，利于教師“以學(xué)定教”。

例如，教學(xué)“小數(shù)的性質(zhì)”一課，教師把書本第58頁的“做一做”（如下圖）當(dāng)作例題來進(jìn)行教學(xué)。

在學(xué)生發(fā)現(xiàn)0．3＝0．30后，教師引導(dǎo)學(xué)生從左右兩個方向進(jìn)行觀察，得出“小數(shù)的末尾添上0或去掉0，小數(shù)的大小不變”的結(jié)論，并指出這就是“小數(shù)的性質(zhì)”，然后進(jìn)入練習(xí)環(huán)節(jié)。這樣教學(xué)，學(xué)生看似掌握得很扎實(shí)，練習(xí)的正確率也很高，但是在問學(xué)生“為什么0．080這個數(shù)中十分位上的0可以去掉，而千分位上的0不能去掉”時，整個班級學(xué)生的思維都卡殼了。從這里發(fā)現(xiàn)，學(xué)生只能在小數(shù)性質(zhì)的描述上做文字游戲，而不能從計(jì)數(shù)單位的角度進(jìn)行解釋。

面對這種情況，是指責(zé)學(xué)生的學(xué)習(xí)，還是應(yīng)該反思教師的教學(xué)？我覺得，這首先是教師對素材的選擇和處理不夠恰當(dāng)，提供給學(xué)生的素材太少，使得學(xué)生未能充分感知就匆忙總結(jié)，影響了課堂教學(xué)效果。比較例1（如下圖）和“做一做”，發(fā)現(xiàn)例1有以下一些優(yōu)勢：（1）學(xué)生比較熟悉，對長度單位之間的聯(lián)系也比較清楚；（2）在解釋“為什么小數(shù)末尾添上0或去掉0，小數(shù)大小不變”時，學(xué)生能夠聯(lián)系具體的長度單位進(jìn)行解釋，容易理解是由于計(jì)數(shù)單位不同的原因；（3）例題呈現(xiàn)的是0．1米，教師可以拓展到0．2米、0．3米、0.4米……豐富學(xué)生的感知。

像這樣，選用指向性明確、題材豐富、過程和結(jié)果較開放的素材，讓學(xué)生在觀察多個（一般不應(yīng)該少于3個）例子的基礎(chǔ)上，有了比較充分的感受之后再形成猜想，然后讓學(xué)生自己舉例驗(yàn)證猜想，最后得出結(jié)論。這樣教學(xué)，學(xué)生經(jīng)歷了觀察、猜想、驗(yàn)證、總結(jié)的過程，使學(xué)生能夠在學(xué)習(xí)之后形成相對的思維模式，掌握思考問題的方法，這對學(xué)生的成長尤為重要。

二、探尋歸納方法，發(fā)現(xiàn)內(nèi)在規(guī)律

有效的數(shù)學(xué)教學(xué)活動是教師教與學(xué)生學(xué)的統(tǒng)一。在不完全歸納推理中，歸納的方法很重要。而在課堂教學(xué)中，常會出現(xiàn)這樣一個現(xiàn)象：素材開放后，例子和結(jié)論之間的聯(lián)系可能不是非常明顯，或者是多線性的，從而增加了學(xué)生學(xué)習(xí)的難度。這就需要教師對知識的形成和演變過程具有清晰的認(rèn)識，并具有高超的調(diào)控課堂教學(xué)的能力，帶領(lǐng)學(xué)生對眾多數(shù)據(jù)進(jìn)行有序排列，尋找其中內(nèi)在的規(guī)律。

例如，教學(xué)“長方形、正方形周長”一課時，教師先讓學(xué)生自由地畫長方形（邊長是整厘米數(shù)），然后用多種方法算出周長。可以想象，一個班級的學(xué)生所能得出的算式是非常多的，怎樣把這些海量的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，歸納得出長方形周長的計(jì)算方法呢？我進(jìn)行了如下的嘗試教學(xué)。

1．學(xué)生匯報(bào)。

學(xué)生在投影儀上先介紹“我的長方形長是……寬是……”，然后邊指圖形邊講算式，最后匯報(bào)：我是用“長＋寬＋長＋寬”（或其他）的方法計(jì)算出長方形周長的。

2．師把學(xué)生的算式歸類板書（略）。

3．引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：雖然長和寬的數(shù)據(jù)不同，但是方法都一樣，一共有四種，即長＋長＋寬＋寬、長×2＋寬×2、長＋寬＋長＋寬、（長＋寬）×2。

4．歸納：第一種和第二種方法、第三種和第四種方法其實(shí)只是計(jì)算方法不同，思路是一樣的；第二種和第四種方法只是計(jì)算過程不同，其核心內(nèi)容是一樣的，都是根據(jù)長方形周長的定義求出長方形四條邊的總和。

這樣進(jìn)行教學(xué)，從學(xué)生的已有知識經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，借助充分的例子，讓學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)、總結(jié)方法，充分體現(xiàn)了課堂生成的動態(tài)化，使教學(xué)自然水到渠成。

三、進(jìn)行全面分析，引發(fā)積極思辨

在不完全歸納法的推理中，一個反例就可以推翻結(jié)論。學(xué)習(xí)過程中難免會遇到一些特例，對特例處置不當(dāng)，很容易使學(xué)生思維混亂，影響教學(xué)效果。有的教師擔(dān)心不能很好地調(diào)控課堂，故意設(shè)置條件或“陷阱”，引導(dǎo)學(xué)生往自己設(shè)定的道路前行，雖然也能很好地完成知識的教學(xué)，但是違背了學(xué)生自主學(xué)習(xí)的原則，不利于學(xué)生學(xué)法的形成和思維品質(zhì)的培養(yǎng)。因此，課堂上教師不要害怕學(xué)生有爭議，相反，對特例進(jìn)行廣泛的爭論，能讓學(xué)生在爭論中明辨是非，促進(jìn)學(xué)生對知識的理解和掌握。

例如，教學(xué)“三角形三邊之間的關(guān)系”一課時，教師可讓學(xué)生從幾組例子中歸納出三角形的三邊關(guān)系。學(xué)生對兩邊之和大于（或小于）第三邊的情況能不能圍成三角形不會有異議，但對兩邊之和正好等于第三邊的情況卻引發(fā)爭論。怎么處理這個問題呢？直接告訴學(xué)生這樣是圍不成三角形的，不僅教學(xué)流程會比較順暢，而且會給學(xué)生留出更多的練習(xí)時間。所以，我在教學(xué)中遇到這個情況時，充分相信學(xué)生，讓學(xué)生自己操作、分析、質(zhì)疑、爭論、歸納。教學(xué)過程如下：

師：同學(xué)們對4㎝、6㎝、10㎝這三根小棒能不能圍成三角形有爭論，下面請各組都到投影儀上進(jìn)行操作。（生上臺操作）

師：操作過后，還有個別學(xué)生不服氣，認(rèn)為4㎝和6㎝兩根小棒連起來后和10㎝的小棒之間仍然有微小的空隙，所以覺得這三根小棒圍不成三角形。我認(rèn)為同學(xué)們的心里還是有困惑的。那么，讓我們靜靜地思考：這是不是一個三角形？它是怎么產(chǎn)生的呢？誰能夠來說明？（學(xué)生思考約半分鐘）

生1：我認(rèn)為是因?yàn)樾“籼至?，所以邊上（指小棒頂端）會碰在一起?/p>

生2：4cm和 6cm的兩根小棒連起來后剛好是10cm，和10cm長的小棒放在一起，應(yīng)該是重疊在一起的。（師演示）

生3：如果小棒都很細(xì)很細(xì)，就不會碰在一起了。

師：下面，讓我們通過電腦來進(jìn)行精密的演示。（學(xué)生在觀看電腦演示后都認(rèn)可了“兩邊之和不能等于第三邊”的結(jié)論，剛才有疑問的學(xué)生也點(diǎn)頭稱是）

師（總結(jié)）：所以，我們能得出三角形三邊之間的關(guān)系了嗎？

生（齊答）：兩條邊的和一定要大于第三邊。

……

通過對特例的詳盡分析，學(xué)生消除了原先錯誤的認(rèn)識，加深了對三角形三邊關(guān)系的正確理解。這樣教學(xué)，使學(xué)生的思考突破了不完全歸納法的局限，把一般的共性的歸納拓展到理性分析的層次，不僅幫助學(xué)生理解了所學(xué)的知識，而且促使學(xué)生積極思維。

四、重視結(jié)論形成，鍛煉思維品質(zhì)

不完全歸納法是指根據(jù)對某類事物中部分對象的考察，概括出關(guān)于該類事物全部對象的一般性結(jié)論的一種歸納推理，其歸納過程是不夠嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，得到的結(jié)論也并非一定正確。因此，我們要重視結(jié)論的形成。課堂教學(xué)中，教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生的年齡特征、思維能力和知識基礎(chǔ)，在不完全歸納推理的基礎(chǔ)上，適時進(jìn)行演繹推理等理論論證，這對學(xué)生加強(qiáng)知識的理解和掌握、提高推理能力和邏輯思維能力是很有好處的。

例如，教學(xué)“三角形的內(nèi)角和”一課，計(jì)算三角形內(nèi)角和時，學(xué)生一般會用測量、剪拼、折疊等方法，從而導(dǎo)致操作出現(xiàn)誤差，得出的結(jié)論往往是三角形三個內(nèi)角的和大約等于180°。怎么辦呢？教師如果人為地強(qiáng)調(diào)三角形的內(nèi)角和就是180°，恐怕不能使學(xué)生信服。這時，如果能夠加以論證說明，將會收到很好的教學(xué)效果。教師可根據(jù)“兩個完全相同的直角三角形能夠拼成一個長方形”的知識基礎(chǔ)進(jìn)行教學(xué)：“通過剛才的操作，大家得出一個初步的結(jié)論——三角形三個內(nèi)角的和大約等于180°，但大家對此有爭論。有的同學(xué)認(rèn)為操作中有誤差，三角形三個內(nèi)角的和應(yīng)該等于180°；有的同學(xué)認(rèn)為三角形有這么多種類型，不可能內(nèi)角和都剛好等于180°。到底哪種意見是正確的呢？我們知道，兩個完全相同的直角三角形能夠拼成一個長方形，那能不能根據(jù)這個知識來說明三角形的內(nèi)角和是多少呢？”學(xué)生在觀察討論后得出：由于長方形的四個角都是直角，內(nèi)角和是360°，所以直角三角形的內(nèi)角和一定是180°。然后教師出示銳角三角形和鈍角三角形，提問：“這兩種三角形能不能轉(zhuǎn)化為直角三角形呢？”學(xué)生思考后得出：把這兩種三角形沿高剪開后就得到兩個直角三角形（如右圖），由于直角三角形的內(nèi)角和是180°，所以這兩種三角形的內(nèi)角和都是180°×2－90°×2＝180°。這樣教學(xué)，如撥云見日，使學(xué)生柳暗花明，有效地提高了學(xué)生的思維品質(zhì)。

要在“以學(xué)定教”的理念下用好不完全歸納法，教師要突顯“以生為本”的教育思想，創(chuàng)造性地使用教材，為學(xué)生提供豐富的學(xué)習(xí)素材，使學(xué)生經(jīng)歷探究的過程，歸納總結(jié)出結(jié)論。同時，教師要引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維進(jìn)行推理和建構(gòu)，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成為學(xué)生對數(shù)學(xué)的認(rèn)識和體驗(yàn)的過程?？傊?，教師要用好不完全歸納法，把學(xué)習(xí)的主動權(quán)交還給學(xué)生，使課堂教學(xué)精彩紛呈。