遺傳算法的收斂性研究

汪民樂(lè)

摘 要：遺傳算法的收斂性分析是遺傳算法研究中的重要問(wèn)題，直接關(guān)系到遺傳算法的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。給出遺傳算法全局收斂性的定義，描述當(dāng)前遺傳算法收斂性分析的主要模型，對(duì)自適應(yīng)遺傳算法、并行遺傳算法、小生境遺傳算法等典型遺傳算法的收斂性進(jìn)行分析，給出相關(guān)的研究結(jié)果，并指出遺傳算法收斂性研究的未來(lái)發(fā)展方向。研究結(jié)果對(duì)提高遺傳算法收斂性具有參考價(jià)值。

關(guān)鍵詞：遺傳算法；全局收斂性；自適應(yīng)遺傳算法；并行遺傳算法；小生境遺傳算法

中圖分類號(hào)：TP18 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

Abstract：The convergence analysis is an important problem in research on Genetic Algorithm. In this paper， the new definition of Genetic Algorithms convergence was given，the main models for Genetic Algorithms convergence were described， and the typical Genetic Algorithms convergence were analyzed， the conclusions were given. Finally，the future efforts were put forward. The results can offer support for improving Genetic Algorithms convergence .

Key words：genetic algorithm；convergence；adaptive genetic algorithm；parallel genetic algorithm；niche genetic algorithm

1 引 言

作為一種普遍適用的隨機(jī)大范圍搜索策略，遺傳算法（Genetic Algorithm—GA）的收斂性研究[1-10]，是遺傳算法隨機(jī)搜索機(jī)理研究的核心內(nèi)容。建立公理化的收斂性理論體系，不但可以提高現(xiàn)有遺傳算法的收斂速度，克服陷于局部極值和出現(xiàn)過(guò)早收斂，同時(shí)可以探討判定當(dāng)前解是否達(dá)到最優(yōu)解的合理準(zhǔn)則，從而給出合理的停機(jī)準(zhǔn)則。因此，通過(guò)遺傳算法收斂性的研究，可為遺傳算法的發(fā)展提供堅(jiān)實(shí)可靠的理論依據(jù)及正確的方向。目前，關(guān)于遺傳算法的收斂性研究主要有兩種方法：一種是將種群數(shù)目推廣到無(wú)窮，研究其概率密度[11]；一種是以馬氏鏈理論作為工具研究有限種群收斂性[12]。由于GA實(shí)際應(yīng)用中，均只能構(gòu)造有限種群，故在此主要研究有限種群GA的全局收斂性。

2 遺傳算法收斂性研究的主要方法

遺傳算法的收斂性通常是指遺傳算法所生成的迭代種群收斂到某一穩(wěn)定狀態(tài)，或其適應(yīng)值函數(shù)的最大或平均值隨迭代趨于優(yōu)化問(wèn)題的最優(yōu)值。依據(jù)不同的研究方法及所用的數(shù)學(xué)工具，已有的遺傳算法收斂性研究方法可大致分為四類[13]：VoseLiepins模型、Markov模型、公理化模型和連續(xù)（積分算子）模型。

2.1 VoseLiepins 模型

這類模型大致可以分為兩種情形， 即針對(duì)無(wú)限種群和有限種群的模型。 首先由Vose 和Liepins在1991 年提出了針對(duì)無(wú)限種群的模型， 其核心思想是： 用兩個(gè)矩陣算子分別刻畫比例選擇與組合算子（即雜交算子與變異算子的復(fù)合）， 通過(guò)研究這兩個(gè)算子不動(dòng)點(diǎn)的存在性與穩(wěn)定性來(lái)刻畫GA 的漸近行為。VoseLiepins 模型在種群規(guī)模無(wú)限的假設(shè)下可精確刻畫GA ， 但在有限規(guī)模情形下卻只能描述GA 的平均性態(tài)。 為了克服這一缺陷， Nix 和Vose 在1992 年結(jié)合VoseLiepins 模型與Markov 鏈描述， 發(fā)展了GA 的一個(gè)精確Markov 鏈模型， 稱為NixVose 模型， 它針對(duì)的是有限種群的情形， 該模型恰好描述了GA 的實(shí)際演化過(guò)程， 但是由于NixVose 的有限種群模型概率轉(zhuǎn)移矩陣的復(fù)雜性， 故直接基于該模型分析GA 收斂性是困難的， 而VoseLiepins 的無(wú)限種群模型雖然只能描述實(shí)際GA 演化的平均性態(tài)， 但它卻精確預(yù)報(bào)了GA收斂性態(tài)隨種群規(guī)模的變化。

2.2 Markov 鏈模型

由于遺傳算法下一代種群的狀態(tài)通常完全依賴當(dāng)前種群信息， 而不依賴于以往狀態(tài)， 故可自然地用Markov鏈描述，這也是遺傳算法收斂性研究中最常采用的工具。這種方法一直被用于研究不同形式GA 的漸近行為， 并得出一些典型的結(jié)果， 如：用Markov 鏈描述其動(dòng)態(tài)行為；從更一般的等價(jià)類層次表述種群等。當(dāng)然， 還有很多其它的分析結(jié)果充分體現(xiàn)了使用Markov 鏈模型描述遺傳算法具有直接、精確的優(yōu)點(diǎn)， 但由于所采用有限狀態(tài)Markov鏈理論本身的限制， 該模型只能用于描述通常的二進(jìn)制編碼或特殊的非二進(jìn)制編碼GA。

2.3 公理化模型

這種模型既可用于分析時(shí)齊GA，又可用于分析非時(shí)齊GA。其核心思想是： 通過(guò)公理化描述GA的選擇算子與演化算子， 并利用所引進(jìn)的參量分析GA的收斂性。 對(duì)于常見(jiàn)的選擇算子與演化算子， 所引進(jìn)的參量能方便地確定， 因而這一模型具有重要的理論意義與應(yīng)用價(jià)值。該模型通過(guò)詳細(xì)估計(jì)常見(jiàn)選擇算子與演化算子的選擇壓力、選擇強(qiáng)度、保存率、 遷入率、遷出率等參數(shù)， 導(dǎo)出了一系列具有重要應(yīng)用價(jià)值的GA 收斂性結(jié)果。此外， 該模型也可用于非遺傳算法類的其它模擬演化算法的收斂性分析。

2.4 連續(xù)（積分算子）模型

大量數(shù)值試驗(yàn)表明：為了有效解決高維連續(xù)問(wèn)題和GA 實(shí)現(xiàn)中的效率與穩(wěn)健性問(wèn)題， 直接使用原問(wèn)題的浮點(diǎn)表示而不進(jìn)行編碼轉(zhuǎn)換具有許多優(yōu)點(diǎn)，由此形成的遺傳算法稱為連續(xù)變量遺傳算法或浮點(diǎn)數(shù)編碼遺傳算法。對(duì)于這類連續(xù)變量遺傳算法收斂性的分析方法，已有一些研究成果，如： 浮點(diǎn)數(shù)編碼模式定理，用以描述進(jìn)化過(guò)程中模式的變化規(guī)律，特別是優(yōu)良模式的產(chǎn)生及變化（保持或被破壞）規(guī)律，從而有助于分析連續(xù)變量遺傳算法的收斂性；通過(guò)研究大樣本行為， 分別導(dǎo)出了連續(xù)變量GA 在使用比例選擇、均勻雜交和變異以及三個(gè)遺傳算子聯(lián)合作用等情形下， 當(dāng)種群規(guī)模趨于無(wú)窮時(shí)， 種群的概率分布所對(duì)應(yīng)的密度函數(shù)應(yīng)滿足的遞歸公式，但該結(jié)果只是在種群規(guī)模趨于無(wú)窮的條件下得到的種群迭代序列分布的估計(jì)， 故只能看作是對(duì)GA 漸近行為的大樣本近似，并不能直接應(yīng)用于改進(jìn)一般GA 的實(shí)際執(zhí)行策略。

3 典型遺傳算法的收斂性

3.1 標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法（Canonical Genetic Algorithm—CGA）的全局收斂性

實(shí)數(shù)編碼遺傳算法的產(chǎn)生是遺傳算法研究的一大進(jìn)步，相關(guān)的理論與應(yīng)用成果不斷出現(xiàn)。實(shí)數(shù)編碼遺傳算法除了具有二進(jìn)制編碼遺傳算法的所有特點(diǎn)，如：簡(jiǎn)單、通用、魯棒性強(qiáng)、適于并行分布處理等之外，在算法的收斂性方面還有以下優(yōu)勢(shì)[16]：

1）直接使用實(shí)數(shù)作為染色體參與遺傳操作，無(wú)需特定的編碼與解碼過(guò)程，因此降低了算法實(shí)現(xiàn)的復(fù)雜度，提高了算法的執(zhí)行效率，尤其是當(dāng)處理大規(guī)模復(fù)雜問(wèn)題、高維數(shù)值優(yōu)化問(wèn)題或子目標(biāo)個(gè)數(shù)較多的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題時(shí)，實(shí)數(shù)編碼遺傳算法的效率更能得到體現(xiàn)。

2）用實(shí)數(shù)編碼可以消除二進(jìn)制編碼存在的海明懸崖（Hamming cliffs）問(wèn)題。

3）實(shí)數(shù)編碼遺傳算法中可以利用連續(xù)變量函數(shù)的漸變性（Graduality）。這里的“漸變性”是指變量值的微小變化所引起的對(duì)應(yīng)函數(shù)值的變化也是微小的，由于這一特點(diǎn)，使實(shí)數(shù)編碼遺傳算法具有較強(qiáng)的局部調(diào)節(jié)功能，例如實(shí)數(shù)編碼遺傳算法的非一致變異算子（Non uniform mutation）相比二進(jìn)制編碼遺傳算法的變異算子，能更好地實(shí)現(xiàn)種群的局部調(diào)節(jié)，從而更有利于逼近最優(yōu)解。

4）在染色體長(zhǎng)度一定的條件下，實(shí)數(shù)編碼遺傳算法具有比二進(jìn)制編碼遺傳算法更大的搜索空間，甚至是無(wú)窮搜索空間，而不會(huì)影響其搜索精度，但在二進(jìn)制編碼遺傳算法中，由于其本質(zhì)是將一切尋優(yōu)問(wèn)題均轉(zhuǎn)化為組合優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行離散尋優(yōu)，且由于染色體長(zhǎng)度的限制，二進(jìn)制染色體所能表達(dá)的個(gè)體數(shù)是有限的（等價(jià)于在問(wèn)題的解空間所能遍歷的點(diǎn)是有限個(gè)），如果擴(kuò)大搜索空間，個(gè)體間的距離將被拉大，導(dǎo)致種群空間里個(gè)體分布的稀疏性，從而降低搜索精度，不利于獲取全局最優(yōu)解，尤其對(duì)于欺騙問(wèn)題（Deceptive problem）更是如此。因此，實(shí)數(shù)編碼遺傳算法比二進(jìn)制編碼遺傳算法具有更好的全局收斂性。

5）對(duì)于具有非平凡約束條件的問(wèn)題，實(shí)數(shù)編碼遺傳算法更易吸取問(wèn)題域知識(shí)，指導(dǎo)種群朝正確的搜索方向進(jìn)化。

6）實(shí)數(shù)編碼遺傳算法繁殖新個(gè)體的方式更加靈活。對(duì)于二進(jìn)制編碼遺傳算法，由于編碼的限制，可供使用的交叉和變異算子的種類十分有限，而實(shí)數(shù)編碼遺傳算法可使用的交叉和變異算子則相對(duì)豐富，因而實(shí)數(shù)編碼遺傳算法在尋優(yōu)時(shí)能夠在解空間中進(jìn)行更好的探索和開(kāi)發(fā)。

3.4 并行遺傳算法（Parallel Genetic Algorithm—PGA）的全局收斂性

在求解大規(guī)模甚至超大規(guī)模問(wèn)題時(shí)，采用并行遺傳算法（PGA）是一種行之有效的策略，能獲得較高的計(jì)算效率。并行遺傳算法主要分為三種類型[26]，其收斂性各有特點(diǎn)，詳細(xì)分析如下：

1）主從式并行模型

這種并行模型由一個(gè)主處理器和若干個(gè)從處理器構(gòu)成，主處理器的工作是監(jiān)控整個(gè)染色體種群，并基于全局統(tǒng)計(jì)執(zhí)行操作；各個(gè)從處理器接受來(lái)自主處理器的個(gè)體然后進(jìn)行重組、交叉、變異，產(chǎn)生新一代個(gè)體，并計(jì)算適應(yīng)度，再把計(jì)算結(jié)果回傳給主處理器。由于存在主處理機(jī)忙而從處理機(jī)空閑的情況，而且從處理機(jī)計(jì)算完成后要向主處理機(jī)發(fā)送結(jié)果，造成瓶頸和通信延遲，從而導(dǎo)致效率的低下，在很大程度上限制了此類模型的應(yīng)用。如果個(gè)體適應(yīng)度評(píng)價(jià)很費(fèi)時(shí)，并且在時(shí)間上遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)通信時(shí)間，主從式并行遺傳算法將能夠獲得很高的效率。

2）粗粒度并行模型

粗粒度并行遺傳算法模型將種群劃分為多個(gè)子種群，并分配給不同的處理器，每個(gè)處理器相互獨(dú)立并發(fā)運(yùn)行一個(gè)進(jìn)化過(guò)程。為了減少通信量，進(jìn)化若干代后通信一次，互相傳遞最佳個(gè)體或以一定比例交換個(gè)體。雖然最佳個(gè)體的多次遷移會(huì)造成一定的通信開(kāi)銷，但正是由于粗粒度并行遺傳算法允許子種群之間根據(jù)預(yù)定的通訊拓?fù)潢P(guān)系按一定比例交換個(gè)體，通過(guò)新個(gè)體的加入，增加了個(gè)體的差異，維持了種群的多樣性，并且每個(gè)子種群同時(shí)搜索種群空間的不同區(qū)域，提高了全局搜索能力，從而有利于避免早熟收斂現(xiàn)象。粗粒度并行遺傳算法模型是目前應(yīng)用最為廣泛的一種并行遺傳算法，一方面是由于它容易實(shí)現(xiàn)，只需要在串行遺傳算法中增加個(gè)體遷移子例程，在并行計(jì)算機(jī)的節(jié)點(diǎn)上各自運(yùn)行一個(gè)算法的副本，定期交換最佳個(gè)體即可；另一方面是它容易模擬，即使在沒(méi)有并行計(jì)算機(jī)的情況下，也可在串行機(jī)網(wǎng)絡(luò)或者單臺(tái)串行機(jī)上執(zhí)行粗粒度并行遺傳算法，有較高的加速比。雖然在串行計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)的粗粒度并行遺傳算法不具有并行計(jì)算的速度優(yōu)勢(shì)，但仍具有避免早熟收斂的特性。因此，粗粒度并行遺傳算法作為遺傳算法的一種特殊變形，能有效克服遺傳算法在全局搜索能力方面的固有不足。

3）細(xì)粒度并行模型

細(xì)粒度并行模型又稱為鄰域模型，是將遺傳算法與細(xì)胞自動(dòng)機(jī)結(jié)合起來(lái)的模型。細(xì)粒度模型可以看作是一種細(xì)胞狀的自動(dòng)機(jī)網(wǎng)絡(luò)，群體劃分為多個(gè)小的子群體，分配到給定空間環(huán)境（一般是排列成環(huán)形陣列的二維網(wǎng)格的形狀，以防止邊界效應(yīng)的問(wèn)題發(fā)生）中的處理機(jī)中（在理想情況下每個(gè)處理機(jī)單獨(dú)處理一個(gè)個(gè)體，稱為細(xì)胞）。網(wǎng)格中的鄰域關(guān)系限定了個(gè)體空間上的關(guān)系，遺傳操作被看作隨機(jī)的局部更新規(guī)則，這樣模型是完全分布而無(wú)需任何全局控制結(jié)構(gòu)的。對(duì)每個(gè)細(xì)胞而言，選擇僅僅是在賦給該細(xì)胞的個(gè)體及其鄰域的個(gè)體上進(jìn)行，交叉也僅交配鄰近的個(gè)體。通過(guò)比較細(xì)粒度模型與標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法，可以發(fā)現(xiàn)細(xì)粒度模型能提供對(duì)搜索空間更徹底的搜索，因?yàn)樗木植窟x擇機(jī)制減輕了選擇壓力。對(duì)困難的問(wèn)題，細(xì)粒度遺傳算法比標(biāo)準(zhǔn)算法的求解效果好，也更不容易陷人局部最優(yōu)?？紤]到參數(shù)的設(shè)置，細(xì)粒度遺傳算法的魯棒性較好，但是細(xì)粒度并行模型要求有盡可能多的處理機(jī)，所以此類模型的應(yīng)用范圍不廣，一般只運(yùn)行于大規(guī)模系統(tǒng)。細(xì)粒度模型和粗粒度模型的根本區(qū)別就是算法框架中的結(jié)構(gòu)的控制次數(shù)的不同，前者是群體中個(gè)體的個(gè)數(shù)，而后者則是子群體規(guī)模，即處理器的個(gè)數(shù)。

3.5 小生境遺傳算法（Niche Genetic Algorithm—NGA）的全局收斂性

在生物學(xué)中 ，小生境 （Niche）是指特定的生存環(huán)境。生物在其進(jìn)化過(guò)程中 ，一般總是與自己相同的物種生活在一起，這就是一種小生境的自然現(xiàn)象。在遺傳算法中引進(jìn)小生境的概念 ，讓種群中的個(gè)體在不同特定的生存環(huán)境中進(jìn)化 ，而不是全部聚集在一種環(huán)境中，這樣可以使算法在整個(gè)解空間中搜索 ，以找到更多的最優(yōu)個(gè)體，避免了在進(jìn)化后期適應(yīng)度高的個(gè)體大量繁殖 ，充斥整個(gè)解空間 ，導(dǎo)致算法停止在局部最優(yōu)解上。

遺傳算法中模擬小生境的方法主要有以下幾種[27]：

1）基于預(yù)選擇的小生境實(shí)現(xiàn)方法 其基本思想是：僅當(dāng)新產(chǎn)生子代個(gè)體的適應(yīng)度超過(guò)其父代個(gè)體時(shí) ，所產(chǎn)生出的子代個(gè)體才能替代其父代個(gè)體而遺傳到下一代群體中，否則父代個(gè)體仍保留在下一代群體中。由于子代和父代個(gè)體之間的編碼結(jié)構(gòu)有相似性 ，所以該方法替代掉的只是一些編碼結(jié)構(gòu)相似的個(gè)體 ，故它能有效地維持種群多樣性 ，并造就小生境的生存環(huán)境，從而有利于全局收斂。

2）基于排擠的小生境實(shí)現(xiàn)方法 其基本思想是：設(shè)置一個(gè)排擠因子CF，由群體中隨機(jī)選擇的 1/CF個(gè)個(gè)體組成排擠成員，排擠掉一些與其相類似的個(gè)體。這里個(gè)體之間的相似性可用個(gè)體編碼串之間的海明距離來(lái)度量。隨著排擠過(guò)程的進(jìn)行 ，群體中的個(gè)體逐漸被分類 ，從而形成各個(gè)小的生存環(huán)境即小生境 ，并維持了群體的多樣性。

3）基于共享（Sharing）函數(shù)的小生境實(shí)現(xiàn)方法 其基本思想是：通過(guò)反映個(gè)體之間相似程度的共享函數(shù)來(lái)調(diào)整群體中各個(gè)個(gè)體的適應(yīng)度，從而在以后的進(jìn)化過(guò)程中 ，能夠依據(jù)調(diào)整后的新適應(yīng)度來(lái)進(jìn)行選擇運(yùn)算。這種調(diào)整適應(yīng)度的方法能夠限制群體內(nèi)個(gè)別個(gè)體的大量增加 ，以維護(hù)群體的多樣性 ，并形成了一種小生境的進(jìn)化環(huán)境。

4）基于淘汰相似結(jié)構(gòu)機(jī)制的小生境實(shí)現(xiàn)方法 該方法是在標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法的基礎(chǔ)上增加小生境淘汰運(yùn)算 ，通過(guò)引入罰函數(shù)的方法來(lái)調(diào)整個(gè)體的適應(yīng)度 ，淘汰結(jié)構(gòu)相似的個(gè)體 ，使得各個(gè)個(gè)體之間保持一定的距離 ，從而造就了一種小生境的進(jìn)化環(huán)境 ，維護(hù)了群體的多樣性 ，提高了全局搜索能力。

小生境遺傳算法具有更強(qiáng)的全局搜索能力和更高的收斂速度 ，能夠高效地尋找到多個(gè)全局最優(yōu)值 ，是一種尋優(yōu)能力、搜索效率和全局收斂概率更高的優(yōu)化算法 ，其綜合性能比標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法有顯著提高。

4 遺傳算法收斂性研究的主要發(fā)展方向

遺傳算法收斂性研究的主要發(fā)展方向包括以下幾個(gè)方面：

1）遺傳算法的收斂性與遺傳算子的內(nèi)在關(guān)系研究。主要包括遺傳算子的操作方式對(duì)遺傳算法收斂性的影響機(jī)制研究、影響結(jié)果的定量刻畫與描述，如：對(duì)遺傳算法收斂速度的影響、對(duì)遺傳算法收斂到全局最優(yōu)解的影響等。

2）平衡遺傳算法的收斂性與時(shí)間復(fù)雜性的研究。收斂性與時(shí)間復(fù)雜性平衡是指在保證遺傳算法收斂的同時(shí)預(yù)防過(guò)度進(jìn)化，防止出現(xiàn)“漫游”（Roam）現(xiàn)象。在遺傳算法的實(shí)際運(yùn)行中，為提高遺傳算法的收斂性（收斂到全局最優(yōu)解的概率），往往以增加進(jìn)化時(shí)間為代價(jià)，而這在求解大規(guī)模問(wèn)題時(shí)是難以接受的。

3）遺傳算法最終收斂到全局最優(yōu)解的時(shí)間復(fù)雜度研究。主要是遺傳算法收斂速度的定量估計(jì)和提高收斂速度的方法研究。除有關(guān)標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法時(shí)間復(fù)雜度的研究外，還包括各種改進(jìn)遺傳算法時(shí)間復(fù)雜度的研究。

4）在提高遺傳算法收斂性的同時(shí)預(yù)防早熟收斂的研究。為提高遺傳算法的收斂速度，降低其時(shí)間復(fù)雜性，在遺傳算法的實(shí)際運(yùn)行中，往往采用控制參數(shù)選擇（如：提高遺傳算法的交叉概率）和改進(jìn)遺傳操作的方法，但這容易導(dǎo)致“早熟”（Premature）現(xiàn)象的發(fā)生，從而降低遺傳算法收斂到全局最優(yōu)解的概率，這一矛盾至今依然存在。

5）混合遺傳算法的收斂性研究。許多研究表明，采用混合模型可有效提高遺傳算法的局部搜索能力，從而進(jìn)一步改善其收斂速度和解的品質(zhì)。通過(guò)對(duì)混合遺傳算法收斂性的研究，不僅可以增強(qiáng)現(xiàn)有遺傳算法的實(shí)用性與可靠性，而且可為正在蓬勃發(fā)展的混合遺傳算法提供一定的理論支撐。而關(guān)于混合遺傳算法的收斂性分析，卻更加困難。

6）構(gòu)造高效且全局收斂遺傳算法的方法研究。對(duì)遺傳算法的收斂性進(jìn)行研究的最終目的是構(gòu)造高效、收斂的遺傳算法，這直接關(guān)系到遺傳算法的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。要構(gòu)造高效、收斂的遺傳算法，必須充分運(yùn)用已有的收斂性分析的研究成果，從算法結(jié)構(gòu)、控制參數(shù)選擇、遺傳算子的操作方式等方面進(jìn)行綜合設(shè)計(jì)，其中還存在許多尚未解決的問(wèn)題，如：如何利用遺傳算法的收斂性構(gòu)造合理的停機(jī)準(zhǔn)則。

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