剖析思路知立意，品悟精神識(shí)導(dǎo)向
——2015年淮安中考卷第28題的思考

☉江蘇省金湖縣呂良中心初級(jí)中學(xué) 喬太華

剖析思路知立意，品悟精神識(shí)導(dǎo)向
——2015年淮安中考卷第28題的思考

☉江蘇省金湖縣呂良中心初級(jí)中學(xué) 喬太華

隨著2015年全國(guó)各地中考大幕徐徐落下，一份份凝聚了命題組教師心血的試卷大放異彩，中考?jí)狠S題作為一份試卷的核心，具有知識(shí)容量豐富、解題方法多樣、能力要求較高、思想方法運(yùn)用活等特點(diǎn)，其承載的教學(xué)價(jià)值令人回味無(wú)窮，導(dǎo)向深遠(yuǎn).現(xiàn)以2015年淮安中考卷第28題為例，談?wù)劰P者的一些認(rèn)識(shí).

題目（江蘇淮安中考第28題）如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB= 90°，AC=6，BC=8．動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿AB向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿BA向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)．過(guò)線段MN的中點(diǎn)G作邊AB的垂線，垂足為點(diǎn)G，交△ABC的另一邊于點(diǎn)P，連接PM、PN.當(dāng)點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，M、N兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

圖1

（1）當(dāng)t=_______秒時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M、N相遇.

（2）設(shè)△PMN的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式.

（3）取線段PM的中點(diǎn)K，連接KA、KC.在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△KAC的面積是否變化？若變化，直接寫出它的最大值和最小值；若不變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．

一、探索思路

第一問(wèn)屬于“同時(shí)出發(fā)相向而行到第一次相遇問(wèn)題”，通過(guò)列一元一次方程或直接利用算術(shù)方法即可求出t=2.5，屬于送分題.但是此問(wèn)可以引導(dǎo)考生對(duì)M、N兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情形進(jìn)行初步分析，同時(shí)因?yàn)楹?jiǎn)單可以緩解考生的焦慮情緒.

第二問(wèn)是求動(dòng)態(tài)情形下圖形的面積問(wèn)題，圖中△PMN由邊MN和高PG確定，所以解題思路是：首先，對(duì)M、N兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情形進(jìn)行分析，確定邊MN的變化，對(duì)邊MN進(jìn)行分類；第二步，根據(jù)邊MN的每一種情形，再對(duì)高PG進(jìn)行分類，確定總的分類情形；第三步，針對(duì)每一種情形畫出圖形，觀察△PMN的位置和形狀，最后確定求△PMN的面積的方法.

分類的難點(diǎn)是高PG，為了準(zhǔn)確對(duì)高PG進(jìn)行分類，對(duì)M、N兩點(diǎn)位置的精確性要求比較高，所以畫圖不能太隨意.通過(guò)對(duì)條件分析和畫圖觀察可確定高PG的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，從起始位置開(kāi)始畫圖，讓點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)，觀察中點(diǎn)G是如何運(yùn)動(dòng)的.相遇前，因?yàn)椤皠?dòng)點(diǎn)N的速度是動(dòng)點(diǎn)M的速度的3倍”，所以NG縮短快，而MG縮短慢，所以點(diǎn)G一直向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，又相遇點(diǎn)在AB邊上的高的左邊，因此相遇前高PG的位置有2種，即點(diǎn)P先在CB上，再到CA上.相遇后，GN增加快，GM增加慢，所以點(diǎn)G也一直向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，因此到結(jié)束點(diǎn)P就一直在AC上，所以本問(wèn)可分3種情形.

圖2

圖3

圖4

接下來(lái)，先分析計(jì)算確定分界點(diǎn)的時(shí)間，即要求出高PG與△ABC的高CH重合的時(shí)間，M、N兩點(diǎn)相遇的時(shí)間，動(dòng)點(diǎn)N到終點(diǎn)的時(shí)間，以及點(diǎn)M的位置，分類計(jì)算即可.

對(duì)于每種情形，先用含t的代數(shù)式表示出MN的長(zhǎng)，然后利用相似三角形的性質(zhì)或三角形函數(shù)求出高PG即可.結(jié)果如下所示.

①當(dāng)0＜t≤1.4時(shí)（如圖2），MN=10-4t，PG=（t+5）.

第三問(wèn)是求動(dòng)態(tài)情形下圖形面積的最值問(wèn)題，這里提供三種思路.

思路1：（特殊猜想法）中考?jí)狠S題的問(wèn)題設(shè)計(jì)，往往都是層層遞進(jìn)的命題方式.因?yàn)辄c(diǎn)K是線段PM的中點(diǎn)，所以可以考慮把第二問(wèn)中的起點(diǎn)、兩個(gè)分界點(diǎn)、終點(diǎn)計(jì)算出來(lái)，取其中的最大值和最小值.

上面的思路1并不能確定結(jié)果的正確性，但是時(shí)間不夠或沒(méi)有其他方法的同學(xué)不妨一試.思路2可以使結(jié)果的正確性大大提高.

思路2：（操作觀察法）首先利用圓規(guī)截取的方法，確定幾個(gè)點(diǎn)M、N的位置，然后觀察點(diǎn)K的運(yùn)動(dòng)軌跡，可以發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)K一直在邊AB的某一條固定的垂線上做折返型運(yùn)動(dòng)，由于△KAC的邊AC確定，所以只需探索點(diǎn)K到AB的距離的變化規(guī)律即可，結(jié)果如下所示.

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，即t=1.4s上時(shí)（如圖6），△KAC的面積最小，此時(shí)△KAC的面積為1.68.

圖5

圖6

圖7

思路3：（代數(shù)法）根據(jù)第三問(wèn)的三種情形，分別求出K到AC的距離，列出△KAC的面積與t的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)關(guān)系式和t的取值范圍來(lái)確定△KAC的面積的最大值和最小值.

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)本身就是一個(gè)過(guò)程，如何在考試中考查“看不見(jiàn)、摸不到”的活動(dòng)過(guò)程呢？從上述思路探析中不難看出，本題各問(wèn)層級(jí)分明，逐級(jí)遞進(jìn)，引導(dǎo)學(xué)生不斷思考，變考試過(guò)程為學(xué)習(xí)、研究的過(guò)程.學(xué)生在解決這一系列問(wèn)題的過(guò)程中，可以表現(xiàn)自己的觀察、猜想、比較、構(gòu)造及證明等數(shù)學(xué)活動(dòng)方面的能力，有效考查學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，在一定程度上體現(xiàn)了對(duì)過(guò)程性目標(biāo)的考查.從而促使教師在平時(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)中重視過(guò)程的教學(xué)，使學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展及運(yùn)用過(guò)程，并啟發(fā)學(xué)生及時(shí)進(jìn)行歸納、總結(jié)和反思，積累解決問(wèn)題的策略及經(jīng)驗(yàn)，不斷提升數(shù)學(xué)能力.

二、品悟精神

近幾年來(lái)，淮安市中考?jí)狠S題都以圖形運(yùn)動(dòng)中探求圖形面積或判斷圖形形狀為背景進(jìn)行命題.今年的圖形更加簡(jiǎn)單，運(yùn)動(dòng)過(guò)程也不復(fù)雜，但是考查的各項(xiàng)指標(biāo)和需求并沒(méi)有減少.

1.擯棄繁難堆砌，重視數(shù)學(xué)能力

本題涉及的知識(shí)點(diǎn)不多，沒(méi)有將大量的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行堆砌，重點(diǎn)考查學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.在分析圖形運(yùn)動(dòng)時(shí)，對(duì)于底MN和高PG的分類，需要較強(qiáng)的動(dòng)手操作能力和空間想象能力，捕捉圖形信息及對(duì)信息處理和轉(zhuǎn)化的能力.對(duì)于△KAC的面積的最大值和最小值的確定，需要幾何直觀能力、動(dòng)手操作能力和合情推理能力.歸納概括得到猜想和規(guī)律，并加以驗(yàn)證，是創(chuàng)新的重要方法，對(duì)底MN和高PG的分類及對(duì)△KAC的面積的最大值和最小值的探求充分體現(xiàn)了這些方法.在具體三角形的面積計(jì)算中，需要從復(fù)雜圖形中分解基本圖形和作輔助線構(gòu)造基本圖形，需要較強(qiáng)的化歸遷移能力和利用模型解決問(wèn)題的能力.

2.突出數(shù)學(xué)思想，注重?cái)?shù)學(xué)思考

哈佛校長(zhǎng)M.勞厄爾曾說(shuō)“教育，是指所有學(xué)會(huì)的東西都忘卻了以后仍然留下來(lái)的那些東西.”本題并非解題方法和技巧的機(jī)械運(yùn)用，而是巧妙考查分類討論思想、模型思想、化歸思想等，從培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)及綜合能力的層面上關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)理性思維，展現(xiàn)了數(shù)學(xué)的學(xué)科價(jià)值和人文價(jià)值.

分類思想：求△PMN的面積時(shí)，需要對(duì)底MN和高PG的位置進(jìn)行分類，求△KAC的面積時(shí)，需要對(duì)K的位置進(jìn)行分類.

模型思想和化歸思想：通過(guò)對(duì)相似三角形的基本圖形的提取和作輔助線構(gòu)造基本圖形，體現(xiàn)了模型思想和化歸思想的應(yīng)用.

3.關(guān)注學(xué)習(xí)過(guò)程，體現(xiàn)數(shù)學(xué)觀念

對(duì)于運(yùn)動(dòng)型問(wèn)題，首先由于運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生變化，會(huì)出現(xiàn)眾多的情形，所以要進(jìn)行分類，然后一類一類地解決問(wèn)題；對(duì)于第三問(wèn)，可以通過(guò)操作，然后觀察、猜想、驗(yàn)證一系列的活動(dòng)進(jìn)行求解.“用適當(dāng)?shù)姆椒óa(chǎn)生若干個(gè)研究對(duì)象，用抽象、概括的方法確定研究對(duì)象的本質(zhì)特征后下定義，用特殊到一般合情推理的方法猜想規(guī)律，用演繹推理的方法證明結(jié)論”，這些都是思考問(wèn)題的一般方法、套路，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)觀念.

三、啟示教學(xué)

鑒于上述思考，在平時(shí)教學(xué)中，我們要加強(qiáng)以下三個(gè)方面的教學(xué).

1.養(yǎng)成認(rèn)真審題的習(xí)慣

從閱卷和考試后的調(diào)查發(fā)現(xiàn)，好多學(xué)生對(duì)高PG的位置變化弄不清楚，一部分學(xué)生認(rèn)為高PG就在CB上，原因是根本沒(méi)有明白“動(dòng)點(diǎn)N的速度是動(dòng)點(diǎn)M的速度的3倍”這個(gè)隱含條件，從他們畫的圖上面即可看出，另一部分學(xué)生認(rèn)為高PG的位置應(yīng)該分三種情形，點(diǎn)P先在CB上，再到CA上，最后又回到CB上，雖然他們對(duì)“動(dòng)點(diǎn)N的速度是動(dòng)點(diǎn)M的速度的3倍”這個(gè)隱含條件有關(guān)注，但是對(duì)點(diǎn)M的最終位置思考太隨便，畫出的圖形誤差太大，從而出現(xiàn)點(diǎn)P最后又回到CB上的情形，還有一部分學(xué)生根本沒(méi)有注意動(dòng)點(diǎn)的終點(diǎn)，從而出現(xiàn)了錯(cuò)誤.

“授人以魚不如授人以漁.”平時(shí)教學(xué)，我們不能代替學(xué)生讀題、審題，要教給學(xué)生快速捕捉有用信息的方法，如在閱讀過(guò)程中采用“劃去無(wú)關(guān)語(yǔ)句”的方法提取關(guān)鍵語(yǔ)句，或畫出關(guān)鍵語(yǔ)句，在圖形上標(biāo)出已知數(shù)據(jù)和未知數(shù)據(jù)，把相關(guān)的量用含變量的式子表示出來(lái)等.

2.提升動(dòng)手操作的能力

對(duì)于本題，從閱卷和考試后的調(diào)查發(fā)現(xiàn)，許多學(xué)生沒(méi)有能通過(guò)畫圖發(fā)現(xiàn)高PG的位置變化情形和點(diǎn)K的運(yùn)動(dòng)軌跡，原因是無(wú)法精確畫出BN=3AM，其實(shí)，直接在原圖上，用圓規(guī)以適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度從A、B兩端分別截取一些相等的線段即可.

我們?cè)谄綍r(shí)的教學(xué)中，一定要加強(qiáng)學(xué)生動(dòng)手操作的教學(xué)指導(dǎo)，不能因?yàn)槁闊┒S意將動(dòng)手操作活動(dòng)舍棄.首先要加強(qiáng)尺規(guī)作圖和畫圖的教學(xué)，在掌握一些基本的作圖方法的基礎(chǔ)上，要讓學(xué)生深刻掌握畫圖工具（圓規(guī)、直尺、三角板、量角器等）的基本功能，如圓規(guī)的截取、畫弧等功能，同時(shí)還要能根據(jù)問(wèn)題情景選擇匹配的畫圖工具，如遇到旋轉(zhuǎn)問(wèn)題，想到用圓規(guī)；其次，要培養(yǎng)學(xué)生就地取材、合理利用現(xiàn)有的材料進(jìn)行操作的能力，如利用長(zhǎng)方形稿紙、長(zhǎng)方體狀的橡皮、圓柱體狀的鉛筆進(jìn)行即時(shí)操作.

“紙上得來(lái)總覺(jué)淺，絕知此事要躬行.”“動(dòng)手操作”不僅是為了考試，“動(dòng)手操作”是一種重要的學(xué)習(xí)方式，“動(dòng)手操作”猶如數(shù)學(xué)課堂的“強(qiáng)心劑”，一方面幫助學(xué)生理解知識(shí)，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和自信心，另一方面對(duì)教師來(lái)說(shuō)，在教學(xué)中很容易達(dá)到事半功倍的效果.數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要向?qū)W生提供充分的操作活動(dòng)機(jī)會(huì)，讓學(xué)生在動(dòng)手操作中體驗(yàn)到數(shù)學(xué)的樂(lè)趣，并引導(dǎo)學(xué)生在動(dòng)手操作中加深對(duì)知識(shí)的感悟，在動(dòng)手操作中提高解決問(wèn)題的能力，發(fā)展創(chuàng)造性思維.

3.夯實(shí)基礎(chǔ)，重視通法、通則

對(duì)于本題，許多學(xué)生在第二問(wèn)和第三問(wèn)得零分，其實(shí)第二問(wèn)學(xué)生認(rèn)真算出一種情況應(yīng)該還是可以的，第三問(wèn)找?guī)讉€(gè)特殊位置算一算也能“蒙”到不少分?jǐn)?shù)，可是就是不會(huì)算，幾種情形都畫對(duì)的同學(xué)中有許多都在計(jì)算上功虧一簣.

絕大部分中考試題源于教材，是教材中題目的引申、變化或組合.中考題的形式和知識(shí)背景千變?nèi)f化，但是其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法往往是相通的.因此，在日常教學(xué)和復(fù)習(xí)中強(qiáng)調(diào)通性通法，同時(shí)要處理好通法和技巧的關(guān)系，在學(xué)習(xí)中不應(yīng)刻意追求特殊方法、技巧，因?yàn)檫@些東西只有在特定的條件下才能應(yīng)用.考慮到教材的編排遵循“螺旋上升”的原則，知識(shí)點(diǎn)比較分散，所以在首輪復(fù)習(xí)中，我們必須“串讀”教材，把相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行分類、歸納、整理，形成完善的知識(shí)鏈.對(duì)成績(jī)好的學(xué)生，應(yīng)引導(dǎo)他們進(jìn)行單元內(nèi)知識(shí)點(diǎn)的整合，同時(shí)尋求各單元的交叉點(diǎn)、中間地帶，把握它們的異同點(diǎn).對(duì)于學(xué)習(xí)困難的學(xué)生，應(yīng)指導(dǎo)完成教材中的題目，并要求他們注意解題方法的歸納和整理.

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