基于現(xiàn)實，運用類比，立意能力
——“圖形的旋轉(zhuǎn)（第1課時）”教學設(shè)計與思考

☉江蘇省南京市雨花臺中學（春江分校） 杭秉全

基于現(xiàn)實，運用類比，立意能力
——“圖形的旋轉(zhuǎn)（第1課時）”教學設(shè)計與思考

☉江蘇省南京市雨花臺中學（春江分校） 杭秉全

“圖形的旋轉(zhuǎn)（第1課時）”是初中數(shù)學教學的一個經(jīng)典課例．讀了本刊近期沈曄老師的《預(yù)設(shè)操作跟進追問，掌握知識發(fā)展思維——圖形的旋轉(zhuǎn)（第1課時）教學設(shè)計與解讀》，很受啟發(fā)．在這節(jié)課的教學實踐中，筆者有不一樣的思考與設(shè)計，現(xiàn)整理成文，與同仁交流．

一、課標要求與教學分析

第一學段（1～3年級）結(jié)合實例，感受旋轉(zhuǎn)對稱現(xiàn)象．

第二學段（4～6年級）通過觀察、操作等，在方格紙上認識圖形的旋轉(zhuǎn)，會在方格紙上將簡單圖形旋轉(zhuǎn)90°．能從旋轉(zhuǎn)的角度欣賞生活中的圖案，并運用它們在方格紙上設(shè)計簡單的圖案．

第三學段（7～9年級）通過具體實例認識平面圖形關(guān)于旋轉(zhuǎn)中心的旋轉(zhuǎn)．探索它的基本性質(zhì)：一個圖形和它經(jīng)過旋轉(zhuǎn)所得到的圖形中，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，兩組對應(yīng)點分別與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角相等．

從課標要求看，“旋轉(zhuǎn)”的學習貫穿于義務(wù)教育各學段，遵循由具體到抽象、從感性到理性、由定性認知到定量研究，認知呈螺旋式上升．

小學階段（即第一、二兩個學段）關(guān)于“旋轉(zhuǎn)”的學習，主要結(jié)合實例初步認識圖形的運動，通過觀察與動手操作積累感性認識，形成初步表象，不要求給出定義，離定性的認識、定量的研究還有一定距離．

初中階段（即第三學段）教材的編排遵循從簡單到復(fù)雜的認知規(guī)律，將“旋轉(zhuǎn)”安排在“平移”、“軸對稱”之后．

因此，關(guān)于“旋轉(zhuǎn)”的學習，要基于小學階段對圖形旋轉(zhuǎn)的感性認知，要基于初中階段在“平移”、“軸對稱”學習中積累的經(jīng)驗，引領(lǐng)學生研究如何定義平面圖形關(guān)于旋轉(zhuǎn)中心的旋轉(zhuǎn)，探索旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)．

二、教學目標與重難點

基于學生對“旋轉(zhuǎn)”的生活體驗、感性認識，基于學生在平移、軸對稱學習中積累的對“圖形的變化”的研究經(jīng)驗，基于課程標準關(guān)于“旋轉(zhuǎn)”的要求，結(jié)合本節(jié)課的學習內(nèi)容、根據(jù)學生的認知特點，將本節(jié)課的教學目標設(shè)定為：

（1）通過具體實例認識平面圖形關(guān)于旋轉(zhuǎn)中心的旋轉(zhuǎn)；

（2）類比平移、軸對稱，定義圖形的旋轉(zhuǎn)、探索旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)；

（3）能畫出簡單圖形關(guān)于給定旋轉(zhuǎn)中心，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后的圖形．

教學重點：認識平面圖形關(guān)于旋轉(zhuǎn)中心的旋轉(zhuǎn)，探索旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)．

教學難點：探索旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)．

三、教學設(shè)計與意圖分析

（一）課前預(yù)習準備

填寫下表：

平移軸對稱定義性質(zhì)

設(shè)計意圖：通過對“平移”、“軸對稱”定義及性質(zhì)的回顧，喚醒學生在這兩種圖形的變化學習中積累“圖形的變化”研究經(jīng)驗，為本節(jié)課的類比學習做好準備．

（二）課堂教學設(shè)計

環(huán)節(jié)1：從現(xiàn)象到定義，認識旋轉(zhuǎn)

圖1

（2）生活中還有與上述情景類似的現(xiàn)象嗎？請舉例．

設(shè)計意圖：通過生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象，激發(fā)學生在小學學習獲得的對“旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象”的感性認知，為后面“數(shù)學中關(guān)于旋轉(zhuǎn)中心的旋轉(zhuǎn)”的探討做準備．

（3）課件顯示運動的鐘擺，再數(shù)學抽象，用“幾何畫板”展示鐘擺旋轉(zhuǎn)的過程．

（4）上述情境中的運動現(xiàn)象有什么共同的特征？

（5）以前我們還學過哪些圖形運動？你能類比它們的概念，歸納出旋轉(zhuǎn)的特點，并嘗試給“旋轉(zhuǎn)”下個定義嗎？

設(shè)計意圖：本環(huán)節(jié)中運用抽象、找共同屬性、類比的教學方法，讓學生經(jīng)歷概念本質(zhì)特征的抽象過程．其中，由實物圖片抽象成幾何圖形，是研究生活中的數(shù)學現(xiàn)象的一般方法．尋找共同特征，揭示概念本質(zhì)屬性，是常用的邏輯思維、認知方式．通過這樣的設(shè)計，提高學生類比、概括的能力．

工程建設(shè)前期準備工作會影響使用過程中的具體狀況。工程質(zhì)量是決定工程是否合格的關(guān)鍵。農(nóng)田水利工程對工程質(zhì)量要求十分嚴格。判定工程建設(shè)是否合格一般通過兩個環(huán)節(jié)，即實際應(yīng)用與監(jiān)督管理。實際應(yīng)用情況多與工程本身或自然因素有關(guān)。監(jiān)督管理一般是針對工程建設(shè)過程中材料選擇、工程步驟監(jiān)控、質(zhì)量評定等方面。

（5）如圖2，正方形ABCD中，E是AD上一點，將三角板從△CDE位置沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)到△CBF位置．

①請指出三角板旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角度；

圖2

②三角板內(nèi)框從△GHK位置變化到△PMN位置，是旋轉(zhuǎn)嗎？若是，請指出旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角度；若不是，請說明理由．

（6）“旋轉(zhuǎn)中心”、“旋轉(zhuǎn)方向”、“旋轉(zhuǎn)角度”是旋轉(zhuǎn)的“三要素”，以圖2為例，分析缺少一個“要素”，會得到什么結(jié)果？

設(shè)計意圖：讓學生充分認識旋轉(zhuǎn)的“三要素”，并體會缺少其中任何一個都不能唯一確定一個旋轉(zhuǎn)，從而加深對“平面圖形旋轉(zhuǎn)”這一概念內(nèi)涵的理解．

環(huán)節(jié)2：從目標到思路，探究旋轉(zhuǎn)性質(zhì)

（1）我們對圖形研究，通常在概念之后研究其性質(zhì)，研究“旋轉(zhuǎn)”的性質(zhì)就是要研究什么？

設(shè)計意圖：使學生認識圖形研究的基本套路，明確旋轉(zhuǎn)性質(zhì)研究的目標就是研究旋轉(zhuǎn)前后兩個圖形的關(guān)系．

（2）在“平移”前后兩個圖形的關(guān)系、“軸對稱”前后兩個圖形的關(guān)系的研究中，我們通過具體研究了什么，歸納得出它們的性質(zhì)？

（3）類比“平移”、“軸對稱”性質(zhì)的探究思路，你認為研究“旋轉(zhuǎn)”的性質(zhì)具體要研究什么？

設(shè)計意圖：使學生回顧“平移”、“軸對稱”的研究，明確圖形變化前后兩個圖形關(guān)系的研究，具體就是它們對應(yīng)元素之間關(guān)系的研究．

（4）“平移”、“軸對稱”前后兩個圖形全等，“旋轉(zhuǎn)”呢？

（5）“旋轉(zhuǎn)”前后兩個圖形中的對應(yīng)點，與“旋轉(zhuǎn)中心”有何關(guān)系？

（6）“旋轉(zhuǎn)”前后兩個圖形中的對應(yīng)點，與“旋轉(zhuǎn)角度”有何關(guān)系？

（7）請你歸納圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．

設(shè)計意圖：使學生認識到：圖形變化的研究順序通常是先圖形整體關(guān)系研究、再微觀到對應(yīng)點關(guān)系研究；對應(yīng)“元素”之間的關(guān)系的研究一定要與概念中的“要素”聯(lián)系．使學生明確旋轉(zhuǎn)性質(zhì)研究的思路．用問題引導學生主動發(fā)現(xiàn)性質(zhì)，并養(yǎng)成有序思考的習慣，提高歸納、類比的思維能力．

環(huán)節(jié)3：從思考到操作，運用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)畫圖

（1）如圖3，△M′N′P′是△MNP繞點D順時針旋轉(zhuǎn)120°后的圖形.

圖3

①圖中有哪些線段相等，哪些角相等？

②旋轉(zhuǎn)后的△M′N′P′是怎樣畫出的？請說說你的想法．

設(shè)計意圖：畫圖是性質(zhì)的運用，假設(shè)法（畫出要畫圖形的草圖，分析畫圖中要保證的數(shù)量與位置關(guān)系）是分析畫圖思路的常用方法．用“說畫圖想法”取代“動手操作畫圖”，可節(jié)省學生盲目畫圖的操作時間，增加學生思考、交流時間，真正讓思考“走”在操作前．

（2）例題：

①如圖4，已知點A和點O，畫出點A繞點O逆時針方向旋轉(zhuǎn)100°后的圖形．

②如圖5，已知線段AB和點O，畫出線段AB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)100°后的圖形．

③如圖6，已知△ABC和點O，畫出△ABC繞點O逆時針方向旋轉(zhuǎn)100°后對應(yīng)的三角形．

圖4

圖5

圖6

設(shè)計意圖：本例設(shè)計遵循從簡單到復(fù)雜的思路，讓學生動手操作體驗，進一步認知旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．

環(huán)節(jié)4：從回顧到提煉，小結(jié)旋轉(zhuǎn)學習

（1）回顧今天的學習，你有哪些收獲（包括知識、技能、思想、活動經(jīng)驗）？

（2）“旋轉(zhuǎn)”與“平移”、“軸對稱”有何區(qū)別與聯(lián)系？請完善課前預(yù)習時填寫的“圖形的變化”知識圖表．

（3）回顧我們探索圖形旋轉(zhuǎn)性質(zhì)的過程，你對“圖形的變化”基本性質(zhì)的探究目標、思路、方法有哪些認識？

設(shè)計意圖：問題式小結(jié)，是為了幫學生回顧學習內(nèi)容，明晰圖形研究的基本思路與方法，建構(gòu)初中“圖形的變化”知識結(jié)構(gòu)，形成整體認知．

四、教學反思

1.研究關(guān)系，讓探究思路更清晰、知識生成更自然

數(shù)學是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學．初中數(shù)學的主體內(nèi)容都是在研究“關(guān)系”，例如：數(shù)之間的大小關(guān)系、運算關(guān)系，方程、不等式刻畫數(shù)量之間的關(guān)系，函數(shù)描述兩個變量之間的關(guān)系，圖形的性質(zhì)與判定研究圖形相關(guān)元素之間的數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系等．研究“關(guān)系”是數(shù)學研究的一個重要內(nèi)容，正是在“關(guān)系”的研究中，生成了數(shù)學模型、圖形性質(zhì)等．用研究“關(guān)系”的問題引領(lǐng)，可以讓學生的研究目標更明確，思路更清晰，讓探究過程真正變成一個學生主動參與的思維過程，讓知識生成的更自然．

2.運用類比，讓教學更輕松、認知結(jié)構(gòu)更穩(wěn)定

數(shù)學知識是一個聯(lián)系的整體，特別是有些并列的數(shù)學知識，它們研究的對象同類、研究的內(nèi)容相近、研究的方式相同，因而它們學習的經(jīng)驗可相互借鑒．在這些知識的教學中，我們可以合理地運用“類比”的策略，引導學生在“類比”中探究，在“探究”中建構(gòu)新知識，形成穩(wěn)定、清晰且整體的認知結(jié)構(gòu)．

本節(jié)課環(huán)節(jié)2的第（2）個問題，就是要讓學生回顧、分析得到：平移、軸對稱變換前后的兩個圖形整體都全等；因圖形是由點構(gòu)成，還需研究對應(yīng)點與相應(yīng)圖形變換要素之間的關(guān)系．平移的要素是平移的方向與距離，軸對稱的要素是對稱軸．平移的性質(zhì)是：圖形經(jīng)過平移，對應(yīng)點連線互相平行或在同一條直線上，與平移方向一致，并且相等，都等于平移的距離；軸對稱性質(zhì)是：圖形經(jīng)過軸對稱，對應(yīng)點連線被對稱軸垂直平分．類比平移、軸對稱，旋轉(zhuǎn)性質(zhì)的研究，首先要觀察旋轉(zhuǎn)變換前后的兩個圖形整體是否全等？而后研究旋轉(zhuǎn)“對應(yīng)點”與旋轉(zhuǎn)“要素”之間的關(guān)系．旋轉(zhuǎn)的要素是旋轉(zhuǎn)中心與旋轉(zhuǎn)角，這樣后面的問題（5）、（6）的提出就非常自然．

3.數(shù)學教學要貼近學生的生活現(xiàn)實、數(shù)學現(xiàn)實

數(shù)學新知識的學習是典型的建構(gòu)學習過程．“建構(gòu)學習”是以學習者為參照中心的自身思維構(gòu)造的過程，是主動活動的過程，是積極創(chuàng)建的過程，最終所建構(gòu)的意義固著于親生經(jīng)歷的背景，溯源于學習者熟悉的生活經(jīng)驗，扎根于學習者已有的認知．因此，數(shù)學教學應(yīng)以學生認知發(fā)展水平和已有的經(jīng)驗為基礎(chǔ)，教學要貼近學生的生活現(xiàn)實、數(shù)學現(xiàn)實．

本節(jié)課“旋轉(zhuǎn)”概念、性質(zhì)的學習建構(gòu)，溯源于學生熟悉的生活中的旋轉(zhuǎn)，因而創(chuàng)設(shè)“生活中的旋轉(zhuǎn)”的情境引入；固著于親生經(jīng)歷了平移、軸對稱的學習研究過程，扎根于學生已有平移、軸對稱的認知．

4.數(shù)學教學要關(guān)注新舊知識之間的聯(lián)系

數(shù)學知識博大精深，彼此聯(lián)系緊密，是一個聯(lián)系的整體．我們的數(shù)學教學應(yīng)關(guān)注新舊知識之間的聯(lián)系，不能只教給學生一個個孤立的知識點，而應(yīng)設(shè)法幫助學生串成知識鏈、結(jié)成知識網(wǎng)．

平移、軸對稱和旋轉(zhuǎn)都屬于全等變換，它們定義的語言表述結(jié)構(gòu)、方式一致，性質(zhì)的研究思路相同．所以，本節(jié)課所學習的“旋轉(zhuǎn)”雖是一個“新知識”，但學生有“平移”、“軸對稱”的學習經(jīng)驗．在探究活動中運用“類比”的策略，可以使學生認知更輕松；在“問題式小結(jié)”中關(guān)注三種圖形變化的區(qū)別聯(lián)系的分析，可以幫助學生將“旋轉(zhuǎn)”的學習認識，納入到基于“平移”、“軸對稱”學習，初步建立起來的圖形全等變換認知結(jié)構(gòu)之中．這樣加強了新舊知識間的聯(lián)系，進一步豐富并鞏固了全等變換的認知策略、認知結(jié)構(gòu)．

5.數(shù)學教學要立意于思想滲透、能力提升

著名的日本數(shù)學教育家米山國藏有這樣一段話：“作為知識的數(shù)學出校門不到兩年可能就忘了，唯有深深銘記在頭腦中的數(shù)學的精神、數(shù)學的思想、研究的方法和著眼點等，這些隨時隨地發(fā)生作用，使他們終身受益．”數(shù)學的思想方法是數(shù)學的靈魂，數(shù)學是數(shù)學思維活動的教學．因此，數(shù)學教學在關(guān)注知識、技能的同時，應(yīng)立意于：在引領(lǐng)學生經(jīng)歷知識建構(gòu)的過程之中，滲透基本的數(shù)學思想方法，提升學生的數(shù)學思維能力．

本節(jié)課類比平移、軸對稱，讓學生明確旋轉(zhuǎn)性質(zhì)研究的目標，帶領(lǐng)學生理順旋轉(zhuǎn)的研究思路，真正讓探究活動具有思維含金量.在增強思維的邏輯性和條理性的同時，讓他們領(lǐng)悟到“圖形的變化”研究的一些“基本套路”，感悟“類比”的思想方法、學習策略．這樣的教學立意是對思想方法和數(shù)學思維能力的追溯．

五、寫在最后

數(shù)學教學要基于學生的生活現(xiàn)實、數(shù)學現(xiàn)實；數(shù)學教學的立意要高，不能只關(guān)注知識與技能，應(yīng)立意于數(shù)學思想方法的滲透和數(shù)學思維能力的提升；數(shù)學教學要關(guān)注知識之間的聯(lián)系，合理運用“類比”的策略，引導學生在“類比”中探究，在“探究”中建構(gòu)，形成穩(wěn)定、清晰的認知結(jié)構(gòu)．

1.中華人民共和國教育部制定．義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）［M］．北京：北京師范大學出版社，2012．

2.章建躍．如何實現(xiàn)“思維的教學”——以“平面圖形的旋轉(zhuǎn)”的教學為例［J］.中學數(shù)學教學參考（中），2015（4）．

3.沈曄．預(yù)設(shè)操作跟進追問，掌握知識發(fā)展思維——圖形的旋轉(zhuǎn)（第1課時）教學設(shè)計與解讀［J］.中學數(shù)學（下），2015（7）．

4.杭秉全．了解教學基點注重教學方法反思教學效果——以“圖形的旋轉(zhuǎn)”教學為例［J］.教學月刊（中學版），2012（7）．H