數(shù)學需要“按圖索驥”
——數(shù)形結(jié)合是重要的數(shù)學思想方法

●許欽彪(稽山中學浙江紹興312000)

數(shù)學需要“按圖索驥”
——數(shù)形結(jié)合是重要的數(shù)學思想方法

●許欽彪(稽山中學浙江紹興312000)

“用數(shù)來研究形，用形來表達數(shù)，探究數(shù)與形的關(guān)系和轉(zhuǎn)化”是數(shù)學的重要內(nèi)容，數(shù)形結(jié)合是數(shù)學的重要思想方法.從高中數(shù)學主干知識和主要內(nèi)容來看，代數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)、三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)、解析幾何、立體幾何、坐標系、幾何向量等等，都是數(shù)形結(jié)合思想研究的結(jié)果.因而在學習數(shù)學和解決數(shù)學問題時要充分利用數(shù)形結(jié)合這一常用的思想方法.全國各地的高考要求明確和特別重視數(shù)形結(jié)合思想的考查，尤其在客觀題中對思維能力要求較高的最后幾題，基本上考查的是數(shù)形結(jié)合的思想、按圖索驥的方法.本文通過一些方式、步驟、實例來說明在平時的數(shù)學教學中如何養(yǎng)成該數(shù)學思想，使數(shù)形結(jié)合成為學習數(shù)學、解決問題和探索創(chuàng)新的主動、自覺、自然的思維方式.

1 看圖說話是基礎

看圖說話是啟發(fā)幼兒認知能力的常用方法，其實也是數(shù)形結(jié)合思想的基礎，是學習數(shù)學和解決數(shù)學問題的一種基本方法.數(shù)與形可以體現(xiàn)數(shù)學美，體現(xiàn)數(shù)學的本質(zhì)，也可以激發(fā)培養(yǎng)對數(shù)學的興趣和探究愿望.在教學中有意識地引入這類問題對培養(yǎng)學生的數(shù)學思維是很有益處的.

圖1

例1四面體A－BCD及其三視圖如圖1所示，過棱AB的中點E作平行于AD，BC的平面交棱BD，DC，CA于點F，G，H.

1)證明:四邊形EFGH是矩形;

2)求直線AB與平面EFGH的夾角θ的正弦值.

(2014年陜西省數(shù)學高考理科試題第17題)

實施新課程標準以來，有關(guān)三視圖的問題一直是高考的熱點題型之一，這是一類典型的“看圖說話”題.

分析從三視圖看出主要的2個條件:一是有關(guān)的棱長，并得到BD=DC=2，AD=1，;二是AD⊥DB，AD⊥DC.將這些信息標注在四面體的立體圖上，容易得到其證明及解法.

1)由AD∥面EFGH，面ADB∩面EFGH=EF，面ADC∩面EFGH=HG，知

從而EFGH是平行四邊形，且F，G，H是各棱的中點.又AD⊥DB，AD⊥DC，得AD⊥面DBC，從而

因此四邊形EFGH是矩形.

圖2

2)如圖2，取AD的中點P，EH的中點R，聯(lián)結(jié)PE，PH，PR.由P，R，H是各側(cè)棱的中點，知PF∥AB，，面EPH∥面BDC.又AD⊥面BDC，AD⊥面EPH，知

由AD∥EF，知

又PE=PH=1，得

二次問題，如二次方程根的個數(shù)、根的分布范圍等，用代數(shù)解法有時會產(chǎn)生失誤，而利用圖形往往更形象、直觀、準確.根據(jù)筆者調(diào)研發(fā)現(xiàn)，在教學和學生解答時，比較習慣于用代數(shù)方法，因此應注意提倡數(shù)形結(jié)合在這方面的應用.

例2當k為何值時，方程組有4組實數(shù)解?

分析用代數(shù)方法容易產(chǎn)生2種錯誤.

錯誤1將x2=y－k代入，得

若要有4組實數(shù)解，還須x2=y－k＞0，即

錯誤2由得

事實上這2者是不等價的.

正解由得

要有4組實際數(shù)解，須滿足

用數(shù)形結(jié)合可以避免以上容易錯漏的問題.如圖3，x2+ 2y2=2是一個固定的橢圓，y= x2+k是頂點為(0，k)的向上移動的拋物線.容易知道2條曲線相切時，，因此有4個交點時，

圖3

同樣，由圖還可以得到0個、1個、2個、3個交點時的各種解答.而用代數(shù)方法，對無解、1組、2組、3組的解法將要考慮各種情況的計算.

2 按圖索驥找規(guī)律

學習數(shù)學，要養(yǎng)成一個好習慣，就是在作圖時，要充分利用圖形來分析，從圖形分析中探索條件、目標之間的關(guān)系，探索解決問題的途徑，這就是“按圖索驥”.按圖索驥的原意是按照圖形尋找需要的目標，是一種循規(guī)蹈矩、教條主義的思想方式，而數(shù)學思想是嚴謹規(guī)范的思想.在數(shù)學上，可以把按圖索驥提升理解為“按圖形尋方法”的思想，那么，按圖索驥實際上是一種重要的數(shù)學思維和解決問題的思想方法.作圖分析可以幫助我們知道“已知什么，要求什么，已知與要求的關(guān)系”，從而知道“該怎么做”.形象地說，作圖分析相當于作一份交通地圖，把出發(fā)點、目的地標注清楚，從而來尋找出發(fā)點到目的地的最佳途徑.有些數(shù)學問題的條件信息量較多且難以整合，而在圖形上一一標注后就容易得到它們之間的溝通橋梁.有些復雜、陌生的問題，通過圖形可以轉(zhuǎn)化為簡單、熟悉的問題，更有一些問題，經(jīng)過作圖能直接得到答案.

例3已知函數(shù)f(x)=x2+mx－1，若對于x∈［m，m+1］，都有f(x)＜0成立，則實數(shù)x的取值范圍是______.

(2014年江蘇省數(shù)學高考試題第10題)

分析代數(shù)方法通常是由f(x)＜0得

對于一個高考填空題來說，要求盡量準確、快速解答.以上的方法如果根式再復雜一點，那么解根式不等式的時間會更費，也更容易產(chǎn)生計算錯誤.

如果用數(shù)形結(jié)合作圖分析，就比較簡潔明了.

如圖4，f(x)開口向上，根據(jù)題意，得

這樣就避免了解根式不等式的難點和易錯點，大大簡化了解答.

圖4

圖5

例4在平面直角坐標系中，O為原點，A(－1，0)，，C(3，0)，動點D滿足|CD|= 1，則的最大值為______.

(2014年湖南省數(shù)學高考理科試題第16題)

分析如圖5，設動點D(x，y)，由條件知D是定圓周上的動點，所求目標用坐標代入得

3 數(shù)形轉(zhuǎn)化達目的

有了看圖說話的基礎認識，掌握了按圖索驥的方法規(guī)律，就會逐步自然地利用數(shù)形結(jié)合進行數(shù)形轉(zhuǎn)化，從而達到解決問題的目的.需要指出的是能用數(shù)形結(jié)合的應盡量用數(shù)形結(jié)合來解決:一是容易找到解題途徑;二是可以簡化計算過程;三是減少計算失誤;四是避開困難和錯誤;五是確保準確的結(jié)果.

數(shù)學教學和高考中的函數(shù)問題是重要內(nèi)容，也是考試熱點之一.涉及到函數(shù)的圖像問題可以充分利用數(shù)形結(jié)合來看圖說話，按圖索驥來解決.

例5已知f(x)是定義在R上的周期為3的函數(shù)，當x∈［0，3］時.若函數(shù)y=f(x)－a在區(qū)間［－3，4］上有10個零點(互不相同)，則實數(shù)a的取值范圍是_______.

(2014年江蘇省數(shù)學高考試題第13題)

分析這是周期函數(shù)分段討論問題，用代數(shù)法討論當然也可以解決，但需要較長的時間.考慮到所給函數(shù)能作圖，就應該充分利用圖形.

圖6

圖7

例6min{a，b}表示a，b中的最小值.若函數(shù)f(x)=min{|x|，|x+t|}的圖像關(guān)于直線對稱，則t的值是( )

A.－2 B.2 C.－1 D.1

(2010年湖南省數(shù)學高考理科試題第8題)

分析如圖7，畫出函數(shù)y=|x|的圖像，由圖像關(guān)系得知y=|x+t|的圖像是由y=|x|的圖像平移得到.要f(x)的圖像(實線部分)關(guān)于直線對稱，必須使t=1.

例7設函數(shù)f(x)=4sin(2x+1)－x，則在下列區(qū)間中函數(shù)不存在零點的是( )

A.［－4，－2］ B.［－2，0］

C.［0，2］ D.［2，4］

(2010年浙江省數(shù)學高考理科試題第9題)

分析此題作為選擇題，如果用函數(shù)討論將花費較長時間并有一定難度，而由作圖則可以快捷準確地看出結(jié)果.

如圖8，分別作出y=sin(2x+1)和y=x的圖像，從2個圖像的交點情形可以看出:2個函數(shù)在［－4，2］上不存在交點，即函數(shù)f(x)在［－4，2］上不存在零點.故選A.

圖8

圖9

例8點P(x，y)在直線4x+3y=0上，且x，y滿足－14≤x－y≤7，則點P到坐標原點距離的取值范圍是( )

A.［0，5］ B.［0，10］

C.［5，10］ D.［5，15］

(2014年海南省數(shù)學高考文科試題第10題)

分析如圖9，分別作出區(qū)域－14≤x－y≤7及直線4x+3y=0，求出交點A(6，8)到原點O的距離即為最大值10，而最小值顯然為0.故選B.

例9已知函數(shù)的圖像與函數(shù)y2=kx－2的圖像恰有2個交點，則實數(shù)k的取值范圍是______.

(2012年天津市數(shù)學高考理科試題)

分析此題顯然要利用函數(shù)圖像“按圖索驥”.如圖10作出的圖像，因為y2= kx－2過定點P(0，－2)，kPA=0，kPB=4，要y2與y1有2個交點，須0＜k＜1或1＜k＜4.

此類問題往往2個圖像中有一個是確定的，另一個是動態(tài)的，但要充分注意到動態(tài)圖像的“定值”特征，比如過定點的特征.

圖10

圖11

例10設函數(shù)，g(x)=ax2+bx，若y=f(x)的圖像與y=g(x)的圖像有且僅有2個不同的公共點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則以下判斷正確的是( )

A.當a＜0時，x1+x2＜0，y1+y2＞0

B.當a＜0時，x1+x2＞0，y1+y2＜0

C.當a＞0時，x1+x2＜0，y1+y2＜0

D.當a＞0時，x1+x2＞0，y1+y2＞0

(2012年山東省數(shù)學高考理科試題第12題)

分析作出f(x)的圖像，注意到g(x)必過原點，對a的正負進行討論.

當a＜0時，要有2個交點，只有如圖11所示的形狀.由A關(guān)于原點O的對稱點C(x1，y1)可知，顯然有

當a＞0時，同樣可得x1+x2＜0，y1+y2＞0.

例11定義運算設 f(x)=(2x－1)*(x－1)，且關(guān)于x的方程f(x)= m(其中m∈R)恰有3個互不相等的實數(shù)根x1，x2，x3，則x1x2x3的取值范圍是______.

(2012年福建省數(shù)學高考理科試題第15題)

圖12

圖13

分析由定義的運算得

作出其圖像(如圖12)，由圖可知f(x)=m有3個不同根的條件是.不妨設x1＜x2＜x3，由圖可知x2＞0，x2+x3=1，從而

數(shù)形結(jié)合思想方法的應用非常廣泛，在其他內(nèi)容和題型上也有重要運用.

例12設F1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點，若在雙曲線右支上存在點P，滿足|PF1|=|F1F2|，且點F2到直線PF1的距離等于雙曲線的實軸長，則該雙曲線的漸近線方程為( )

A.3x±4y=0 B.3x±5y=0

C.4x±3y=0 D.5x±4y=0

(2010年浙江省數(shù)學高考試題理科第8題)

分析此題的關(guān)鍵是找a，b的關(guān)系，難點是把條件轉(zhuǎn)換成a，b，c的關(guān)系式，較好的方法就是作圖，其中F2T⊥PF1，把條件在圖中標注出來(如圖13).

由圖得到關(guān)系式

例13設x＞0時，均有［(a－1)x－1］(x2－ax－1)≥0，則a =______.

(2012年浙江省數(shù)學高考理科試題第17題)

分析作為客觀題的最后一題，有一定的難度，主要考查的是靈活處理問題的能力以及數(shù)形結(jié)合的思想.

根據(jù)當年的考試和評卷情況，此題的得分率是不高的，其原因是缺少數(shù)形結(jié)合思想和按圖索驥、看圖說話的能力.許多考生陷入了常見的2種思路模式.

等價于f(x)≥0在(0，+∞)恒成立，再利用導數(shù)討論求解.

這2種方法過程繁雜，有些學生甚至做不下去，半途而廢.而用數(shù)形結(jié)合思想解決此題，則比較清楚明了.

先把題設轉(zhuǎn)化為

分別作出f(x)=ax，g(x)=x+1，h(x)=x2－1的圖像(如圖14).當x＞0時，滿足

等價于當x＞0時，f(x)的圖像在g(x)與h(x)之間，從而f(x)=ax只能過g(x)與h(x)的交點，此時.

也可以直接從y1=(a－1)x－1，y2=x2－ax－1的圖像都過點P(0，－1)分析.如圖15，y1的圖像與x軸的交點必須在x正半軸上，否則不能保證x＞0時，y1y2≥0，因此a＞1.這時y2的圖像必須過點才能使x＞0時，恒有y1y2≥0.代入得

圖14

圖15

例14已知平面向量α，β(其中α≠0，β≠0)滿足|β|≠1，且α－β的夾角為120°，則|α|的取值范圍是______.

本題直接用向量方法求解有難度，可以利用數(shù)形結(jié)合的思想將其轉(zhuǎn)化為圖形問題，然后按圖索驥.

數(shù)形結(jié)合不但是探究數(shù)學的思想、解決數(shù)學問題的方法，其實也是數(shù)學命題的一種根據(jù)和來源.

例15記設a，b為平面向量，則( )

A.min{|a+b|，|a－b|}≤min{|a|，|b|}

B.min{|a+b|，|a－b|}≥min{|a|，|b|}

C.min{|a+b|2，|a－b|2}≥|a|2+|b|2

D.min{|a+b|2，|a－b|2}≤|a|2+|b|2

(2014年浙江省數(shù)學高考理科試題第8題)

此題就是由“平行四邊形的對角線平方之和等于四邊平方之和”這一結(jié)論類比成向量而來的.

圖16

圖17

例16設x，y，z為正實數(shù)，求證:

此題用代數(shù)方法是難以解決的，從根式內(nèi)容和結(jié)構(gòu)上分析，可以利用數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為圖形問題.可以看成是以x，y為2條邊長、夾角為60°的三角形的對邊長，另外2個根式也可以同樣看待.而所需證明的不等式是a+b＞c的形式，從圖形來說就是三角形的兩邊之和大于第三邊.因此可構(gòu)造如圖17所示的三棱錐，其中3條側(cè)棱分別為x，y，z，3個頂角都為60°，則底面三角形的3條邊長顯然有

從以上數(shù)形結(jié)合的解法可以進一步發(fā)現(xiàn):如果改變頂角的大小，比如15°，30°，45°，75°等，3個頂角也可以不一樣，這樣可以得到更復雜的同類不等式，用代數(shù)方法較難解決，而用圖形則簡便得多.

數(shù)形結(jié)合思想應用廣泛，培養(yǎng)學生的數(shù)形結(jié)合思維、看圖說話、按圖索驥的能力意義重大.希望本文能對中學數(shù)學教育有一些積極的作用.