簡支條件下三疊片復(fù)合彎振換能器振動特性研究*

凌小娜，張寧寧，項鈺茹，周 武

(渭南師范學(xué)院物理與電氣工程學(xué)院，陜西渭南 714000)

0 引言

目前對彎曲振動用于空氣中的發(fā)射器的研究中夾心縱彎模式換能器的研究已較成熟［1-6］，對于疊片式彎曲振動系統(tǒng)的研究相對傳統(tǒng)換能器來說較少。理論分析表明，空氣中彎曲雙疊片換能器采用邊界簡支和固支較為理想，對于水中聲吶換能器，采用邊緣簡支較為理想，但這種換能器抗壓、抗沖擊強度都不大，為了克服這一弱點，改善換能器的性能和機械耦合，及結(jié)構(gòu)安裝的方便，普遍采用三疊片式彎曲壓電換能器。文獻［7］利用ANSYS數(shù)值仿真軟件，在自由和鉗定邊界條件下，模擬了三疊片型換能器在空氣中的振動模態(tài)，并進行了諧響應(yīng)分析，同時對三疊片型換能器的阻抗特性進行了測試，并與數(shù)值計算結(jié)果進行了對比分析，結(jié)果基本一致。因此，數(shù)值模擬計算可以為換能器的優(yōu)化設(shè)計提供技術(shù)數(shù)據(jù)和理論依據(jù)。文獻［8］采用瑞利法對固定邊界條件下兩疊片壓電振子進行了理論研究，通過數(shù)值計算可得壓電振子的諧振頻率和有效機電耦合系數(shù)，進而可以優(yōu)選壓電振子的結(jié)構(gòu)參數(shù)。

彎曲換能器一般從彈性理論出發(fā)，得到板的振動微分方程，考慮到壓電陶瓷的壓電性，對某些參量進行適當(dāng)修正。對于圓盤需把它在直角坐標(biāo)系中的振動方程轉(zhuǎn)化到圓柱坐標(biāo)系中，振動方程的解為貝塞爾函數(shù)的組合，根據(jù)解和邊界條件進一步得到頻率方程、位移方程和振速分布、中心位移以及有效機電耦合系數(shù)等。實踐證明采用直接解振動微分方程的方法比較麻煩，得出的結(jié)果不能滿足工程實踐的應(yīng)用需要。為了解決這一問題，筆者采用瑞利法對三疊片彎曲振動圓盤換能器的工作特性進行研究，得到最佳三疊片式彎曲壓電換能器尺寸。

1 彎振換能器位移分布函數(shù)

三疊片型換能器的基本結(jié)構(gòu)如圖1所示，換能器由一個金屬基片和兩個尺寸相同的壓電陶瓷片組成，壓電陶瓷片粘金屬基片兩側(cè)。金屬圓盤的高度為m，1/2金屬圓盤高度加上壓電圓盤高度一共為h/2。金屬圓盤和壓電圓盤半徑均為a。根據(jù)瑞利原理，利用換能器最大動能和最大位能的關(guān)系，結(jié)合不同的邊界條件，推導(dǎo)出彎曲圓盤換能器的位移分布函數(shù)各項系數(shù)位移分布曲線w(r)?？稍跇O坐標(biāo)中表示換能器在彎曲振動情況中振動位移分布曲線。

式中:w(r)為彎曲圓盤中心面上的法向位移;ξ為隨時間變化的振幅;r為徑向坐標(biāo)，a1，a2，a3，a4為位移分布函數(shù)各項系數(shù)。在r=0處，可得 a1=0。因此，

圖1 圓盤換能器基本結(jié)構(gòu)示意圖

2 彎振圓盤換能器的諧振頻率

2.1 彎振圓盤換能器的動能

設(shè)金屬圓盤的密度為ρm，壓電圓盤密度為ρD，由文獻［8］的計算方法可得金屬圓盤的動能為:

壓電圓盤動能為:

圓盤換能器總動能為:

2.2 彎振圓盤換能器的勢能

(1)金屬圓盤位能

(2)壓電圓盤位能Up

對于壓電圓盤單位體積的位能為［9］:

令D3=0，對壓電圓盤整體積分，可求得壓電圓盤恒D的位能為:

結(jié)合式(6)和式(8)得，恒電位移時壓電換能器的總位能為:

2.3 彎振圓盤換能器的位移分布函數(shù)系數(shù)確定及頻率方程

利用邊界條件和瑞利法確定位移函數(shù)中的系數(shù)。邊緣簡支的邊界條件是當(dāng)r=a時，圓盤換能器的法向位移和彎矩都為零，即w(r)|r=a=0，M|r=a=0，0，分別為金屬圓盤的徑向應(yīng)力和壓電圓盤徑向應(yīng)力)將其代入可得:

令a0=0，可以得到:a2+a3+a4=-1。根據(jù)瑞利能量原理Tmax=Umax，可得:由瑞利近似理論可知，a2應(yīng)滿足=0，可解出a2，再根據(jù)a2與a3，a4的關(guān)系，解出各個系數(shù)，同時可以計算換能器無負載諧振頻率。

3 彎振圓盤換能器的有效機電耦合系數(shù)

3.1 恒壓位能U V

恒壓狀態(tài)時電位移D3的分布情況，電場強度E3為:

恒壓狀態(tài)V=0，解出D3代入式(12)，可求出恒壓條件下單位體積位能，對整個體積積分可得壓電

整個換能器恒壓位能為:

3.2 恒流位能U I

將式(14)代入式(12)，求出恒流條件下的 D3，即:

將式(14)代入式(15)求得恒流條件下單位體積的位能，并積分可得壓電圓盤恒流下的位能:

整個換能器恒流條件下的位能為即:

3.3 有效機電耦合系數(shù)

當(dāng)選定材料后，共振頻率與有效機電耦合系數(shù)與換能器尺寸有關(guān)。因為共振頻率與有效機電耦合系數(shù)方程是比較復(fù)雜，很難得到解析解，因此采用數(shù)值分析。壓電材料PZT-4及45號鋼，主要材料參數(shù)有:

ρD=7 500 kg/m3，ρm=7 850 kg/m3，σm= σD=0.28，E=2.16 ×1011N/m2，kp=0.58，g31=-11.1 ×10-3C/N=1.09 ×10-11m2/N=-5.42 ×10-12m2/N。

4 簡支邊界條件下?lián)Q能器共振頻率與有效機

電耦合系數(shù)與換能器尺寸的關(guān)系分析

4.1 簡支邊界條件下?lián)Q能器共振頻率與有效機電耦合系數(shù)隨金屬片厚度變化

在簡支邊界條件下，取三疊片換能器尺寸為:a=30 mm，h=5 mm，由式(10)和式(18)可得共振頻率與有效機電耦合系數(shù)隨金屬片厚度變化規(guī)律如圖2，3所示。

圖2 諧振頻率隨金屬片厚度變化

圖3 有效機電耦合系數(shù)隨金 屬片厚度的變化

由圖2可看出，固定邊界條件下諧振頻率隨a的增大而增大，在m很小時增長很快，在m約等于1.25 mm以后諧振頻率幾乎隨a的增大而線性增長，而圖3中有效機電藕合系數(shù)隨著m增加迅速，然后又隨m的增大而降低，在m=2.5附近有效機電耦合系數(shù)達到最大值約0.44。

4.2 簡支邊界條件下?lián)Q能器共振頻率與有效機電耦合系數(shù)隨壓電圓盤厚度變化

在簡支邊界條件下，取三疊片換能器尺寸為:a=30 mm，m=2 mm，由式(10)和式(18)可得共振頻率與有效機電耦合系數(shù)隨壓電圓盤厚度變化規(guī)律如圖4、5 所示。

圖4 諧振頻率隨壓電片厚度的變化

圖5 有效機電耦合系數(shù)隨壓 力片厚度的變化

由圖4、5可看出諧振頻率隨著壓電片厚度的增大而增大，增長速度越來越快;有效機電耦合系數(shù)也隨著壓電片厚度的增大而增大，在壓電片厚度較小時增長比較緩慢，到達1.0 mm之后增長加快，在h=2.7 mm附近有效機電藕合系數(shù)達到最大，接近0.48。

4.3 簡支邊界條件下?lián)Q能器共振頻率與有效機電耦合系數(shù)隨壓電圓盤半徑的變化

在簡支邊界條件下，取三疊片換能器尺寸為:a=30 mm，h=5 mm，m=2.0 mm，由式(10)和式(18)可得共振頻率與有效機電耦合系數(shù)隨壓電圓盤半徑的變化規(guī)律如圖5、6。

圖6 諧振頻率隨壓電片半徑變化

圖7 有效機電耦合系數(shù)隨壓力片半徑的變化

由圖6和圖7可看出，簡支邊界條件下諧振頻率隨著壓電圓盤的半徑的增加而增加，有效機電耦合系數(shù)標(biāo)隨著半徑的增大先增大然后迅速減小，在壓電陶瓷片的半徑a=24 mm附近時有效機電藕合系數(shù)達到最大值約為0.47，此時該例中的換能器達到機電轉(zhuǎn)換的最佳效果。

4.4 有限元與理論值的比較

為了驗證本文理論的正確性，采用有限元軟件ANSYS進行模態(tài)分析［9］。取兩組換能器其尺寸參數(shù)分別為:a=30 mm，h=3.0 mm，m=2.0 mm 和 a=24 mm，h=5.0，m=2.0 mm，所得結(jié)果如表 1，其中 f1為理論計算值，f2為模擬值。

表1 圓盤換能器有限元與理論頻率的比較 /Hz

由表1有限元模擬諧振頻率值與頻率方程求解的頻率值相比可看出，二者差別都小于5%，誤差相對較小，所以可得本文的理論基礎(chǔ)是正確的。

5 結(jié)語

采用瑞利法對簡支邊界條件下三疊片彎振換能器進行理論研究，推導(dǎo)了諧振頻率和有效機電耦合系數(shù)隨金屬基片厚度、壓電陶瓷片厚度和壓電陶瓷片半徑的變化，由變化規(guī)律可看出，有效機電耦合系數(shù)在其它尺寸給定的情況下隨著金屬片厚度，陶瓷片厚度和陶瓷片半徑變化時，都出現(xiàn)一個最大值，因此在設(shè)計三疊片彎曲振動換能器時為達到機電轉(zhuǎn)換的最佳效果提供了參考，也為三疊片彎曲振動換能器的進一步廣泛應(yīng)用提供理論支持。

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